半导体中载流子的统计分布

1、Statistic distribution of carrier in semiconductor 半导体中载流子的统计分布半导体中载流子的统计分布 状态密度状态密度 费米能级和载流子的统计分布费米能级和载流子的统计分布 本征半导体载流子浓度的计算本征半导体载流子浓度的计算 杂质半导体载流子浓度的计算杂质半导体载流子浓度的计算 简并半导体载流子浓度的计算简并半导体载流子浓度的计算 中心问题：中心问题： 半导体中载流子浓度随温度变化的规律；半导体中载流子浓度随温度变化的规律； 计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。 主要内容：主要内容： 3.1 3.1

2、 状状 态态 密密 度度 一、热平衡状态：一、热平衡状态： 产生载流子过程产生载流子过程电子从电子从价带价带或杂质能级或杂质能级 向向导带导带跃迁；跃迁； 载流子复合过程载流子复合过程电子从电子从导带导带回到回到价带价带或或 杂质能级上。杂质能级上。 同时有：同时有： 在一定的温度下，在半导体材料中存在：在一定的温度下，在半导体材料中存在： 产生产生 复合复合 Ec ED Ev 在一定的温度下，在一定的温度下，产生数产生数=复合数复合数 热平衡状态热平衡状态 热平衡时载流子浓度决定于热平衡时载流子浓度决定于两个因素两个因素： 允许电子存在的量子态是如何按能量分布的允许电子存在的量子态是如何按能

3、量分布的 ，或者说每一个能量，或者说每一个能量E有多少允许电子存在的有多少允许电子存在的 量子态？量子态？状态密度状态密度 电子是按什么规律分布在这些能量状态的？电子是按什么规律分布在这些能量状态的？ 分布函数分布函数 二、状二、状 态态 密密 度度 状态密度状态密度:能带中能量能带中能量E-E+dE之间有之间有dZ个量个量 子态。子态。 ( ) dZ g E dE = 即即状态密度状态密度是能带中能量是能带中能量E E附近单位附近单位 能量间隔内的量子态数目能量间隔内的量子态数目 半导体的导带和价带中，有很多能级存在，间隔半导体的导带和价带中，有很多能级存在，间隔 很小，约很小，约10-22

4、eV，可以认为是准连续的。，可以认为是准连续的。 波矢波矢k k 电子态的关系电子态的关系 能量能量E E 电子态的关系电子态的关系 能量能量E E波矢波矢k k 态密度的计算方法态密度的计算方法 状态密度的计算：状态密度的计算：通过状态空间即通过状态空间即k空间空间 1 1、理想晶体的、理想晶体的k空间空间的状态密度的状态密度 （1 1）：一维晶体（）：一维晶体（一维单原子链一维单原子链） 设它由设它由N N个原子组成，晶格常数为个原子组成，晶格常数为a a，晶，晶 体的长为体的长为L=aNL=aN，起点在，起点在x x处处 a x L=aL=aN N x+L 在在x x和和x+Lx+L处，

5、电子的波函数分别为处，电子的波函数分别为(x)和和(x+L) (x)=(x+L)(x)=(x+L) 满足周期性边界条件满足周期性边界条件: : () () ( )() ( )() 1 cos1 2(0,1,2) 2 22 2 0, ikxik xL ikxik xL ikL eu xeu xL u xu xL ee e kL kLnn n k L k LL （2 2）. .三维晶体三维晶体 小立方的体积为：小立方的体积为： 3 2228 LLLV 一个允许电子存在的状一个允许电子存在的状 态在态在k k空间所占的体积空间所占的体积 单位单位 k 空间允许的状态数为：空间允许的状态数为： 33

6、1 88 V V 即：即：单位单位k空间体积内所含的允许状态数正空间体积内所含的允许状态数正 比于晶体体积比于晶体体积 V k 空间的量子态（状态）密度空间的量子态（状态）密度 如考虑自旋后，如考虑自旋后，k k空间的电子态密度为：空间的电子态密度为： 任意任意k空间体积空间体积 V 中所包含的电子态数为：中所包含的电子态数为： 3 2 8 V V V 3 2 8 V 2 2、半导体导带底附近和价带顶附近的、半导体导带底附近和价带顶附近的 状态密度状态密度 （1 1）、极值点）、极值点 k k0 0=0=0，E(k)E(k)为球形等能面为球形等能面 (a) (a) 导带底导带底 )( 2 )(

7、 222 * 2 z yx n kkk m h EckE 球形等能面的半径球形等能面的半径k k： 1/2 * 2 2( ) n mE kEc k h 球所占的球所占的k k空间的体积为：空间的体积为： 3 4 3 Vk 设这个球内所包含的电子态数为设这个球内所包含的电子态数为Z(E)： 能量由能量由E E增加到增加到E+dE，k空间体积增加：空间体积增加： 2 4dVk dkp= 电子态变化电子态变化dZ(E )： ( )( ) 2 3 2 4 8 V dZ EZ EdVk dkp p = 3 2 8 V Z EV * 1/2 3/2 22 2 ( )()( ) 2 n mV dZ EE k

