理学矩量法PPT学习教案

1、会计学1 理学矩量法理学矩量法 矩量法矩量法(简称简称MoM)，就其数值分析而言就是广义，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金伽略金)法。矩量法包括两个过程，法。矩量法包括两个过程，离散化过程离散化过程 和选配和选配过程过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。里先举一个简单的例子。 第1页/共62页 例例1无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。 试讨论半径为试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线的无限薄理想导体圆盘，在中心线 距离距离d处有一点电荷处有一点电荷 ，如图，如图5-17-1

2、所示，求解导体圆盘所示，求解导体圆盘 上的电荷分布。上的电荷分布。 解解 假设导体圆盘上电荷密度为假设导体圆盘上电荷密度为 ，根据电，根据电 磁学的基本概念可知：磁学的基本概念可知： (1) 由外加电荷由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位在导体圆盘上产生的电位e 和导体圆和导体圆 盘本身感应电荷密度盘本身感应电荷密度所产生的电位所产生的电位i之和之和U 在盘上处在盘上处 处相等，即保证导体圆盘是等位面。处相等，即保证导体圆盘是等位面。 (2) 由于本问题中是感应电荷，因此总电荷由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi0，其中，其中 ( ,)x y 第2页/共62页 图图5-17-1导体圆盘上的电荷

3、分布导体圆盘上的电荷分布 (5-17-1) (5-17-2) (5-17-3) 222 0 4 e Q xyd 0 ( ,) 4 i s x y dS r ( ,) i s Qx y dS 第3页/共62页 于是，问题可写为于是，问题可写为 (5-17-4) 式中式中r= ，其中打撇的表示源点，不打撇的表，其中打撇的表示源点，不打撇的表 示场点。示场点。 这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决， 因为未知量因为未知量 处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此 ，把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带

4、，把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图如图5-17-1所所 示示)，并，并假定每一部分内的电荷密度假定每一部分内的电荷密度 (i=1,2)近似为常数近似为常数，于，于 是是 (5-17-5) 式中式中 (5-17-6) 0() ei i U Q 约束条件 22 ()()xxyy i 2 1122 1 ( ,)()() i x yP SP S 1 () 0 i i i SS P S SS 第4页/共62页 称为脉冲函数，这时问题方程称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为成为 (5-17-7) (5-17-8) 把问题方程把问题方程(5-17-4)近似的转化为式近似的转化为式(5-

5、17-7)和式和式(5-17-8)的过的过 程称为离散化过程。但是，必须注意到方程程称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点中，场点r 表示圆盘上的任意点表示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式，换句话它们是不定的，因而式(5- 17-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-17- 7)和方程组和方程组(5-17-8)内只有三个未知数内只有三个未知数 、 和和 ，于是，于是 方程组超定。方程组超定。 () i P S 2 1 0 2 1 4 0 i e i i S ii i dS U r S 1 2

6、U 第5页/共62页 为了把为了把超定方程组超定方程组转化为转化为唯一解唯一解的方程组，可以采用很的方程组，可以采用很 多办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说多办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说 来，即在来，即在每个离散的单元每个离散的单元上上只选取一个场点只选取一个场点作为代表来建立作为代表来建立 方程。例如，在方程。例如，在例例1中对于离散的中对于离散的 和和 分别取分别取 和和 两点做试验点，如图两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组所示。具体写出方程组 (5-17-9) 其中其中 1111221 2112222 1122 0 e e llU l

7、lU SS 第1试验点 第2试验点 1 S 11 (,)x y 22 (,)xy 2 S 第6页/共62页 1 2 11 22 0 11 12 22 0 11 21 22 0 22 1 (5-17-10) 4 ()() 1 (5-17-11) 4 ()() 1 4 ()() S S dS l xxyy dS l xxyy dS l xxyy 1 2 22 22 0 22 (5-17-12) 1 (5-17-13) 4 ()() S S dS l xxyy 图图5-17-2 圆盘上的试验点圆盘上的试验点 1111221 2112222 1122 0 e e llU llU SS 第1试验点 第2

8、试验点 第7页/共62页 其中其中 表示表示 面元电荷面元电荷在在 处产生场的自作用单元；处产生场的自作用单元； 表示表示 面元电荷在面元电荷在 处产生场的自作用单元；处产生场的自作用单元； 表示表示 面元电荷在面元电荷在 处产生场的互作用单元；处产生场的互作用单元； 表示表示 面元电荷在面元电荷在 处产生场的处产生场的互互作用单元。作用单元。 1 S 1 S 2 S 2 S 11 l 22 l 12 l 21 l 11 (,)x y 11 (,)x y 22 (,)xy 22 (,)xy 1 2 11 22 0 11 12 22 0 11 21 22 0 22 1 (5-17-10) 4 (

