九年级寒假班第6讲：四边形-教师版

1、中考复习四边形知识结构多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形.由n条线段组成的多边形就称为 n边形(n 3).组成多边形的每一条线段叫做多边形的边.相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点.多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角.联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线.对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一 侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形.2、多边形的内角和定理： n边形的内角和等于 n 2 g180 (n 3).3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成

2、的角，叫做多边形的外 角.对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角 的和，叫做多边形的外角和.多边形的外角和等于 360.二、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2、平行四边形的性质：平行四边形TIe质定理 1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等.简述为：平行四边形的对边相等.平行四边形T质定理 2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等.简述为：平行四边形的对角相等.平行四边形T质定理 3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分.简述为：平行四边形的对角线互相

3、平分.平行四边形T质定理 4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.3、平行四边形的判定平行四边形判定定理 1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理 2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理 3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理 4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相

4、等的四边形是平行四边形.三、特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2、矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2:矩形的两条对角线相等.菱形的性质定理1:菱形的四条边都相等.菱形的性质定理2:菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.正方形的性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等中考复习正方形的性质定理 2:正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分3、矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定定理2:对角线相等

5、的平行四边形是矩形.菱形判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.例题解析【例1】（2015学年闵行区二模第13题）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这 个四边形为等对角线四边形写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称【难度】【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形.【解析】考查常见的四边形的性质.【例2】（2015学年崇明县二模 第6题）下列判断错误的是（）A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】C【解析】对平

6、行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查.【例3】（2014学年 宝山区、嘉定区二模 第5题）下列命题中，真命题是（）A.菱形的对角线互相平分且相等B.矩形的对角线互相垂直平分C.对角线相等且垂直的四边形是正方形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】D【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质.123【例4】（2015学年 金山区二模 第14题）如图，在YABCD中，AC、BD相交于点O, 请添加一个条件 ,可得YABCD是矩形.【答案】 BD AC或 DAB 90 .【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形.【总结】考查矩形的判定.【

7、例5】（2014学年 浦东新区二模 第6题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC 与BD相交于点O,那么下列结论中正确的是 （）A.当AB = BC时，四边形 ABCD是矩形B.当AC BD时，四边形 ABCD是矩形C.当OA = OB时，四边形 ABCD是矩形D.当 ABD CBD时，四边形 ABCD是矩形【难度】【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形.【例6】（2014学年崇明县二模 第6题）已知在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O, 那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A. AC = BD, AB / CD, AB = CDB. AD / BC, A C

8、C. AO = BO = CO = DO, AC BDD. AO = CO, BO = DO, AB = BC【难度】【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形.【例7】（2015学年宝山区、嘉定区二模第5题）如果点K、L、M、N分别是四边形 ABCD 的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形 KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（）A. AB BCB. AC BD C. AB BC D. AC BD【难度】【答案】D【解析】连接 AC、BD,点K、L、M、N分别是四边形 ABCD的四条边AB、BC、CD、DA 的中点，所以得四边形 KLMN为平行四边形，又它为菱形则相邻

9、两边相等，而邻边正 好是四边形ABCD的对角线的中位线，所以 AC=BD .中考复习【总结】考查三角形中位线定理的运用.【例8】（2014学年 静安区、青浦区二模 第12题）从AB / CD,AD / BC,AB = CD,ABCD是平AD = BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形行四边形的概率是两组对边相等的四边形、一组【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、对边平行且相等的四边形均是平行四边形，共有4种情况,所以概率是4_26 3【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用.【例9】（2015学年 黄浦区二模第17题）在平行四边形ABCD 中,BC = 2

10、4, AB = 18,ABC和 BCD的平分线交AD于点E、F,则EF =【解析】由平行线和角平分线可知 ABE和 CDF都是等腰三角形,所以 AE AB 18, DF DC所以 EF AE DF AD 18 18 24 12 .B-A【总结】本题主要考查“平行线 +角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用.【例10】（2014学年长宁区二模 第6题）如图,在四边形 ABCD中， ABC 90 ,对角线 AC、BD 交于点 O, AO = CO, AODE是DC边的中点.卜列结论中,错误的是OE()-AD2八1八八 八B. OE -OB C. OE2八 1-D. OE - BC 2AODADO