8、EcdE 导带底附近单位能量间隔的电子态数导带底附近单位能量间隔的电子态数 量子态（状态）密度为：量子态（状态）密度为： * 1/2 3/2 22 2 ()()( ) 2 n c mdZV gEE kEc dE * 3/2n 22 1 2 2 ()()( ) 2 cc mV gEE kE (b)(b)价带顶部价带顶部 * 3/2 1/2 32 2 ()()( ) 2 p Vv m V gEEE k E Ec 1 Ev 2 gc(E) gv(E) 状态密度与能量的状态密度与能量的 关系图关系图 对对Si、Ge、GaAs材料材料,价带顶有价带顶有重空穴重空穴和和轻空穴轻空穴： * 1/2 3/2

9、32 2() ( 2 ) ph m EvE V * 1/2 3/2 32 2() ( 2 ) pl m EvE V 3/2*3/2*3/2 1/2 33 2()() 2 phpl mm EvE V ( )( )( ) vvhvl gEgEgE 称称mdp为价带空穴状态密度有效质量为价带空穴状态密度有效质量 2/3 *3/2*3/2 ()() dpphpl mmm 令：令： /2 3/ 3 1 2 2 2 2 ( )() dp v m gEEvE V 则：则： (2)(2)极值点极值点k ko o0,0,(旋转椭球等能面情况旋转椭球等能面情况) 导带底附近：导带底附近： * 2 * 2 * 2

10、2 2 )( z zoz y yoy x xox m kk m kk m kkh EckE 导带底（导带底（不止有一个状态不止有一个状态）附近的状态密度为：）附近的状态密度为： 3/2* 1/2 1/2 33 2() ( )( ) 2 xyz c m m m dZV gESE kEc dE 式中式中S为导带极小值的个数为导带极小值的个数,即导带底的状态共有即导带底的状态共有S个个 如，由于对称性，如，由于对称性，Si：S=6，Ge：S=4 令：令： 3/1 * 3/2 )( zyxdn mmmSm 1/2 3/2 32 2 ( )()( ) 2 dn c mV gEVE kEc 称称mdn导带

11、电子状态密度有效质量导带电子状态密度有效质量 如考虑晶体的对称性，取旋转椭球等能面，则如考虑晶体的对称性，取旋转椭球等能面，则 存在纵的和横的有效质量：存在纵的和横的有效质量： 2/32 1/3 () dnlt mSm m 同理，价带顶状态密度：同理，价带顶状态密度： 由此可知：由此可知： 状态密度状态密度gc(E)和和gv(E)与能量与能量 成正比，还成正比，还 与有效质量有关，与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态有效质量大的能带中的状态 密度大。密度大。 为空穴态密度有效质量为空穴态密度有效质量 dp m 1 2 E 9mmmm 3 2 2 3 h p 2 3 l pdp * p 但

12、gv(E)与与gc(E)有相同的形式有相同的形式 3.2 3.2 费米能级和载流子统计分布费米能级和载流子统计分布 1 1、假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有、假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有 的状态数为的状态数为g gc c(E)(E)导带（价带）的状态密度。导带（价带）的状态密度。 2 2、还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布：、还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布： 能量为能量为E E的每个状态被电子占有的几率为的每个状态被电子占有的几率为f(E)f(E)， 即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。 一、载流子浓度的一、载流子浓度

13、的求解思路求解思路： 在热平衡时，统计分布的概率是在热平衡时，统计分布的概率是一定一定的。的。 所以，在能量所以，在能量dE内的状态具有的电子数为：内的状态具有的电子数为： f(E)gc(E)dE。 ( )( ) c c E c E Nf E gE dE 式式中中 E Ec c 为 为导导带带顶顶的的能能量量 若若晶晶体体的的体体积积为为 V V，那那么么电电子子的的浓浓度度 为为： ( )( ) c c E c E f E gE dE N n VV 整个导带的电子数整个导带的电子数N为：为： 空空穴穴占占据据能能量量 E E 的的几几率率为为：1 1f f( (E E) ) 空空穴穴的的浓浓

14、度度 p p 为为： 1( )( ) v v E v E f EgE dE p V 式式中中 E Ev v 为 为价价带带底底的的能能量量 g gV V( (E E) )为为价价带带中中单单位位能能量量间间隔隔含含有有的的状状 态态数数价价带带的的状状态态密密度度 f(E)? 二、费米（二、费米（FermiFermi）分布函数与费米能级）分布函数与费米能级 1 1、费米分布函数：、费米分布函数： 电子遵循费米电子遵循费米-狄拉克（狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布）统计分布 规律。能量为规律。能量为E的一个独立的电子态被一个电子的一个独立的电子态被一个电子 占据的几率为占据的几率为： 电

15、子的费米分布函数 Tk EE n 0 F e1 1 Ef 为波尔兹曼常数 0 k 式式中中 E EF F具具有有能能量量量量纲纲，称称为为费费米米能能级级。 1 1( ) 1 F E E kT f E e 没有被电子占有的几率为：没有被电子占有的几率为： 也就是量子态被也就是量子态被空穴空穴占据的几率占据的几率 只要知道只要知道EF，在一定温度下，电子在各个量子，在一定温度下，电子在各个量子 态上的统计分布就能完全确定！态上的统计分布就能完全确定！ 2、费米能级、费米能级EF的特点：的特点： 它和温度、导电类型、杂质含量以及能量零点它和温度、导电类型、杂质含量以及能量零点 的选取有关。可以由归

