清华微积分高等数学定积分的应用一PPT学习教案

1、会计学1 清华微积分高等数学定积分的应用一清华微积分高等数学定积分的应用一 2021-8-92 第十九讲 定积分的应用（一） 二、几何应用 一、微元分析法 第1页/共37页 2021-8-93 ., )1( bax A 的的某某个个区区间间自自变变量量 依依赖赖于于不不均均匀匀变变化化的的整整体体量量 n i i AA 1 ,.)2( 即即具具有有可可加加性性 iii i xfA A )( )3( 求求得得近近似似值值 可可“以以不不变变代代变变”部部分分量量 可以应用定积分计算的量有如下特点: 一、微元分析法 第2页/共37页 2021-8-94 x )(xA xx A x y ab )(x

2、fy o x a dttfxA)()( dxxfAd)( )()(xfxA ,)(baCxf dxxfAdA)( )0()()( xxodxxfA 关键是 部分量 的近似 )()(bAdttf b a 第3页/共37页 2021-8-95 局局部部量量的的近近似似值值 写写出出“不不变变代代变变”的的小小区区间间 取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割区区间间 , , xxx ba xxfA )( 得得定定积积分分就就是是整整体体量量无无限限积积累累 上上微微元元在在区区间间第第二二步步：令令 , , 0bax b a dxxfA)( 微分近似 )()(xxxfA 要要求求： 微元分析

3、法 第4页/共37页 2021-8-96 二、几何应用 （一）平面图形的面积 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算 Axfy xbxax 所所围围曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲线线 轴轴和和连连续续及及由由直直线线 )( ,)1( 根据定积分的定义和几何意义知 b a dxxfA)( 第5页/共37页 2021-8-97 ,)()(,baxxfxg 先先看看 Abxax xgyxfy 所所围围成成的的面面积积 和和直直线线由由曲曲线线 , )(),()2( b a dxxgxfA)()( 面积微元 x dxx dxxgxfdA)()( b a dxxgxfA)()( x a b y o )(

4、xfy )(xgy 第6页/共37页 2021-8-98 x y xy 1 xy 2 x o 2 1 )1, 1( . 2,11 A xxyxy 所所围围成成的的面面积积 及及直直线线求求由由曲曲线线例例 xy yx1 解解方方程程组组 1 1 2 1 x x 解 2 1 ) 1 (dx x xA 2ln 2 3 )ln 2 ( | 2 1 2 x x 第7页/共37页 2021-8-99 满满足足设设连连续续函函数数)(),(yy ,)()(0dcyyy Adycy yxyx 所所围围成成的的面面积积 和和直直线线求求由由曲曲线线 , ),(),( 面面积积公公式式： d c dyyyA)(

5、)( x )(yx c d )(yx y o y dyy 第8页/共37页 2021-8-910 . 1,52 22 A yxyx 的的面面积积 所所围围成成求求由由曲曲线线例例 2 2 1 5 yx yx 2 1 2 1 2 1 y y 解解方方程程组组 解 o x y 2 1yx 2 5yx 2 1 0 22 1 )51(22dyyyAA 3 2 ) 3 4 (2 | 2 1 0 3 yy 2 1 1 A 2 1 0 2 )41(2dyy 第9页/共37页 2021-8-911 面面积积微微元元：小小圆圆扇扇形形 ddA)( 2 1 2 d 面积微元 )( o 2. 极坐标系下平面图形面积

6、的计算 . , )( 所所围围成成的的面面积积 及及射射线线 求求曲曲线线 dA)( 2 1 2 第10页/共37页 2021-8-912 . )cos1(3 A a 的的面面积积 所所围围成成求求心心脏脏线线例例 利利用用对对称称性性1 2AA 0 42 2 cos4da o 2 0 42 cos8 tdta 解 0 2 )cos1(da 2 2 3 a 0 2 )( 2 1 2d 第11页/共37页 2021-8-913 所所围围面面积积。 求求星星形形线线：例例2, 0 sin cos 4 3 3 t tay tax a 3.参数方程下求图形面积 第12页/共37页 2021-8-914

7、 解 利利用用对对称称性性 1 4AA a ydx 0 4 dtttata)sin(cos3sin4 2 0 2 3 2 0 242 )sin1(sin12 dxtta ) 22 1 4 3 6 5 22 1 4 3 (12 2 a 2 8 3 a 第13页/共37页 2021-8-915 体体积积 b a dxxAV)( x baxdxx A(x) （二）空间立体的体积 1. 已知平行截面面积立体的体积 第14页/共37页 2021-8-916 x a b b a b a dxxfdxyV)( 22 xdxx 2. 旋转体的体积 2 )(yxA o )(xfy y 第15页/共37页 202

8、1-8-917 x o )(yx c d 2 )(xyA d c d c dyydyxV)( 22 y y y+dy 第16页/共37页 2021-8-918 . 15 2 2 2 2 V x b y a x 旋旋转转体体的的体体积积 轴轴旋旋转转所所成成绕绕求求椭椭圆圆例例 x a 上上半半椭椭圆圆方方程程为为 22 xa a b y )(axa o 得得到到利利用用对对称称性性 , a dxyVV 0 2 1 22 a dxxa a b 0 22 2 2 )(2 |0 3 2 2 2 ) 3 (2 a x xa a b 解 2 3 4 ab y 第17页/共37页 2021-8-919 旋