11、因为O、E都是中点,所以得到 AO OD ,又 AO = CO,OE是中位线，即OE 1 AD ,2得 AO=AD=OC,又 ABC 90且O为中点,则 AO=OC=OB,所以A、B、C正确，D错误.【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用.a.下列关于【例11】（2014学年杨浦区二模 第6题）设边长为3的正方形的对角线长为125a的四种说法：a是无理数；a可以用数轴上的一个点来表示；3 a 4;a是18的一个平方根.其中，所有正确说法的序号是（）A.B.C.D.【难度】【答案】C【解析】勾股定理可得：a 3夜，所以是对的，是错的，是对的，数轴和实数是一一对应，所以是对的

12、，故选 C.【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识.【例12】（2014学年普陀区二模 第15题）如图，在 ABC中，点D、E分别在AB、AC上， ADE C,如果AE = 2, ADE的面积是4,四边形BCDE的面积是5,那么AB的长是.【难度】【答案】3.【解析】因为 ADE C, A A ,所以 ADE : ACB .因为SSabc 4 5 9,根据相似三角形面积比等于相似比的平方,得:2DES ADEABS ABC4 ,得:BE 2 因为 ae = 2,所以 AB=3. 9 AB 3【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用.【例13】（2014学年奉贤区二模 第23题）已知：如图

13、，在四边形 ABCD中，AB / CD,点E是对角线 AC上一点， DEC ABC ,且CD2 CEgCA .（1）求证：四边形 ABCD是平行四边形;（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点 F,联结CF ,FCE DCE ,求证：四边形EFCD是菱形.【答案】略.【解析】证明：（1） . AB / CD, . BACDEC ABC , CDE ACB ,ECD ,CD CEAC ABCD AB CE CA,又. CD2 CEgCA , ，AB=CD, 又因为AB / CD,所以四边形 ABCD为平行四边形；(2) AE/BF , AB/EF ,二.四边形 ABFE是平行四边形, .A

14、B/EF 且 AB EF ,又ABCD 为平行四边形， AB /CD 且 AB CD中考复习.EF/CD且EF CD,，四边形EFCD为平行四边形, EF / /CD , FEC ECD , FCE DCE ,， FEC FCE ,，EF=CF, .四边形EFCD为菱形.【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用.【例14】（2015学年金山区二模 第23题）如图，在 ABC中，AB = AC,点D在边AC上，AD = BD=DE,联结 BE, ABC DBE 72 .(1)联结 CE,求证：CE = BE;（2）分别延长 CE、AB交于点F,求证：四边形 DBFE【答案】见解析.【解

15、析】证明：（1）设DE与BC的交点为O,ABCDBE72 , AB = AC, AD = BD=DE,ABDDBADBC 36, ABC ACB BDCDBE DEBBCDCEOOCECBE 36 , BE=CE.BDE CED 36 ,，BD / /CF , = ABDEDB 36 , -DE/AB ,DE=BC, CD=DO=BO, . OC = OE,二四边形【例15】（2014学年金山区二模 第23题）已知:如图，在 Rt ABC中,ACB 90 ,AC = BC ,点E在边AC上，延长BC至D点,使CE = CD ,延长BE交AD于F,过点C作CG / BF ,交AD于点G ,在BE

16、上取一点H,使 HCE（1）求证：BCE（2）求证：四边形FHCG是正方形.【答案】略.【解析】证明：（1）ACB ACD 90DCG .CE=CD, AC=BC,(2) BCE 9 ACDCEB CDA又 HCE DCG , CE=CD,CEHCDG , CH=CG,HCE DCG 且 ACB 90 ,， HCG90 CHF CGF ,DBFE为平行四边形，又; BD=DE, .四边形 DBFE为菱形.【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用.，四边形FHCG为矩形，又; CH=CG, .四边形FHCG为正方形.【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用.127ABCD

17、中，AB / DC, E、F 为H,求证：ADgDC BH gDG .ADC【例16】(2015学年虹口区二模 第23题)如图，在四边形对角线BD上两点，且 BE = DF, AF / EC.(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；(2)延长AF,交边DC于点G,交边BC的延长线于点【难度】【答案】略.【角军析】证明：（1） BE=DF, BF=DF,. AB/DC ,. ABF EDC , BAF AGD ,. AF / EC,AGD ECD BAF ,， AFB CED , .AB=CD,且AB / DC,二.四边形 ABCD为平行四边形;(2)二四边形 ABCD为平行四边形,HAB :