9、)() 1 (5-17-11) 4 ()() 1 4 ()() S S dS l xxyy dS l xxyy dS l xxyy 1 2 22 22 0 22 (5-17-12) 1 (5-17-13) 4 ()() S S dS l xxyy 第8页/共62页 又有又有 (5-17-14) 经过经过离散化过程和选配离散化过程和选配过程，将积分方程组过程，将积分方程组(近似地近似地)转化为矩转化为矩 阵方程阵方程 (5-17-15) 由此得出电荷分布的解为由此得出电荷分布的解为 (5-17-16) 1 222 0 11 2 222 0 22 1 4 1 4 e e Q xyd Q xyd 1

10、11211 212222 12 1 1 00 e e ll ll SSU 1 111121 221222 12 1 1 00 e e ll ll USS 第9页/共62页 图图 5-17-3 矩量法的一般过程矩量法的一般过程 图图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。所示的矩量法求解问题的一般过程。 讨论讨论 (1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分 方程或其他方程。但必须能抽象成方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程算子方程。从这一点而言。从这一点而言 ，它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为，它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转

11、化为矩阵方程矩阵方程加加 以解决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速以解决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速 下降线所构成的积分方程下降线所构成的积分方程 不是线性泛函，所以不是线性泛函，所以 无法采用矩量法。无法采用矩量法。 (2) 电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区 域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而 减少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用减少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用 单元单元 比互作用单元比互作

12、用单元 所起的作用要大。这一点在概念所起的作用要大。这一点在概念 上十分重要。上十分重要。 2 1 2 y Jdy gy nn l() mn lmn 第10页/共62页 矩量法的研究对象是一般非齐次方程矩量法的研究对象是一般非齐次方程 (5-17-17) 线性算子线性算子 的运算空间称为定义域，而的运算空间称为定义域，而 组成的空间称为值组成的空间称为值 域。式域。式(5-17-17)中中 是已知的是已知的激励函数激励函数， 为为未知函数未知函数。令。令 在在 的定义域内展开成的定义域内展开成 的组合，有的组合，有 (5-17-18) 2.2 矩量法的一般过程矩量法的一般过程 ( )L ug

13、( )L u g u L 12 , nn uu uu即 1 N T nn n uuu 其中其中 1 N 为展开系数矩阵 u 第11页/共62页 表示矩阵转置，应该注意到：表示矩阵转置，应该注意到：展开函数与基函数展开函数与基函数是有区是有区 别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近 似有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限似有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限 展开函数就很难保证展开函数就很难保证 能收敛于能收敛于 ，这也是矩量法的，这也是矩量法的 研究中需要深入研究的一个问题。这里且写出研究中需要深入研

14、究的一个问题。这里且写出 (5-17-19) 而而 1 N u u u 为展开函数 1 N nn n u u 1 () N nn n L ug 从算子方程从算子方程(5-17-17)到式到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以即构成离散化过程。它可以 是是函数离散函数离散，也可以是，也可以是区域离散区域离散，或两者兼有。，或两者兼有。 T 第12页/共62页 现在规定适当的内积现在规定适当的内积 。在算子。在算子L的值域内定义一类的值域内定义一类 权函数权函数(或检验函数或检验函数) ,作用于式作用于式(5-17-19)两边两边 ，且取内积，有，且取内积，有 (5-17-20) 这就是所

15、谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由 此而来，即把激励矢量此而来，即把激励矢量 和和 分别向权空间投影，分别向权空间投影， 取它的矩，根据矩的大小确定展开系数。取它的矩，根据矩的大小确定展开系数。 如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式 (5-17-20)写成矩阵形式写成矩阵形式 (5-17-21) 其中其中 (5-17-22) 于是可以解出于是可以解出 (5-17-23) ,g 12 , N 1 , (), N nn n mm L ug 1,2,mN g () n L u mnnm lg ,

16、 () mnnm lL u 1 nmnm lg 第13页/共62页 若规定函数矩阵若规定函数矩阵 (5-17-24) 于是待求的函数为于是待求的函数为 (5-17-25) 矩量法的一般过程的数学表示如图矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。所示。 十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：离散化程度；十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：离散化程度； 和和 的选取；线性方程组的求解。在的选取；线性方程组的求解。在 = 的特的特 殊情况下，可称为殊情况下，可称为Galerkin(伽略金伽略金)法法，于是矩量法也称于是矩量法也称 为广义为广义Galerkin法。法。 12 , T nN uu uu

17、1TT nnmnm uuu lg n u n u m m 第14页/共62页 图图5-17-4 矩量法一般过程的数学表示矩量法一般过程的数学表示 第15页/共62页 例例2研究研究 ，其中，其中 解解 已经知道，此问题存在精确解已经知道，此问题存在精确解 本例采用矩量法求解，选择本例采用矩量法求解，选择 再选择权函数再选择权函数 ( )L ug 2 2 2 ,14, (0)(1)0 d Lgx uu dx 24 0 511 ( ) 623 uxxxx 1 1,2,.(,) n n uxnxxN 1m uxx mm 第16页/共62页 即采用即采用Galerkin法，内积定义为法，内积定义为 于