16、一化条件的选取有关。可以由归一化条件 () i i f EN 决定。即能带内所有量子态被电子占据的量子决定。即能带内所有量子态被电子占据的量子 数应等于电子总数。数应等于电子总数。 就是处于热平衡状态下，增加一个电子所引起系就是处于热平衡状态下，增加一个电子所引起系 统的自由能的增加。在平衡时电子系统有统的自由能的增加。在平衡时电子系统有统一统一的的 费米能级。费米能级。 EF就是系统的化学势就是系统的化学势() FT F E N (1)、 f(E)与体系所处的与体系所处的温度温度T直接相关直接相关 f(E) EF 1/21 T0k 若若EEF, f(E) 1/2 若若EEF, f(E) 1/

17、2 若若EEF, f(E) 1/2 当当T=0k时，时， 若若EEF, f(E)=1 若若EEF, f(E)=0 电子占据电子占据 的界限的界限 例子例子：当量子态的能量比费米能级高：当量子态的能量比费米能级高 或低或低5kT5kT时：时： 5 F E EkT( )0.007f E 电子的费米分布函数 Tk EE n 0 F e1 1 Ef 5 F E EkT( )0.993f E 所以所以，温度高于，温度高于0k0k时，能量比费米能级高时，能量比费米能级高5kT5kT的的 量子态被占据的概率为量子态被占据的概率为0.7%;0.7%;量子态量子态几乎是空的几乎是空的； 而比费米能级低而比费米能

18、级低5kT5kT的量子态被电子占据的概率的量子态被电子占据的概率 是是99.3%,99.3%,概率很大，量子态几乎总有电子概率很大，量子态几乎总有电子。 一般认为，在一般认为，在温度不高温度不高时，能量时，能量大于大于费米费米 能能E EF F的能级基本没有被电子占据；的能级基本没有被电子占据；小于小于费费 米能米能E EF F的能级的量子态基本被电子所占据。的能级的量子态基本被电子所占据。 费米能级费米能级标志了电子填充能级的水平，费标志了电子填充能级的水平，费 米能级位置高说明有较多高能量的量子态米能级位置高说明有较多高能量的量子态 有电子。有电子。 (2)、f(E)与体系费米能与体系费米

19、能EF相关性相关性 EF EF EA 强强p型型 （a） EF EF c E Ei V E （b）（c）（d）（e） p型型本征本征n型型 强强n型型 EF ED EF，f(E)，高能带中，高能带中 的电子占有几率增加。的电子占有几率增加。 电子的费米分布函数 Tk EE n 0 F e1 1 Ef 费米能级的位置标志着电子填充水平的高低费米能级的位置标志着电子填充水平的高低 三、波尔兹曼三、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数分布函数 1.1.电子电子的玻氏分布的玻氏分布 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 当当 E EE EF Fk kT T 时时， 1 F E E kT e 1 ( ) 1 F

20、E E kT f E e ( ) F E EE kTkT B eAef E 5 11 ( )0.006693 1 1 F E E kT f E e e 可见，此时可见，此时费米分布费米分布几率和波尔兹曼分布几率几率和波尔兹曼分布几率 基本相等。当基本相等。当E EE EF FkTkT时，量子态被电子占时，量子态被电子占 据的概率很小，泡利不相容原理失去作用，据的概率很小，泡利不相容原理失去作用， 两种统计结果一样。两种统计结果一样。 5 ( )0.006739 B fEe 例如例如：EEF=5kT时，时， () ( Fi i EE E 本征 为禁带中心能级） 1.12 g Eev 0.56 c

21、Fci EEEEev 对于本征对于本征Si: 在室温时在室温时，kT=0.026ev，0.56/0.026=21.65 Ec Ev EF=Ei Eg 21.65 ee 所以，所以， 导带中的电子可以导带中的电子可以 用玻氏分布来计算用玻氏分布来计算 1 1( ) 1 F E E kT f E e 1 1 F EE kT e 当当 E EF FE Ek kT T 时时， 1( ) F EEE kTkT f EeBe 2.2.空穴空穴的玻氏分布的玻氏分布 当当E E远低于远低于E EF F时，空穴占据能量为时，空穴占据能量为E E的量子态的的量子态的 几率很小几率很小，即这些量子态几乎都被电子占据

22、。，即这些量子态几乎都被电子占据。 EE，空穴占有几率增加；，空穴占有几率增加；E EF F，空穴占有几，空穴占有几 率下降，即电子填充水平增高。率下降，即电子填充水平增高。 空穴空穴的的 玻氏分布玻氏分布 u服从服从Boltzmann分布的电子系统为分布的电子系统为非简并非简并 系统系统，相应的半导体是，相应的半导体是非简并半导体非简并半导体 u服从服从Fermi分布的电子系统是分布的电子系统是简并系统简并系统， 相应的半导体为相应的半导体为简并半导体简并半导体 半导体中半导体中一般情况一般情况，费米能级在禁带之中，并，费米能级在禁带之中，并 且与导带底或价带顶底距离远大于且与导带底或价带顶