18、 AGD ,ADBHDGAB，又. CD=AB,ADgDC BH gDG .【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用.【例17】(2015学年闵行区二模 第23题)如图，已知在矩形 ABCD中，过对角线 AC的中点O作AC的垂线，分别交射线 AD和CB于点E、F ,交边DC于点G,交边AB于点H .联结AF、CE.(1)求证：四边形 AFCE是菱形；(2)如果 OF = 2GO,求证：GO2 DGgGC .【难度】【答案】略.【解析】（1）二.四边形ABCD为矩形，AO=OC, AE/DF , EOA FOC , OE=OF,又 EF AC ,且AO=OC, .四边形 AFC

19、E为菱形；（2）二.四边形 AFCE 为菱形， EOC EDC 90 , EGD CGO , EGD : CGO ,，DG GO EG CG- OF = 2GO=OE, OG = EG, . GO2 DGgGC .【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用.【例18】(2014学年 杨浦区二模 第23题)已知：如图，Rt ABC和Rt CDE中,中考复习ABC CDE 90，且BC与CD共线，联结 AE,点M为AE中点，联结 BM ,交AC于点G,联结 MD,交CE于点H.(1)求证：MB = MD ;(2)当AB = BC, DC = DE时，求证：四边形【答案】略.【解析】(1)过点M作

20、MNBD 于 N,ABC CDE90，且BC与CD共线,P. AB/MN / /DE,又 M为AE中点，N也为BD中点,BMD为等腰三角形，BM=MD;(2)延长BM交DE延长线于点P,AB/PE , M 为 AE 中点，AB=PE, AB=BC, DC=DE, Rt ABC和Rt CDE都是等腰直角三角形，CED ACBCED P , ACB BDM , ，CE/BP , AC / /DM ,四边形MGCH为平行四边形,又 GMH 90，四边形MGCH为矩形.【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用.【例19】2014学年 黄浦区二模 第23题)如图，在正方形ABCD中，点

21、E在对角线AC上,点F在边BC上，联结BE、DF, DF交对角线AC于点G,且 DE = DG.(1)求证：AE = CG;(2)求证：BE / DF.【答案】略.【解析】(1)取AC中点O,连接DO. AD = CD, DO AC .又 DE=DG,EO=OG,，AE=CG;(2)二.正方形ABCD, BACACD 45 AE=CG, AB=CD,EABCGDABE GDC又 DFC FDC EBCABE90DFC EBF , BE / DF .【总结】本题主要考查正方形性质的运用.【例20】(2014学年 闸北区二模 第23题)已知:如图1,在平行四边形 ABCD中，点E、F 分别在 BC

22、、CD 上，且 AE = AF , AEC(1)求证：四边形 ABCD是菱形；129(2)如图2,若AD = AF,延长AE、DC交于点G,求证：AF 2 AGgDF .(3)在第(2)小题的条件下，连接 BD,交AG于点H,若HE = 4, EG = 12,求AH的长.【难度】【答案】略【解析】(1) AEC AFC ,AEB AFD,又四边形ABCD为平行四边形，又.AE = AF, ABE ADF ,，AB=AD, 四边形 ABCD 为菱形;(2) .四边形 ABCD 为菱形，BAG AGD FAD ,又 D D ,AD FD 2_ AFD : GDA，一 一 一 ,又. AD=AF ,

23、AF AGgDF ; GA AD(3)AB/DC , AD/BC ,AH BHBH EH，HG HDHD AHAH EHHG AH一一AH 4X-.- HE=4, EG=12, . .-4- , . .AH=8.【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用.模块二：梯形知识精讲梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底，较长 的底叫做下底).梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰.2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性质及判定1、等腰

24、梯形性质定理：(1)等腰梯形在同一底上的两个内角相等.(2)等腰梯形两条对角线相等.2、等腰梯形判定定理：(1)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.中考复习（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线.2、梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【例21】顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是形.【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线,得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形.【总结】本题主要考查三角形中位线的运用.【例22】（2014学年 黄

