第9章一元线性回归分析

1、第9章 一元线性回归分析 9.1 变量间关系的度量变量间关系的度量 9.2 一元线性回归一元线性回归 9.3 利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测 9.4 残差分析残差分析 学习目标 1. 了解了解相关关系的分析方法相关关系的分析方法 2.理解一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计理解一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 3.掌握掌握回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度 4.掌握回归方程的显著性检验掌握回归方程的显著性检验 5.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测 6.用用 Excel 进行回归进行回归 实例实例1 1：教育经费支出与学生成绩的关系分析

2、：教育经费支出与学生成绩的关系分析 学生教育达到的水平与学生所居住的州在教育方面学生教育达到的水平与学生所居住的州在教育方面 的经费支出多少有关系吗？在许多地区，这个重要问的经费支出多少有关系吗？在许多地区，这个重要问 题被纳税人提出；而纳税人又被他们的学区请求增加题被纳税人提出；而纳税人又被他们的学区请求增加 用于教育方面的税收收入。在这种情况下，为了确定用于教育方面的税收收入。在这种情况下，为了确定 在公立学校中教育经费支出和学生成绩之间是否存在在公立学校中教育经费支出和学生成绩之间是否存在 某种关系，请利用有关教育经费支出和学生学习成绩某种关系，请利用有关教育经费支出和学生学习成绩 的相

3、关数据展开分析。的相关数据展开分析。 9.1变量间关系的度量变量间关系的度量 9.1.1变量间的关系变量间的关系 确定性的确定性的函数关系函数关系 Y=f (X) 不确定性的统计关系不确定性的统计关系相关关系相关关系 Y= f（X）+ (为随机变量) 没有关系没有关系 变量间关系的图形描述： 坐标图(散点图) 函数关系 （1）是一一对应的确定关）是一一对应的确定关 系系 （2）设有两个变量）设有两个变量 x 和和 y ， 变量变量 y 随变量随变量 x 一起变一起变 化，并完全依赖于化，并完全依赖于 x ，当，当 变量变量 x 取某个数值时，取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，依确定的

4、关系取相应的值， 则称则称 y 是是 x 的函数，记的函数，记 为为 y = f (x)，其中，其中 x 称为称为 自变量自变量，y 称为称为因变量因变量 相关关系 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。 当一个变量取某个值时，另一个变量可能有几个取值，但两者当一个变量取某个值时，另一个变量可能有几个取值，但两者 之间却存在着一定的客观规律。之间却存在着一定的客观规律。 相关关系的例子 商品的消费量商品的消费量(y)与居民收入与居民收入(x)之间的关系之间的关系 商品的消费量商品的消费量(y)与物价与物价(x)之间的关系之间的关系 商品销售额商品销售额

5、(y)与广告费支出与广告费支出(x)之间的关系之间的关系 粮食亩产量粮食亩产量(y)与施肥量与施肥量(x1) 、降雨量、降雨量(x2) 、温度、温度 (x3)之间的关系之间的关系 收入水平收入水平(y)与受教育程度与受教育程度(x)之间的关系之间的关系 子女身高子女身高 (y)与父亲身高与父亲身高(x)之间的关系之间的关系 巴菲特：股市和经济不是每时每刻都紧密相联，但如巴菲特：股市和经济不是每时每刻都紧密相联，但如 果经济在很长一段时间内都向好，那么股市也会在很果经济在很长一段时间内都向好，那么股市也会在很 长一段时间内向好。如果经济不太好，那么股市也会长一段时间内向好。如果经济不太好，那么股

6、市也会 不太好。但是具体每一周，每一月的变化我就不是那不太好。但是具体每一周，每一月的变化我就不是那 么在意，如果经济好，那么最后股市就会好。我并不么在意，如果经济好，那么最后股市就会好。我并不 知道市场明年或接下来两年怎么样。我并不想被称作知道市场明年或接下来两年怎么样。我并不想被称作 是中国股市的专家，我不太了解中国股市。是中国股市的专家，我不太了解中国股市。2010 年年会接受年年会接受经济半小时经济半小时采访采访 9.1.2相关关系的类型相关关系的类型 l从涉及的变量数量变量数量看 简单相关简单相关 多重相关（复相关）多重相关（复相关） l从变量相关关系的表现形式看从变量相关关系的表现

