例谈数学新颖试题设计的几种方式

1、例谈数学新颖试题设计的几种方式 一些新颖的题目的设计，既显示了命题者的数学智慧，也展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，也为了避免题海战术在高考中取得高分，我们该创设更多更好的问题情景同时对学生的学业成绩进行评价，也是整个教学过程的一个重要环节随着新一轮基础教育改革的不断深入，虽然我们对如何进行教学评价已有了新的认识，但在目前，用考试的方法对学生的学业进行评价还是一种主要的方法而如何设计试题，使之符合课程改革新理念，充分发挥考试的评价作用，除了根据课改教材进行精心设计考试的知识点外，我们还需创作出更有新意的数学题目在浙江省高中数学教师基本功比武中也有一个环节叫试题设计，可见

2、数学试题的设计对于一名数学教师而言也是非常重要的一个部分下面以我个人的亲生历为谈谈数学试题设计的几种方法，以供同行参考 1. “乔装打扮” 教材(通俗说“课本”)是落实新课程目标的必由之路,是国家根据学生的身心特点和学科任务,经有关专家组编辑具有一定范围和深度的知识技能体系的教学课本,它为学生提供了大量丰富有趣的现实数学素材和探索交流的时间与空间教材很好地展现了数学知识的形成与应用过程,同时也充分考虑了不同层次学生的数学需求它是达成新课程标准的核心,是教师传授知识培养能力的依据,是学生获得知识的主要来源因此根据教材内容，教材例题习题来“乔装打扮”叙述方式，是创作新题的主要方式之一 例1 （人教

3、版必修1p17）：已知函数f(x)=x-2+1x-3， （1） 求函数的定义域； （2） 求f(-3)，f23的值； （3） 当a0时，求f(a)，f(a-1)的值 设计思路：为了考察函数的重要特性之一定义域，同时继续保留原有教材的风采，也考虑到以小题的形式进行考察比较适当，把原题进行“乔装打扮”，同时也把原题中的几个知识要求都在这个题目中反映出来改编成如下简洁新颖的一个题目： 题1 已知函数f(x)=x-2+1x-3，若f(a)的值存在，则实数a的取值范围为 a. a|a2 b. a|a0 c. a|a2且a3 d. a|a2或a3 例 人教版必修1p72一段文字 设计思路：既体现教材原有的

4、应用形式，又使学生继续了解溶液的酸碱度，同时也包含了对对数的运算的考查 题2 国家标准规定，饮用纯净水的ph应该在5.0，7.0范围内，而ph的计算公式为ph=-lgh+，其中h+表示溶液中氢离子的浓度，单位为摩尔升，则符合国家标准规定饮用纯净水的氢离子的浓度应控制在 a. 10-7，10-5 b. lg5，lg7 c. 5，7 d. 105，107 2. “锦上添花” 在原有教材例题或习题的基础上，再添加若干小题，以增加考查知识点和能力要求的目的 例3 人教版必修五p100：x0，当x取什么值时，x+1x的值最小？最小值为多少？ 设计思路：把求x+1x的最小值改为求2a+1a的最小值，但这样

5、显得很单薄，所以又设计在a+b=1的前提下，求z=m+n的最小值 题3 已知a0，b0，a+b=1，设m=2a+1a，n=2b+1b （） 求m的最小值，并求出当m取最小值时a,b的值； （） 设z=m+n，求z的最小值，并求出当z取最小值时a,b的值 说明：这样更改无论从知识点的考查，还是对学生思维能力的培养都显得更加充实更加有效，考查了基本不等式的灵活应用 例4 人教版选修11p42：如图，圆o的半径为定长r，a是圆内一定点，p是圆上任意一点，线段ap的垂直平分线l和半径op相交于点q，当点p在圆上运动时，点q的轨迹是什么？为什么？ 设计思路：圆锥曲线的定义始终是最重要的，对定义的理解是学

6、好圆锥曲线的关键，而坐标法又是研究圆锥曲线的重要方法，因此把此题设计为在坐标系下的圆锥曲线定义的应用，而仅仅是定义的考察又显得单薄，从而再增加直线与圆锥曲线的位置关系的考查 题4 点p是以a（-1，0）为圆心，半径为4的圆上任意一点，b（1，0），若线段pb的垂直平分线l与ap相交于点q 第4题图 () 求点q的轨迹s的方程； () 当点p的坐标为（-1，4）时，判断直线l与轨迹s的位置关系，请说明理由 说明：形式化是数学的基本特征之一，在数学学习中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里在教材原有