23、底距离远大于kT,kT,所以导带所以导带 的电子可用玻耳兹曼分布函数。的电子可用玻耳兹曼分布函数。 F EEkT EkT F 或E 称为称为非简并非简并半导体半导体满足：满足： 四、四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 本征激发本征载流子的本征激发本征载流子的产生产生： 空穴空穴 电子电子 成对产生成对产生 如何算出两种如何算出两种 载流子的浓度载流子的浓度? 1 1、导带电子浓度、导带电子浓度no和价带空穴浓度和价带空穴浓度po （1）.电子浓度电子浓度no 在能量在能量EE+dE间隔内的电子数间隔内的电子数dN为：为： dN=fB(E)gc(E)dE 所

24、以，整个导带的电子数所以，整个导带的电子数N为：为： dEEckE h m VeN dn cE Ec kT EE F 2/1 2/3 2 )() 2 (4 分布函数分布函数 态密度态密度 引入：引入： kT EcE x 利用积分公式：利用积分公式： 0 2/1 2 dxex x kT EEc dn F e h kTm VN 2/3 2 2 2 dEEckE h m VeN dn cE Ec kT EE F 2/1 2/3 2 )() 2 (4 简化计算简化计算 一般，导带宽度为一般，导带宽度为1 1到到2eV2eV，当，当T=500K,kT=0.043eV,T=500K,kT=0.043eV,

25、 1/0.043=23,1/0.043=23,在积分的被积函数随在积分的被积函数随x x增大而增大而迅速减迅速减 小小。积分上限取。积分上限取 不影响结果。不影响结果。物理上讲，导电物理上讲，导电 电子主要集中在导带的底部。电子主要集中在导带的底部。 kT EEc dn o F e h kTm VNn 2/3 2 2 2/ 电子占据导带底电子占据导带底Ec 的几率的几率 令：令： 2/3 2 2 2 h kTm Nc dn 导带有效状态密度导带有效状态密度 () F Ec E kT occBc nN eN fE 所以：所以： 导带电子浓度导带电子浓度 （2 2）. .空穴浓度空穴浓度po 价带

26、中的空穴浓度为：价带中的空穴浓度为： kT EE Vo vF eNp 其中其中 2/3 2 2 2 h kTm N dp V 价带的有效状态密度价带的有效状态密度 3/2 v NT是温度的函数 在室温时在室温时, ,常用半导体的导带、价常用半导体的导带、价 带带有效状态密度有效状态密度为：为： Nc(cm-3) Nv(cm-3) Si 2.810191.21019 Ge 1.041019 6.11018 GaAs 4.71017 71018 2 2、影响、影响no 和和po 的的主要因素主要因素： （1 1）mdn和和mdp的影响材料本征的影响的影响材料本征的影响 kT EEc co F eN

27、n 电子电子 kT EE Vo vF eNp 空穴空穴 三个因素：三个因素：m, T, EF （2）温度）温度T的影响的影响 NC、NV T f(EC) T 3/2 2 2 2 dn kTm Nc h 2/3 2 2 2 h kTm N dp V 有效状态密度有效状态密度Nc、Nv T 2/3 2 2 2 h kTm Nc dn 2/3 2 2 2 h kTm N dp V 2/3 2/3 TN TN V C T，NC、NV no、po 占据占据EC、EV的几率的几率f 函数与函数与T有关有关 () () CF FV EE kT EE kT f Ece f Eve T升高，几升高，几 率增大率

28、增大 温度升高，本征激发加剧，有更多的温度升高，本征激发加剧，有更多的 电子和空穴产生电子和空穴产生 （3 3）费米能级）费米能级EF位置的影响位置的影响 EFEC，EC-EF，no EF越高，电越高，电 子的填充水平越高。子的填充水平越高。 EFEV，EF-EV，po EF越低，电越低，电 子的填充水平越低。子的填充水平越低。 kT EEc co F eNn kT EE Vo vF eNp 费米能级的高低取决于材料，温度与杂质费米能级的高低取决于材料，温度与杂质 3 3、载流子、载流子浓度积浓度积 kT E Vc kT EE kT EEc Vco g vFF eNNeeNNpn 0 kT E

29、 dpdn g emm h kT 2/3 3 2 2 4 （1）对于一定材料，）对于一定材料，n0p 0只决定于温度只决定于温度 T， 和杂质及费米能级无关；和杂质及费米能级无关； （2）当温度）当温度T一定时，不同材料因禁带宽度一定时，不同材料因禁带宽度 Eg不同，不同的有效质量，不同，不同的有效质量， n0p0不同。与杂不同。与杂 质无关质无关 影响因素影响因素 （1）对于一定材料，）对于一定材料，n0p 0只决定于只决定于 温度温度 T，和杂质及费米能级无关；，和杂质及费米能级无关； （2）当温度）当温度T一定时，不同材料因禁一定时，不同材料因禁 带宽度带宽度Eg不同，不同的有效质量，不

30、同，不同的有效质量， n0p0也不同。也不同。 0 g E kT ocV n pN N e kT EEc co F eNn kT EE Vo vF eNp 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 在在T0,热平衡态下，电子和空穴成对产生，热平衡态下，电子和空穴成对产生， 半导体是半导体是电中性电中性的，即：的，即：n0=p0 0 0 0 0 cF Fv EE k T c EE k T v nNe pNe 而两式相等两式相等 一、本征半导体的一、本征半导体的费米能级费米能级EF n0和和p0? kT EE V kT EE C vFFC eNeN kT EE N kT EE

