第二章 随机过程的数字特征

1、第二章 随机过程的数字特征 w从上面的分析可知，对于一个随机过程X(t)，要 研究它的变化规律，常常需要建立起它的“函数 关系”，也就是建立随机过程的多维分布。因为 随机过程X(t)的多维分布可以比较全面地描述随 机过程的整个变化规律的统计特性，但要建立过 程的分布函数一般比较复杂，使用也不便，甚至 不可能。 w怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当 随机过程的“函数关系”不好确定时，我们 往往可以退而求其次，像引入随机变量的数 字特征一样，引入随机过程的数字特征。 w用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机 过程变化的重要统计规律，而且用随机过程 的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。

2、w显然，对于随机变量X，它的的数字特征我们 主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描 述随机过程X(t)的主要统计特性。 w例例2.1 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 1,10 1, 01 ( ) xx xx f x 求( ),( )E x D x 解： ( )( )E xxf x dx 22 ()() ()D XE XE X 01 10 01 2 10 ()(1)(1)0 1 ()(1)(1) 6 E Xxx dxxx E Xxx dxxx dx 22 1 ( )() ( ) 6 D xE XE x 注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而 随机过程的数字特征不是数，

3、是一个关于时间的确定函数。 2.1 随机过程X(t)的数学期望 对于某个给定时刻t，随机过程成为一个随机变量， 因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机 过程的数学期望。 定义定义X(t)的数学期望的数学期望 式中， 是X(t)的一维概率密度函数。 又 可称为X(t)的均值，这个均值函数可以理解为在某 一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如 图2.1所示。 ( )( )( ; ) XX E X tMtxPx t dx ( ; ) X Px t ( )E X t 图2.1 随机过程的数学期望mX(t) ( )E X t 显然由图2.1可看出，随机过程 X(t) 就在 附近起伏变 化，

4、图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们 计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个 就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。 ( )E X t 2.2 随机过程的均匀方值与方差 w对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随 机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程X(t)的均方值： 式中， 的一维概率密度函数。 定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）： 显然 是关于t的函数，且为非负函数。 222 ( )( )( ; ) XX tE Xtx Px t dx ( ; )( ) X Px tX t为 22 (

5、)( )( )( ) XX tD X tEX tMt 22 ( ),( ) XX tt w定义随机过程的标准离差定义随机过程的标准离差： w注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏 离均值的程度大小，如图2.2所示。 2 (5)( )( ) XX tD X t 图2.2 2.3 随机过程的自相关函数 w随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个 孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机 过程X(t)、Y(t)来说明。 w对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大 致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中

6、X(t)随机时间变化缓 慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较 强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不 同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研 究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？ 为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述 随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。 w定义随机过程的自相关函数：定义随机过程的自相关函数： 这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 的状态 之间的混合原点矩，自相关函数就反映了 X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在 定义式中取 ，则有 此时自相关函数即为均方值。 式中， 为过程X(t)的二维概率密度函数。 1212 ( ,

7、) ( )() X RttE x tX t 12121212 ( ,; , ) X x x Px x t t dx dx 12 ( ),( )X tX t 12 ,t t 12 ttt 2 12 ( , )( , )( )( ) XX Rt tRt tE Xt X tE Xt 1212 ( ,; , ) X Px x t t 例2.2 求随机相位正弦波过程 的均值、方差和自相关函数，其中 的概率密 度为 w解：解： 当取定 是一个随机变 量，且该随机变量X(t)显然是随机变量 的函数。 由求随机变量函数的数学期望定理， 有 ( )cos()X tat 1/212 ( ) 0 f 其它 ( )c

8、os()X tattT 时, ( ) ()( )( )E yE g Xg x f x dx 02 02 ( )( ) X E X tMt 2 0 1 cos()0 2 atd 1212 ( , ) ( )( ) X Rt tE x tX t 12 2 12 2 2 12 0 cos () cos ()cos () 1 cos ()cos () 2 cos()E at Ett attd at a 22 21 coscos() 22 aa tt 121212 ( , )( , )( )( ) XXXX Ct tRt tMt Mt 12 ttt 又又 当令当令 ， 2 2 2 ( , )( )( )