25、浦区二模 第14题）如果梯形的下底长为 7,中位线长为5,那么其上底长为3.梯形中位线等于上底加下底和的一半.本题主要考查梯形中位线的运用.【例23】（2015学年金山区二模 第15题）梯形ABCD中，AD / BC, AD = 2,BC = 6,点E是边BC上的点，如果 AE将梯形ABCD的面积平分，那么1【解析】设梯形的图为h,则S梯形ABCD - （2wTly ABCD6) h 4h ,因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以 SVABE2 BE hBE的长是所以BE 4 .【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用.【例24】（2014学年 静安区、青浦区二模 第14题）如果梯形A

26、BCD 中，AD / BC, E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1, BC = 3,那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是131中考复习5【解析】因为EF为梯形ABCD的中位线，所以 形，且他们的高相等，所以面积之比等于EF=2,又因为四边形 AEFD与EBCF为梯3 5【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用.【例25】(2014学年黄浦区二模 第22题)如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB BC ,4已知AD = 2, cot ACB ,梯形ABCD的面积是9.3(1)求AB的长；(2)求 tan ACD 的值.【难度】【答案】(1) 3; (2).17【解析

27、】(1)设AB x ,则bc4x 3,4X,梯形面积等于3即AB的长为3;(2)过 D 作 DH AC 于 H ,4- AD / BC,ACBCAD , cotCADcot ACB -,368一一17 DH - ,AH - ,AC=5 ,CH,555tan ACDDH 6CH 17【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用.【例26已知，如图，在梯形ABCD中，AD / BC,点E是边CD的中点，点F在边BC上,EF / AB.1求证：BF - AD BC .2【难度】【答案】略.【解析】取AB的中点G,连接EG,八 1-EG AD BC ,2【例28】（2015学年 黄浦区二模 第

28、23题）如图,在 ABC中,D、E分别是AC、BC边点E是边CD的中点，EG为梯形ABCD的中位线,又 EF/AB,且EG/BC,，四边形BFEG为平行四边形, 1. BF=EG , BF - AD BC .2【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用.【例27】（2015学年杨浦区二模 第23题）如图，在直角梯形纸片 ABCD中，DC / AB, ABCDAD, A 90，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处， 折痕为DF,联结EF并展开纸片；（1）求证：四边形 ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G,联结GE,当BG = CD时，求证：四边形 GBCE为

29、等腰梯 形.【难度】【答案】略.【解析】（1） ; CD/AB, ADE A 90 ,由翻折性质，知 ADF EDF , A DEF 90 ,，四边形 ADEF 为矩形，丁 ADF FDE 45 ,，DA=AF ,，四边形ADEF为正方形；（2）连接 DG, EG,. BG=CD, AB/CD ,，四边形 DGBC为平行四边形，BC=DG ,X /AG=GF, AD=EF, A EFA 90 ,，VAGD VFGE ,，EG=DG , .BC=EG, BG/CE且不相等，四边形 GBCE为等腰梯形.【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质 的运用.上的点

30、，AE与BD交于点。，且CD = CE,（1）求证：四边形 ABED是等腰梯形;(2)若 EC = 2, BE = 1 ,【答案】（1）略；（2） 32【解析】(1) ; C C , CD = CE,1AOD 2 1 , ACE BCD , BC=AC, .AD = BE, CAB. DE /AB ,又ABC , ABCDE AB,，四边形(2)二四边形 ADEB为等腰梯形，., 12, 1 EDO OED ,又DEC ,ABED为等腰梯形；ADE BED .AOD 2 1,， ODE 1 ,.DE = BE=1, DE /AB ,DE EC AB -AB BC 2【总结】本题一方面考查等腰梯

31、形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用.【例29】(2014学年 宝山区、嘉定区二模 第23题)如图，已知 ABC和 ADE都是等边 三角形，点 D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结 CE.(1)求证： ACE 60 ;(2)在边AB上取一点F,使BF = BD,联结DF、EF .求证：四边形 CDEF是等腰梯形.【难度】【答案】略.【解析】(1) ABC和 ADE都是等边三角形,BAC DAE 60 , AB=AC, AD=AE,BADCAE ,ABD ACE , ACEABC 60 ；(2)CE=BD, BF=BD, B 60 ,， BDF 为等边三角形,.DF = BD=