31、N VF V FC C lnln C V V VC N NkT E EE ln 22 C VVC F N NkTEE Eln 22 即得到即得到： C V i N NkT Eln 2 Ei 为禁带的中心能级为禁带的中心能级 将将NC、NV代入上式：代入上式： dn dp C V iF m m kT N NkT EEln 4 3 ln 2 Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo例如：例如： 室温时，室温时，kT=0.026ev EFEi= 0.008 eV （和带隙（和带隙Eg相比很小）相比很小） 2/3 2 2 2 h kTm Nc dn 2/3 2 2 2 h kTm N dp V

32、 所以，所以，一般温度下，一般温度下，SiSi、GeGe、GaAsGaAs等本征等本征 半导体的半导体的E EF F近似在禁带中央近似在禁带中央E Ei i，只有温度较，只有温度较 高时，高时，E EF F才会偏离才会偏离E Ei i。 。 (Eg)Ge=0.67ev EFEi 对对Si、GaAs一样，一样，EFEi 特例特例：对：对InSbInSb，E Eg g=0.17ev, m=0.17ev, mdp dp / m / mdn dn 约为 约为 3232， E EF FEEi i， ，费米能级远在禁带中线之上 费米能级远在禁带中线之上。 dn dp C V iF m m kT N NkT

33、 EEln 4 3 ln 2 二、本征载流子浓度及影响因素二、本征载流子浓度及影响因素 0 2 1/2 2 3/2 3/4 2 2 3/43/2 2 2 2 () g g g g g E kT ocV ioo E kT iCV E kT iCV E kT dndp E kT dndp n pN N e nnp nN N e nN Ne kT m me h m mTe 可以见到：可以见到： （1）、温度一定时，）、温度一定时，Eg 大的材料，大的材料，ni小；小； （2）、对同种材料，）、对同种材料， ni 随温度随温度T按按指数关系指数关系上升。上升。 1 1、本征载流子浓度、本征载流子浓度

34、ni 代入代入h和和k0的数值，引入电子惯性质量的数值，引入电子惯性质量m0 3 4 153/2 2 0 4.82 10exp 2 png i o m mE nT mK T 2 -,TT设Eg=Eg 0代入上式得： 3 4 153/2 2 00 0 4.82 10expexp 22 png i o m mE T nT mkTK T 通过实验测量很宽温度范围的本征载流子浓度， 可以得到Ge、Si、GaAs的Eg(0)为0.78ev、1.21eV、 1.53eV，和光学方法测定数值吻合。 2 2、一般半导体载流子、一般半导体载流子浓度积浓度积与与ni关系关系 kT E Vc kT EE kT EE

35、c Vco g vFF eNNeeNNpn 0 2 ooi n pn 实际上，半导体中总是存在一定的实际上，半导体中总是存在一定的杂质杂质和缺陷的和缺陷的 。但两种载流子的。但两种载流子的浓度积关系浓度积关系还成立。还成立。 Note: ni是半导体材料的本征载流子浓度，是半导体材料的本征载流子浓度， 是温度的函数，和杂质类型、浓度无关！是温度的函数，和杂质类型、浓度无关！ 3 3、本征半导体在应用上的、本征半导体在应用上的限制限制 纯度达不到纯度达不到 如果要求如果要求本征激发本征激发是载流子的是载流子的主要来源，主要来源， 在室温下杂质原子全部电离。在室温下杂质原子全部电离。 即：即：杂质

36、原子杂质原子/总原子总原子 本征载流子本征载流子/总原子总原子 Si：原子密度：原子密度1023/cm3，在表中可查到：室，在表中可查到：室 温时，温时，ni=1010/cm3 本征载流子本征载流子/总原子总原子=1010/1023=10-13大于大于杂质原子杂质原子/总原子总原子 Si的纯度必须高于的纯度必须高于99.9999999999999%99.9999999999999% 不可能！不可能！ 本征载流子浓度随温度变化很大，随温度本征载流子浓度随温度变化很大，随温度 升高而迅速增加，升高而迅速增加，强烈的温度相关性强烈的温度相关性 在室温附近：在室温附近： Si: T ， 8K ni 一

37、倍一倍 Ge: T ， 12K ni 一倍一倍 有意掺杂的半导体才是材料的有意掺杂的半导体才是材料的主体主体 例题 1 1、已知硅在常温下的、已知硅在常温下的N NC C= = 2.81019cm-3, Nv= 1.21019 cm-3,Eg=1.12ev,试计算试计算sisi半半 导体在常温下本征载流子浓度导体在常温下本征载流子浓度 2 2、若两块、若两块SiSi样品中常温下的电子浓度分别为样品中常温下的电子浓度分别为 2.252.25101010 10cm cm-3 -3和 和6.86.8101016 16cm cm-3 -3，试分别 ，试分别 求出其中的空穴的浓度，并判断样品的导电类型求

38、出其中的空穴的浓度，并判断样品的导电类型 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 一、杂质能级上的一、杂质能级上的电子电子和和空穴空穴 杂质杂质能级能级 最多只能容纳一个某个自旋方向的电子。最多只能容纳一个某个自旋方向的电子。 在杂质半导体的未电离的施主杂质或已电离的在杂质半导体的未电离的施主杂质或已电离的 受主杂质的杂质能级上被电子所占据。但杂质受主杂质的杂质能级上被电子所占据。但杂质 能级上的电子占据几率能级上的电子占据几率不能不能用费米分布函数来用费米分布函数来 分析研究，能带中的能级可以容纳自旋相反的分析研究，能带中的能级可以容纳自旋相反的 两个电子，而对于杂质能