7、题目的基础上加以“锦上添花”，更能进一步使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，进一步体会其中蕴含的思想方法 3. “无中生有” 这类题目在原有的教材中很难找到其原型，是运用了教材的知识要求而设计当然设计这样的题目所花的心血也更多，有时候需花上几天或十几天才能设计一个题目，因为它还需要不断地去完善和改进 比如为考察学生对三角函数线的掌握情况，编拟如下二个题目 题5 如图， p为单位圆在第一象限ab上的一点，过p作x轴的垂线交x轴于m，过a作x轴的垂线交op延长线于，若|at|=|om|，则aop的正弦值为（ ） 第5题图 a. 2-12 b. 2-12 c 5-12 d 5-12 题6 如图单

8、位圆中扇形oab的面积为6，过a（1，0）作垂直于x轴的直线与ob的延长线交于点t，则线段at的长度为_ 第6题图 设计思路：第一题是要求在相对直接的图形中，正确找到余弦线，正切线，正弦线以及它们之间的关系；第二题是把扇形面积和正切线结合在一起进行设计，当然还可以再融合其他三角函数线 题6 已知函数f(x)=|tanx|，设xi=3i，则满足条件：“若ij，则有f(xi)f(xj)”（其中i，j5，7，8）的实数对（i，j）共有（ ） a. 对 b. 对 c 对 d. 对 设计思路：此题设计包含学生对试题的阅读能力，三个点用i，j的方式来给出，考试要求中也明确达到对学生阅读能力的考察还考察了正

9、切函数的图形以及加绝对值后的图形，数形结合的数学思想也反映在此题中 说明：新课标目标之一就是“让学生理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用” 三角函数线是三角函数的根本，也是三角函数的起源，而教材中这类题目本身不多，基于这点，我们可以“无中生有”，但是不能偏离题目的本质要求 4. “偷天换日” 在原先相对比较常规的数学问题中换常数为字母参数，或者认为增加参数等，也不失为一种设计试题的方法和手段 题7 f(x)=asin2x+bcos2x（a0，b0）. （） 当b=2a=2时，求f(x)的单调区间； （）

10、 令g(x)=f(x)-b2，且g6=3，设g(x)的最大值为k，求k的取值范围 设计思路：三角函数图像与性质的考察往往作为高考解答题的第一个题目，这个题目继续保留三角函数变形的功能，同时把常见的以具体数字给出变成以字母形式给出，第一小题为降低难度，仍然以常态形式给出，而第二小题设计成一个具有双变量的有条件限制的最值问题 题8 已知数列an满足a1=m，an+1=tan+n （） 当m=1时，是否存在实数t，使得a1，a2，a3经过调整顺序后能成等差数列？ （） 设bn=an-3n3+（r），且数列bn为等比数列 （） 求实数t和的值； （） 记数列bn的前n项和为sn，若对任意的正整数n，不

11、等式sn13恒成立，求实数m的取值范围 设计思路：以人教版必修5p33习题4：a1=12，an=4an-1+1为简单的二阶递推数列模型，把具体的数字字母化，设计的第一小题为半开放性试题，包含分类讨论的数学思想，又由于有些递推数列能变形转化为特殊的等差数列或等比数列，这样就有了第二小题的设计 说明：字母数字化，特殊问题一般化，抽象问题具体化等等都是设计试题的方法这类试题更能反映出学生对所学数学知识本质的认识，以及解决数学问题的能力，对培养学生的创新精神和实践能力具有很大的帮助 5. “移花接木” 把几个原本独立的知识点通过某种方式有机地联系起来，既考查了学生对知识的掌握程度，又符合在知识的交汇点

12、出题的大纲要求 例5 人教版必修1p3031 设计思路：把教材中的烟花问题与前面p30关于函数最大值的定义进行有机的结合，即把本来两个独立的内容融为一体，试题设计新颖 题9 “菊花烟花”是最壮观的烟花之一，它距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系为 h(t)=-4t2+12t+19，若满足： （1） 对于任意的t（0，+），都有h(t)m； （2） 存在t0（0，+），使得h(t0)=m 则当h(t)取到m的值时，相应的t0的值为_ 结束语 学生在数学三维目标的达成过程中,其最为基本,也是最为有效的方式就是解题学生解题能力的高低是检验学生学习效果优劣的最直接、最关键的指标学生解题活动效率高低直接影响其解题能力的