7、形式看 线性相关线性相关散点图接近一条直线散点图接近一条直线( (左图左图) ) 非线性相关非线性相关散点图接近一条曲线散点图接近一条曲线( (右图右图) ) 从变量相关关系变化的方向方向看 正相关正相关变量同方向变化变量同方向变化 A 同增同减同增同减 (A)(A) 负相关负相关变量反方向变化变量反方向变化 一增一减一增一减 (B)(B) B 从变量相关的程度看 完全相关完全相关 不完全相关不完全相关 C 不相关不相关 (C)(C) 9.1.39.1.3相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度 相关分析是对两个变量之间相关分析是对两个变量之间线性关系线性关系的描述与度量。的描述与度量。 相关

8、分析及其假定相关分析及其假定 1.相关分析要解决的问题相关分析要解决的问题 变量之间是否变量之间是否存在关系存在关系？(伪相关）伪相关） 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之 间的关系？间的关系？ 散点图（用来判断变量间的关系形态）散点图（用来判断变量间的关系形态） 不相关不相关负线性相关负线性相关正线性相关正线性相关 非线性相关非线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关 相关系数（度量两个变

9、量线性关 系的统计量） 总体相关系数总体相关系数 对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程度对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程度 的总体相关系数为：的总体相关系数为： 总体相关系数反映总体两个变量总体相关系数反映总体两个变量X X和和Y Y的的线性线性相关程度。相关程度。 ( ,) . xy C ov x y 样本相关系数 x x和和y y的样本相关系数通常用的样本相关系数通常用 表示表示 xy r 2222 () .(y) xy nxyxy r nxxny 相关系数的特点： 相关系数的取值在相关系数的取值在-1 -1与与1 1之间。之间。 当当r r=0=0时，表明时，表明X

10、X与与Y Y没有线性相关没有线性相关关系。关系。 当当 时，表明时，表明X X与与Y Y存在一定的线性相关关系存在一定的线性相关关系: : 若若 表明表明X X与与Y Y 为正相关为正相关; ; 若若 表明表明X X与与Y Y 为负相关。为负相关。 当当 时，表明时，表明X X与与Y Y完全线性相关完全线性相关: : 若若r=1r=1，称，称X X与与Y Y完全正相关；完全正相关； 若若r=-1r=-1，称，称X X与与Y Y完全负相关。完全负相关。 01r 0r 0r 1r 相关系数的经验解释相关系数的经验解释 1. |r| 0.8时，可视为两个变量之间高度相关时，可视为两个变量之间高度相关

11、 2.0.5 |r|0.8时，可视为中度相关时，可视为中度相关 3.0.3 |r|0.5时，视为低度相关时，视为低度相关 4.|r|t ，拒绝 ，拒绝H0 若若tt ，拒绝 ，拒绝H0 若若tF ,拒绝H0；若FF ,不拒绝 H0 回归系数的检验 2.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性 检验 3. 采用t检验 1. 检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说 ，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著 回归系数显著性回归系数显著性 t t 检验的方法检验的方法 (1) 提出假设 一般假设: 常用假设: (2) 计算统计量 (3)给定显著性水平，确定临界值 (4) 检验结果判断 若 则拒绝原假设，而接受备择假设 0:11 Hbb 1:11 Hbb 01 :0Hb 11 :0Hb /2 (2)tn * 2( 2)ttn * * 11 1 () t SE bb b 五、简单线性回归模型预测五、简单线性回归模型预测 对因变量平均值的点预测值 ： f Y 01 y xbb+ 实例分析 一家食品连锁店主要在校园周边设分店，为研究销售一家食品连锁店主要在校园周边设分店，为研究销售 额（额（y）（注：单位为千元）与学校人数（）（注：单位为千元）与学校人数（x）（注：）（注：