9、 ( ) ( , )( ) 2 XX XX Ct tEX tMtD X t a Rt tMt w例2.3 给定随机过程 ，式中 是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而 且 ，试求X(t)的均值 和自相关函数。 ( )cossinX tAtBt 222 ( )( )0,()()E AE BE AE B 解 ( )cossinX tAtBt ，且A，B独立 ( )( )0E A BE AE B 当取定t时，X(t)为随机变量 ( )cossinE X tE AtE Bt cos sin 0tE AtE B 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 1122 2 122

10、2 1212 2 1212 2 2 12 22 122 2 (cossin)(coscos) coscoscos sincossinsin coscoscossin sincos sinsin coscossinsin c EAtBtAtt E AttABt BAttBtt tt E Att E AB ttl E AB tt E B tttt 12 os()tt 有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间 内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函 数来定义。 w定义协方差函数：定义协方差函数：称 为随机过程X(t)的协方差函数。 由定义可知，当取 此时的协方差就是方差。 w注意，

11、实际上自相关函数 所描述的 特性是几乎一致的。 12 ttt 1212 ( , )( , ) XX Rt tCt t与 21 ),;,()()( )()()()(, 21212211 221121 XXXXX XXx ddttxxPtMxtMx tMtXtMtXEttC )()()()(),( 22 21 ttXDtMtXEttC XXX w性质性质2.1 证 从上式分析可知，随机过程的协方差函数 与 其自相关函数 只差一个统计平均值，特别 当随机过程的任意时刻数学期望 时，二者 完全相同。 121212 ( , )( , )( )( ) XXXX Ct tRt tMt Mt 121122 (

12、 , )( )( ) ( )( ) XXX Ct tEX tMtX tMt 1212 1212 1212 1212 121212 1212 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( , )2( )( )( )( ) ( , )( )( ) X XXX X XXX XXXXX XXX E X t X tX t Mt Mt X tMt Mt E X t X tE X tMt Mt E X tMt Mt Rt tMt MtMt Mt Rt tMt Mt 12 ( , ) X Ct t 12 ( , ) X Rt t ( )0E X t

13、 2.4 两个随机过程之间的互相关函数 随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的 内在联系，而要描述两个过程在不同时刻 之 间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。 定义互相关函数定义互相关函数：称 为两个随机过程的互相关函数。式中： 为在两个不同时刻随机变量 、 的联合概率 密度函数。 12 ,t t 1212 12 ( ,)( )( ) ( ,; ,) XY XY Rt tE X tY t xyPx y t tdxdy 12 ( ,; , ) XY Px y t t 1 ( )X t 2 ( )Y t 定义互协方差函数：定义互协方差函数：称称 为两个随机过程的互协方差函数。为两个随机

14、过程的互协方差函数。 性质性质2.2 121122 ( , )( )( ) ( )( ) XYXY Ct tEX tMtY tMt 12 12 ( )( ) ( , , , ) XY XY xMtyMt Px y t t dxdy 121212 ( , )( , )( )( ) XYXYXY Ct tRt tMt Mt 在上式中，若对任意 都有 则称X(t)，Y(t)为正交过程，此时 在上式中，若 ，又称X(t)，Y(t)互不相 关；此时 推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之， 两 个随机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除 非是正态过程）。 注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数， 而不再是一个过程。 12 ,t t 12 ( , )0 XY Rt t 1212 ( , )( )( ) XYXY Ct tMt Mt 12 ( , )0 XY Ct t 1212 ( , )( )( ) XYYY Rt tMt Mt 习题二 1.若随机过程X(t)为X(t)=At ，式中 A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求 2. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相 关函数表示随机过程的自相关函数 t 12 ( ),( , ) X E