32、CE, ACE ACB B ,， BCE 120 ,B BCE 180 , BF / /CE ,. BF=CE, .四边形BFEC为平行四边形， CD /EF且DF = CE,四边形CDFE为等腰梯形.【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用.【例30】(2014学年 静安区、青浦区二模 第23题)如图，在梯形 ABCD中，AB / CD,AD = BC, E是CD的中点，BE交AC于F,过点F作FG / AB,交AE于点G.(1)求证：AG = BF;(2)当 AD2 CAgCF 时，求证： ABgAD AGgAC .【难度】【答案】略.【解析】(1)二.四边形ABCD为

33、等腰梯形，AD BC , D中考复习又E 是 CD 的中点，DE = CE, ADE BCE,，AE=BE. GF /AB , EGF 和AEB均为等腰三角形， AG=BF;(2) AD = BC,且 ad2又 BCF FCB , .一 一一 2 一 一CAgDF ,BC CAgCF ,AB ACBCF : ACB , 一 一 .又AD=BC , AG=BF , . BF BCABgAD AG gAC .【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用.随堂检测【习题1】（2015学年 松江区二模 第5题）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是AC B

34、D B. AB ACC.ABC 90D. AC BD考查平行四边形和菱形的判定条件.【习题2】（2015学年奉贤区二模 第16题）四边形 ABCD 中，AD / BC, D 90 ,如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件.（不再添加线或字母，写出一种情况即可）【答案】AD=BC或ABC 90 .【解析】考查矩形的判定条件.【习题3】（2014学年 黄浦区二模 第6题）下列命题中真命题是（）A.对角线互相垂直的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是矩形D.四个内角都相等的四边形是矩形考查矩形的概念.【习题4】下列四边形中，是轴对称但不中考

35、复习A.非正方形的矩形B.非正方形的菱形C.正方形 D.等腰梯形【难度】【答案】D【解析】矩形，菱形，正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.【总结】本题组要考查轴对称图形和中心对称图形的概念.【习题5】（2014学年 普陀区二模 第23题）如图，在 ABC中，点D、E分别在边BC、2AC上，BE、AD相交于点 G, EF / AD交BC于点F ,且BF BDgBC ,联结FG .(1)求证：FG / CE;(2)设 BAD四边形AGFE是菱形.【答案】略.【解析】（1） BF2BDgBC ,BFBCBDBF，D F又 EF / AD, BGBEBDBFBF BG, FG / CE;BC BE（

36、2）连接AF交BE于点O, AD /EF , FG /CE ,BAD C , ABDAO=OF,BD四边形AGFE为平行四边形，CBA , ABD : CBA，幽,BC AB._ 2 2 AB BD BC BF ,AB=BF, BE AF ,，四边形AGFE为菱形.【总结】本题主要考查三角形一边平行线性质定理及相性质的综合运用.【习题6】 已知，如图，在四边形 ABCD中，AB = DC, AC = BD , AD BC .求证：四边形 ABCD是等腰梯形.【难度】【答案】略.【解析】分别过 A、D作BC的垂线交BC于点E、F , . AB=DC, AC=BD, CB=BC, ABCDCB ,

37、 ACB DBC ,又 AEC DFB 90 , AC=BD , AECDFB ,AE=DF ,又: AE /DF ,二.四边形 AEFD 为平行四边形 AD / /BC ,又AB=CD且AD BC ,二.四边形 ABCD为等腰梯形.【总结】本题主要考查等腰梯形的判定定理的运用.B 90 , BC AD 3, CD = 5,【习题7】如图，已知直角梯形 ABCD中，AD / BC,EAC = 8,求梯形 ABCD的面积.【难度】【答案】16曲6.【解析】过D作DE BC于点E,则CE=3,由勾股定理得：DE=4. DE=AB, AC=8, BC J64 16 4/，AD 4邪 3梯形的面积为

38、1 AB AD BC 1673 6 .2【总结】本题主要考查直角梯形的特征以及梯形面积公式的运用.【习题8】 已知四边形 ABCD中，AD / BC,AB = DC,AC与BD相交于点 O, BOC 120 ,AD = 7, BD = 10,求四边形 ABCD的面积.【难度】【答案】25 73.【解析】分别过点 A、D分别作AE、DF垂直BC于E、F,由题意得，四边形 ABCD为等腰梯形，所以 BE = CF, EF=AD.BOC 120 , DBC 30 . DF BF , BD = 10, . DF=5,BF 573,BCAD BE CF 1073 7 ,梯形的面积为:-AB CD AE