39、级有：两个电子，而对于杂质能级有： 1 e Eg 1 1 1 EfE Tk EE D DD 0 FD 的几率电子占据施主能级 2 e Eg 1 1 1 EfE Tk EE A AA 0 AF 的几率空穴占据受主能级 简并度分别是施主和受主基态和EgEg AD 可以严格可以严格证明证明，杂质能级上电子占据的几率为：，杂质能级上电子占据的几率为： 电子占据施主能级电子占据施主能级ED的几率的几率: 1 2 1 1 )( kT EE D FD e Ef 空穴占据受主能级空穴占据受主能级EA的几率的几率: 1 2 1 1 )( kT EE Ap FA e Ef 对于对于Si、Ge中掺入中掺入 族杂质，

40、四个价电子束缚族杂质，四个价电子束缚 在共价键上，第五个价电子可以取任意一方向在共价键上，第五个价电子可以取任意一方向 的自旋，即二度自旋简并，故的自旋，即二度自旋简并，故gD=2。但对于但对于价价 带，带， gA=4，同时，实验已证明，同时，实验已证明，Ge中中族杂质族杂质 所引起的受主能级情况的确取所引起的受主能级情况的确取gA=4。在本课程。在本课程 中，为了中，为了便于讨论便于讨论，简度取，简度取2，即简并因子为，即简并因子为1/2. 若施主浓度和受主浓度分别为若施主浓度和受主浓度分别为ND、NA(杂质的量杂质的量 子态密度子态密度），所以施主能级上的），所以施主能级上的电子浓度电子浓

41、度nD为：为： ()(4) 1 1 2 DF D DDDEE kT N nN f E e 即即未电离未电离的施主浓度的施主浓度 所以，所以，电离电离的施主浓度的施主浓度nD+为：为： (5) 21 DF D DDDEE kT N nNn e 同理同理，没有电离没有电离的受主浓度的受主浓度pA为：为： 1 2 1 )( kT EE A ApAA FA e N EfNp 电离电离的受主浓度的受主浓度pA-为：为： kT EE A AAA AF e N pNp 21 结论分析：结论分析： 杂质能级杂质能级和和费米能级费米能级的相对位置反映了电子和的相对位置反映了电子和 空穴占据杂质能级的情况。空穴占

42、据杂质能级的情况。 EDEFkT nD0，nD+ND，施主几乎全电离，施主几乎全电离 费米能级远在杂质能级之下费米能级远在杂质能级之下 Ec Ev EF ED N型杂质半导体型杂质半导体 21 DF D DDEE kT N nN e EF=ED 21 , 33 DDDD nNnN 费米能级和杂质能级重合费米能级和杂质能级重合 施主杂质有施主杂质有1/31/3电离电离 EFEDkT nDND，nD + 0，施主几乎都未电离，施主几乎都未电离 费米能级远在杂质能级之上费米能级远在杂质能级之上 Ec Ev EF ED N型杂质半导体型杂质半导体 0 21 FD D DEE kT N n e 所以所以

43、，相对于杂质能级相对于杂质能级ED ，费米能级费米能级EF低低 时，时，施主施主全电离；全电离；EF高时，施主未电离高时，施主未电离. 受主相反受主相反，EF低时，受主未电离；低时，受主未电离；EF 高时，受主全电离。高时，受主全电离。 EF 杂质的电离杂质的电离 导带电子或价带空穴导带电子或价带空穴 内在联系内在联系 如何如何定量计算杂质半导体的载流子浓度？定量计算杂质半导体的载流子浓度？ 二、杂质半导体载流子浓度和费米能级二、杂质半导体载流子浓度和费米能级 在杂质半导体中的带电粒子在杂质半导体中的带电粒子四种四种，即：，即： 电子、空穴、电离的施主和电离的受主电子、空穴、电离的施主和电离的

44、受主 在半导体体内应保持在半导体体内应保持电中性电中性，由此可得：，由此可得： 1221 FvF FADF EEEcE AD kTkT cvEEEE kTkT NN N eN e ee - - - - +=+ + no + pA- = po + nD+（6） 假设只含一种假设只含一种施主施主杂质。在热平衡条件下，半杂质。在热平衡条件下，半 导体是电中性的：导体是电中性的： 1、n型半导体型半导体的载流子浓度的载流子浓度 Tk EE v0 Tk EE c0 0 vF 0 Fc eNp eNn 而 8 e21 N eNeN 75 Tk EE D Tk EE v Tk EE c 0 FD 0 vF

45、0 Fc 即 式中性条件式一起代入上页的电中将上面二式和 n0=p0+nD+ （7） (5) 21 DF D DEE kT N n e 关键是求费米能关键是求费米能EF 上式解析求费米能是上式解析求费米能是困难困难的。当温度从高到低的。当温度从高到低 变化时变化时 ，对不同温度还可将此式进一步，对不同温度还可将此式进一步简化简化。 Note: 杂质电离杂质电离在低温下就不可忽略，在室温时在低温下就不可忽略，在室温时 ，几乎全部电离达到饱和；而，几乎全部电离达到饱和；而本征激发本征激发在室温下在室温下 ，一般还比较弱，但随温度升高而迅速增大！，一般还比较弱，但随温度升高而迅速增大！ 1 1、杂质