9、旋转转体体的的体体积积？ 轴轴旋旋转转所所成成绕绕轴轴所所围围图图形形和和 直直线线怎怎样样求求由由曲曲线线例例 yx xxy , 2,6 2 o 2, 0 . 的的变变化化区区间间分分 即即为为积积分分变变量量取取 y y 2 0 22 22dyxV 2 0 4 24dyy 2 5 16 2 5 4 24 解法一 y+dy y 第18页/共37页 2021-8-920 2 , 0 . 的的变变化化区区间间分分 即即为为积积分分变变量量取取 x x 体体积积微微元元是是什什麽麽？ xdxx 2 o 薄薄壁壁圆圆桶桶 dxyxdV 2 2 0 2dxxxV 为为积积分分变变量量？何何时时选选择择

10、 为为积积分分变变量量？何何时时选选择择 思思考考： y x 解法二 2 5 16 5 2 2 | 2 0 2 5 x 第19页/共37页 2021-8-921 n i ii MM 1 1 ii ni MM 1 1 max 0 lim lA B x y o ii xx i x （三）平面曲线的弧长 何谓曲线的长 ？ 内接折线长的极限 1 M 1 i M i M 0 M n M 第20页/共37页 2021-8-922 设设曲曲线线段段方方程程为为)1( )()(bxaxfy 上上连连续续在在即即曲曲线线是是光光滑滑的的,)(,bax f ), 2, 1()()( 22 1 niyxMM iii

11、i 中中值值定定理理得得到到由由Lagrange iiiii xfxfxfy )()()( 1 )( 1iii xx ), 2, 1()(1 2 1 nixfMM iiii n i ii n i ii xfMM 1 2 1 1 )(1 第21页/共37页 2021-8-923 ii ni MM 1 1 max 记记 i ni x 1 max iii MMx 1 从从而而得得到到有有时时当当故故. 0,0, b a n i ii n i ii dxxf xf MMl 2 1 2 0 1 1 0 )(1 )(1lim lim 弧弧长长： b a b a dxydxxfl 22 1)(1 第22页/

12、共37页 2021-8-924 出出设设曲曲线线段段由由参参数数方方程程给给)2( )( )( tyy txx )( t 且且不不同同时时为为零零,)(),( Ctytx 0,0, ,;, dldt BtAt 有有时时当当即即 对对应应终终点点对对应应起起点点 dttytxl)()( 22 弧弧长长公公式式： 第23页/共37页 2021-8-925 给给出出设设曲曲线线段段由由极极坐坐标标方方程程)3( )()( 上上连连续续在在,)( 作作为为参参数数选选 )( sin)( cos)( y x 弧弧长长公公式式： dl)()( 22 第24页/共37页 2021-8-926 第25页/共3

13、7页 2021-8-927 则则有有 的的弧弧长长为为对对应应于于变变动动区区间间 设设光光滑滑曲曲线线 ),(, ),()( xlxa bxaxfy x a dx dx dy xl 2 )(1)( 存存在在定定理理得得到到 由由原原函函数数上上连连续续在在因因为为,)(bax f 2 )(1 )( dx dy dx xdl 第26页/共37页 2021-8-928 dxxydl 2 )(1 弧弧微微分分公公式式： 从从而而有有时时当当, 0,0 dxdl dx dx dy dl 2 )(1 即即 dttytxdl 22 )()( ddl 22 )()( 第27页/共37页 2021-8-92

14、9 y x y B N T dx M A dxx xa dy b 第28页/共37页 2021-8-930 求求悬悬链链线线例例 7 x y oaa )0()( 2 a a x achee a y a x a x laxax一一段段的的弧弧长长到到从从 a a dx a x sh dxyl 0 2 0 2 )(12 12 )(12 22 1 00 | eeaash a x ashdx a x ch aa 解 第29页/共37页 2021-8-931 求求旋旋轮轮线线例例 8 )0( )cos1( )sin( a tay ttax l第第一一拱拱的的弧弧长长 a 2 o t 解 )cos1 ()

15、(tatx tatysin)( dt t adttadttytxdl 2 sin2)cos1(2)()( 22 adt t adt t al8 2 sin2 2 sin2 2 0 2 0 第30页/共37页 2021-8-932 （四）曲率与曲率半径 曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题 0 M M 0 T T lMM 之间的弧长为之间的弧长为设设, 0 之之间间的的为为MM l , 0 处的曲率处的曲率为曲线在为曲线在则称则称 存在存在定义：若定义：若 0 0 0 lim ,lim M l k l l l 平均曲率 第31页/共37页 2021-8-933 l k l 0 lim dl d y

16、 tan y arctan dxy y d 2 1 1 dxydl 2 1 而 232 )1(y y k 曲率公式 二阶可导二阶可导设曲线设曲线)(xfy 的曲率半径的曲率半径 处处在在称为曲线称为曲线 0 )(Mxfy k R 1 第32页/共37页 2021-8-934 xdxx M T xa b y o )(xfy （五）旋转体的侧面积 用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的 侧面积近似 第33页/共37页 2021-8-935 dldyydl dldyyy 2 )(圆圆台台侧侧面面积积 得得侧侧面面积积微微元元： 略略去去！时时当当),(,0dxodldydx dxyyydldS 2 122 b a dxyyS 2 12 侧侧面面积积 第34页/共37页 2021-8-936 )0(.)()( )(9 222 baS xabyx 面积面积表表的的环体环体旋转体旋转体 轴旋转所得轴旋转所得绕绕求圆求圆例例 x y a ao b 上上半半圆圆方方程程