利用数形结合法巧解疑难问题

1、利用数形结合法巧解疑难问题 摘 要 高中数学试卷中的综合试题或是计算量大，或是几种知识混合应用，或是题设结论之间的联系不易被发现，学生碰到这类题往往会觉得头痛，甚至放弃做题.其实通过训练，这类试题是有规律破解的.解这类题型最有效的办法就是数形结合.通过分析题设或结论的几何意义，达到“以形助数”或“以数解形”，把抽象思维和形象思维进行结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而解决问题. 关键词 数形结合 以形助数 例题 中图分类号 g633.6 文献标识码 a 文章编号 1674 6058（2016）17 0053 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通

2、过“以形助数”或“以数解形”的形式，把抽象思维和形象思维进行结合，达到将复杂问题简单化、抽象问题具体化的目的，从而解决问题.现就利用表达式的几何意义，利用数形结合法解决一些不容易入手的或计算量大的问题，希望能帮助学生掌握解题技巧. 【例1】 函数f（x）=ln（ x2+x+1 - x2-x+1 ） 的值域是（ ）. a.（-，0） b.（-1，0） c.（0，1） d.（0，+） 这是一道2007年高考模拟考试选择题的压轴题，不易入手.学生往往想到用求导的方法去求函数的值域，但求导过程很复杂.若利用数形结合法分析，则使解题思路清晰，可以化繁为简. 解析： 利用函数的几何意义， 如图1， x2+

3、x+1 - x2-x+1 可看做x轴上的一个动点p（x，0）到定点m（- 1 2 ， 3 2 ）和n（ 1 2 ， 3 2 ）的距离之差，即 x2+x+1 - x2-x+1 = |pm|-|pn|. 而|pm|-|pn| 所以00时，f（x）0，当x0时，f（x）为增函数. a0，b0，2a+b0. f（2a+b） 由此得约束条件 a0，b0，2a+b 以a为横轴、b为纵轴建立直角坐标系， 画出可行域为rtoab， 如图3所示. b+2 a+2 可看成可行域内任意一点（a，b）与点p（-2，-2）连线的斜率. 1 2 =kpb b+2 a+2 b+2 a+2 的 取值范围为（ 1 2 ，3）.

4、 【例3】 关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则 b-1 a+1 的取值范围是（ ）. a.（0，2） b.（-2，0） c.（0，1） d.（-1，0） 此题的构思与上一题是同一思路，利用方程实根的取值范围，确定a、b的取值范围，则 b-1 a+1 的几何意义就是坐标平面上动点（a，b）与定点（-1，1）连线的斜率，但与上一题的区别是多了一个待定系数c. 解析： 由题意知，方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根0 以a为横轴、b为纵轴建立直角坐标系， 画出可行域，如图4.则 b-1 a+1 表示 可行域内的点（a，b）与点（-1，1）连线的斜率k. -2 【例4】 已知abc，如果对一切实数t 都有|ba - tbc |ac |，则abc一定为（ ）. a.锐角三角形 b.钝角三角形 c.直角三角形 d.与t的值有关 这是2009年郑州市高中毕业班质量预测卷选择题的压轴题，是有关向量方面知识的试题.学生初看不知从何下手，但若用 数形结合法 去分析，则易知答案. 解法二： 由得点p是以原点为圆心、of1为半径的圆与右准线的交点 p点纵坐标为