46、电离区杂质电离区，多子几乎完全是由杂质，多子几乎完全是由杂质 电离提供；电离提供； 2 2、过渡区过渡区，本征激发不可忽视，数量级上，本征激发不可忽视，数量级上 与杂质相当；与杂质相当； 3 3、本征激发区本征激发区，本征激发所产生的载流子，本征激发所产生的载流子 至少比杂质电离要高一个数量级。至少比杂质电离要高一个数量级。 推导定量公式推导定量公式 根据温度变化，把温度分为三个区域：根据温度变化，把温度分为三个区域： （1）、杂质电离区）、杂质电离区 特征：特征：本征激发可以忽略，本征激发可以忽略，p0 0, 导带电子主要由电离杂质提供。导带电子主要由电离杂质提供。 强电离区 中间电离区 低

47、温弱电离区 杂质离化区 三个温区三个温区 （a a）低温弱电离区：）低温弱电离区： 很少量施主杂质电离，很少量施主杂质电离，本征激发可以忽略本征激发可以忽略，即导，即导 带中的电子全部由电离施主杂质提供。所以根据带中的电子全部由电离施主杂质提供。所以根据 电中性条件（电中性条件（9）式得到：）式得到： 10 21 0 0 Tk EE D Tk EE c FD Fc e N eN即 电中性条件电中性条件 n0=p0+nD+ 可近似为可近似为 n0=nD+ （9） 本征激发提供本征激发提供 特征特征：nD+ ND ， ， 弱电离，少量施主杂质电离 弱电离，少量施主杂质电离 00 11 2 CFDF

48、 EEEE k Tk T D C N Nee 所以电中性条件式（10）简化为 12 2 ln 22 0 C DDC F N NTkEE E 1e Tk EE 0 FD ED在在EF 上，但很接近上，但很接近 低温弱电离区的费米能级，与低温弱电离区的费米能级，与温度温度、杂质浓杂质浓 度度以及以及杂质原子的种类杂质原子的种类有关。有关。 3 2 0 0 ,0lim ( ln )0 lim 2 c TK cD F T NTTKTT EE E 当时， 所以，所以，低温低温时，时， 费米能级位于导带底和施主能级的中线处。费米能级位于导带底和施主能级的中线处。 12 2 ln 22 0 C DDC F

49、N NTkEE E ( ln2)3 ln()ln() 222222 FDD dENNkkT dNck dTNcNcdTNc Ec C E Ei E T Nc=0.11ND 把费米能公式（把费米能公式（12）对）对温度温度求微商：求微商： N 型半导体在低温电离型半导体在低温电离 时，费米能级随温度变时，费米能级随温度变 化。在化。在Nc=0.11ND，有一，有一 个个极大值极大值。杂质含量越。杂质含量越 高，费米能达到极大值高，费米能达到极大值 的温度也越高！的温度也越高！ 中式代入将 Tk EE C0 0 FC eNn12 得到得到低温弱电离区低温弱电离区的载流子浓度为：的载流子浓度为： 1

50、40 n n p 13e 2 NN n 0 2 i 0 Tk2 E 2 1 CD 0 0 D 电离能电离能 结果分析结果分析: 2、由于由于 3 2 C NT ，所以在温度很低时，所以在温度很低时， 3 4 0 exp() 2 D E nT kT 载流子浓度载流子浓度 随温度升高，随温度升高，no 呈指数上升。 呈指数上升。 1、在温度很低时，、在温度很低时， 0 lim 2 CD F TK EE E 3、 3 4 0 1 lnn T T 为一条直线，可求出为一条直线，可求出 杂质杂质电离能电离能ED 。 实际的应用实际的应用 杂质能级位置杂质能级位置 (b)(b)中间弱电离区中间弱电离区：

51、本征激发仍略去，随着温度本征激发仍略去，随着温度T的增加，的增加，nD+已足够已足够 大，故直接求解大，故直接求解方程（方程（8） 8 21 0 0 Tk EE D Tk EE c FD Fc e N eN 151e N N8 1 4 1 lnTkEE 2 1 Tk E C D 0DF 0 D 求费米能求费米能 中代入 Tk EE C0F 0 FC eNnE 17 n n p 16e 4 N n 0 2 i 0 1e N N8 1 Tk E C 0 2 1 T 0 k D E C D 0 D 则 很繁琐，用得不多！很繁琐，用得不多！ 在中间电离区，温度继续升高时，但在中间电离区，温度继续升高时

52、，但2NCND 结果定性讨论：结果定性讨论： 式（式（12）的第二项为）的第二项为负值负值，这时，这时EF 下降到下降到(EC+ED)/2 以下，但温度升高到，使得以下，但温度升高到，使得EF=ED 则：则： exp()1 FD EE kT 1 3 oD nN 施主杂质有施主杂质有1/31/3电离电离 由式（由式（8 8）得：）得： 12 2 ln 22 0 C DDC F N NTkEE E Ec Ev EF ED N型杂质半导体型杂质半导体 中间电离区中间电离区 式中代入 18eNn Tk EE C0 0 FC 19 N N lnTkEE C D 0CF 则 21 N n n n p 20