39、-10* 7 7 5 2573 .22【总结】本题主要考查梯形常见辅助线的添加及梯形面积的运用.【习题9】(2014学年 虹口区二模 第23题)如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E为DC延长线上一点，联结 AE,交边BC于点F,联结BE.(1)求证： ABgAD BFgED ；(2)若CD = CA,且 DAE 90 ,求证：四边形 ABEC是菱形.【难度】【答案】略.【解析】(1)二.四边形ABCD是平行四边形,CBAABF :BAEABEDBFADABgADBFgED ;(2) CD且 DAE 90 , . AC=CE=CD,又四边形ABCD为平行四边形，AB / /CD , AB

40、CD ,AB/CE , AB CE,，四边形 CEBA为平行四边形，又.AC=EC,二.四边形 ABEC为菱形.【总结】本题主要考查菱形的判定定理及相似三角形性质的综合运用.【习题10】（2015学年奉贤区二模 第23题）已知：如图，梯形 ABCD中，DC / AB,AD = BC = DC, AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且BCE ACD ,联结CE.（1）求证：四边形 DBEC是平行四边形;（2）求证：AC2 ADgAE .【难度】【答案】略.【解析】（1） DC / AB, AD = BC = DC, .四边形 ABCD为等腰梯形,ADC BCD CBE ,又 BCE ACD

41、 , DC=BC, ACD ECB , BC=BE=AD=CD,又 DC/AE,，四边形DBEC为平行四边形；(2) CAE ACD BCE , E E,CBE : ECA,.AC AE _2 ,又. ACmCE, BC=BE=AD, AC ADgAE . BE CE【总结】本题组要考查梯形性质与相似性质的综合运用.尊0课后作业【作业1】（2015学年 静安区二模 第6题）在四边形ABCD中，AD / BC, B C,要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A. AB = CDB. AC = BD C. A D D. A B【难度】【答案】D【解析】由BC,AD / BC

42、, A B ,知ABCD的四个角相等，所以每个角都为90.【总结】本题主要考查矩形的判定定理的运用.【作业2】（2014学年松江区二模 第5题）已知在四边形 ABCD中，AB / CD ,添加下列 一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AD = BC B. AC = BDC. A C D. A B【难度】【答案】C【解析】由AB / CD,得 ABC BCD 180，又因为 A C ,所以 ABC BAD 180 所以AD / /BC ,所以四边形 ABCD为平行四边形.【总结】本题主要考查平行四边形的判定.【作业3】（2014学年 徐汇区二模 第17题）已知四边形AB

43、CD是菱形，周长是 40,若AC = 16,则 sin ABD .【难度】【答案】4. 5【解析】连接对角线交于O,则对角线互相垂直，易知菱形边长为10,所以AO=8,一 .-,一 一，84因为 AC = 16,所以 BO=6,所以 sin ABD 一 一10 5 ,【总结】本题主要考查菱形的性质与锐角三角比的综合运用.【作业4】已知边长为4 cm的菱形有一个内角是 120,那么这个菱形的较长的一条对角线的长是 cm.【难度】【解析】连接对角线交于点 O,则对角线相互垂直，得较长的对角线为4J3.【总结】本题主要考查菱形的对角线互相垂直的性质的运用.【作业5】已知，梯形 ABCD中，AD /

44、BC, AD : BC = 1 : 2 ,这个梯形的面积是 45 cm2,高是 6 cm,那么 AD =cm .【难度】【答案】5.1. 一.【解析】设AD x ,则BC 2x ,得：x 2x 6 45 ,解得：x 5 ,即AD长为5cm. 2【总结】本题主要考查梯形面积的运用.D 120 ,对角线CA平分【作业6】 如图，已知在梯形 ABCD中，AD / BC, AB = DC,BCD ,且梯形的周长是 20,求AC的长.【难度】【答案】4点.【解析】过D、A分别作AE、DF垂直BC于点E、F,设 CD=2x,由题意，可得： CF=x, BE=x, BC= 4x,所以梯形的周长为：10x=20,解得：x=2,所以AC=J3AD 4%E.139【总结】本题主要考查梯形的常见辅助线的添加.【作业7】(2