53、Nn D 2 i 0 2 i 0 D0 而 特征：特征：杂质基本全电离杂质基本全电离 nD+ ND 电中性条件简化为电中性条件简化为 n0=ND （18） （c）强电离区（饱和电离）：）强电离区（饱和电离）： 这时，这时，0 N N lnNN C D CD 且 19 N N lnTkEE C D 0CF 在一般的掺杂浓度下，在一般的掺杂浓度下，NCND上式第二项为负值上式第二项为负值 温度一定时温度一定时， ND越大，越大， EF 就越向导带方向靠近。就越向导带方向靠近。 ND一定时一定时，温度越高，费米能级减低，向本征费米，温度越高，费米能级减低，向本征费米 能级能级Ei 方向靠近。 方向靠

54、近。 注：注：强电离强电离与与弱电离弱电离的的区分区分： Tk EE D D 0 FD e21 N n 由 D D N n 离化比率有 11 290% D D D D n N n N 弱电离 强电离 (), DF EEkT当施主杂质能级在费米能级之上 1 2 1 )( kT EE D DDD FD e N EfNn 2exp() DF DD EE nN kT 把求得的费米能式把求得的费米能式 EF（1919）代入上式得：）代入上式得： 19 N N lnTkEE C D 0CF 求出未电离浓度：求出未电离浓度：2()exp() DD DD C NE nN NkT 定义：定义： 2 ()exp(

55、) DD C NE D NkT DD nD N 所以：所以： D ：为（：为（1 1离化率）离化率） D是是10可认为施主杂质全部电离可认为施主杂质全部电离 当温度升高时、D-小，电离程度增强 当ND当减小，D-小，电离程度增强 当ED减小，D-小，电离程度增强 Eg. 掺掺P的的n型硅型硅，室温时：，室温时： 193 2.8 10,0.044 0.026 CD NcmEeV kTeV 可由式：可由式：()exp() 2 CD D D NE N kT 全部电离时杂质浓度上限等于：全部电离时杂质浓度上限等于： 173 3 10 cm 硅的本征载流子浓度为：硅的本征载流子浓度为： 103 1.5

56、10 cm 所以，室温时，所以，室温时，P P的掺杂范围的掺杂范围 11173 103 10 cm 1 1、对于某、对于某n n型半导体，试证明其费米能级在其本征半型半导体，试证明其费米能级在其本征半 导体的费米能级之上。即导体的费米能级之上。即E EFn FnE EFi Fi 证明：设证明：设n nn n为为n n型半导体的电子浓度，型半导体的电子浓度，n ni i为为 本征半导体的电子浓度。显然本征半导体的电子浓度。显然 n nn n n ni i in in FF Fc c Fc c EE Tk EE N Tk EE N 则 即 00 expexp 163103 0102 1.0 10,

57、1.0 10ncmncm 2 2、两块半导体、两块半导体SiSi室温下电子浓度分布为，室温下电子浓度分布为， （N NC C=3=3* *101019 19cm cm-3 -3， ，N NV V=1=1* *101019 19cm cm-3 -3， ， n ni i=10=1010 10cm cm-3 -3， ，ln3000ln30008, 8, ）则）则 （1 1）、计算半导体的空穴浓度）、计算半导体的空穴浓度 （2 2）、画出半导体的能带图）、画出半导体的能带图 （3 3）、计算出半导体的费米能级的位置）、计算出半导体的费米能级的位置 （要求（要求n n型半导体求型半导体求E EC CE

58、EF F） (2)(2)、过渡区：、过渡区： 特征：特征：（1）杂质全电离）杂质全电离 nD+=ND （2）本征激发不能忽略）本征激发不能忽略 电中性条件：电中性条件： n0=ND+p0 23npn 22pNn 2 i00 0D0 联立 处于饱和区和完全本征激发之间，导带的电子有本处于饱和区和完全本征激发之间，导带的电子有本 征激发的贡献，同时价带中有一定量的征激发的贡献，同时价带中有一定量的空穴空穴。 exp() ci ic EE nN kT 本征激发时本征激发时： no po ni 及及EF=Ei ， exp() cF oc EE nN kT exp() iF oi EE nn kT 同理

59、可得：同理可得：exp() iF oi EE pn kT exp() ci ci EE Nn kT 代入代入 0 exp() cF c EE nN kT 由电中性条件式（由电中性条件式（2222）可得：）可得： exp()exp() FiFi Di EEEE Nn kTkT 2() Fi i EE n sh kT 所以，所以， () 2 D Fi i N EEkTarsh n T一定时，一定时， 材料的本征载流子浓度材料的本征载流子浓度ni和杂质浓度和杂质浓度ND 已知，已知， 可算得（可算得（EF-Ei ）。当）。当ND/(2ni) 很小时，很小时， EF接近接近Ei 半导体半导体 接近本征激发。当接近本征激发。当ND/(2ni) 增大，向饱和电离区接近。增大，向饱和电离区接近。 23npn 22pNn 2 i00 0D0 联立 25 N n4 11 N n2 2 n4NN p 24 N n4 11 2 N 2 n4NN n 2 D 2 i D 2 i 2 i 2 DD 0 2 D 2 iD 2 i