18、是可给出一般计算结果于是可给出一般计算结果 1 0 ,( ) ( )gx g x dx 1 2 11 2 0 d , ()()()d d mn mnmn lL uxxxxx x 1 0 (1)()d 1 nm n mn n nxxx mn 第17页/共62页 归纳起来有归纳起来有 1 12 0 ,()(14)d m mm ggxxxx 1 133 0 (44)d mm xxxxx 114(38) 1 2242(2)(4) mm mmmm (38)(38) , 12(2)(4) mnm mmmm lg mnmm 第18页/共62页 情况情况1：N=1 1111 11111 , 33010 lg

19、于是有于是有 2 1 ( )() 10 u xxx 情况情况2: N=2 1 2 1111 3230 147 2512 1 2 41111 521030 60 1127 23312 2323 122312 ( )()() 10330103 u xxxxxxxx 第19页/共62页 情况情况3: N=3 1 2 3 11311 32530 147 1 2512 5139 1 7057 363336191 det( ) 105101012532810500 l 1 2 3 13111 1 35705030 2 33617 105000 705253012 1 51111 3 70503060 24

20、24 0 11511 ( )()()( ) 23623 u xxxxxxxxux 第20页/共62页 十分明显，十分明显，N=3时已得到了精确解时已得到了精确解 。 矩量解的曲矩量解的曲 线如图线如图5-17-5所示。所示。 0( ) ux( )u x 图图5-17-5 u (x)矩量解矩量解 第21页/共62页 第二章第二章 矩量法矩量法(Method of Moment) 2.3 选配和离散过程选配和离散过程 2.3.1 点选配点选配 2.3.2 脉冲分域基脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基三角形函数分域基 2.4 算子研究算子研究 2.4.1 近似算子近似算子 2.4.2 扩展算子

21、扩展算子 2.4.3 微扰算子微扰算子 第22页/共62页 2.3 选配和离散过程选配和离散过程 从上面的典型例子可知，矩量法的精华在于选配和从上面的典型例子可知，矩量法的精华在于选配和 离散过程，值得单独进行研究。离散过程，值得单独进行研究。 2.3.1点选配点选配 点选配是一种最简单而最典型的选配函数。因为矩点选配是一种最简单而最典型的选配函数。因为矩 阵单元为阵单元为 ，一般说来，其中所含的积分计，一般说来，其中所含的积分计 算十分困难，这种情况下，最简单的办法是做某些点的算十分困难，这种情况下，最简单的办法是做某些点的 投影，即所谓的点选配，实际上相当于把投影，即所谓的点选配，实际上相

22、当于把权函数权函数取为取为 函数。函数。 , () mnmn lL u Dirac 第23页/共62页 例例3 任研究任研究 。 解解 设设 ， 在这个例子中取在这个例子中取 函数为权函数即函数为权函数即 其中，其中， 是这个问题的选配点，于是有是这个问题的选配点，于是有 2 2 2 d( ) 14, (0)(1)0 d u x x uu x 1 ( ) n n uxxx () ,1,2,., 1 mm m xx m xmN N m x 第24页/共62页 例例3 任研究任研究 。 解解 设设 ，可得到，可得到 在这个例子中取在这个例子中取 函数为权函数即函数为权函数即 其中，其中， 是这个问

23、题的选配点，于是有是这个问题的选配点，于是有 2 2 2 d( ) 14, (0)(1)0 d u x x uu x 1 ( ) n n uxxx 2 12 2 1 d ()14 d N n n n xxx x () ,1,2,., 1 mm m xx m xmN N m x 12 1 (1)14 N n n n n nxx 第25页/共62页 1 11 0 , ()(1)()d(1)() 1 nn mnmnm m lL un nxxxxn n N 1 22 0 ,(14) ()d14() 1 mmm m ggxxxx N 归结起来，可写出归结起来，可写出 1 (1)() 1 n mn m l

24、n n N 2 14() 1 m m g N 第26页/共62页 情况情况1: N=1 111 1 2 2,2 ( )u x lg xx 情况情况2: N=2 1 2 13 22 9 2425 9 1 2 131 42 1 918 222624 93 2323 121312 ( )()() 18318183 u xxxxxxxx 第27页/共62页 情况情况3: N=3 1 2 3 335 2 244 2332 92713 2 244 可以得出可以得出 3 1 2 1 4 13 4 5 2 9 2 15 4 9 4 27 4 27 3 2 1 02 363 12 9 2 )( 3 1 2 1

25、6 5 )( 3 1 )( 2 1 )( 0 4242 xuxxxxxxxxu 对于点选配情况对于点选配情况N=3，又一次回复到精确解。，又一次回复到精确解。 第28页/共62页 讨论讨论 (1) 对于点选配的情况，对于点选配的情况，N+1阶矩阵中的阶矩阵中的N阶主子阵并不阶主子阵并不 等于在等于在N时的系数矩阵时的系数矩阵(和和Galerkin情况不同情况不同)。因此当。因此当N 逐渐变大时计算量无法节约。逐渐变大时计算量无法节约。 (2) 点选配虽然看起来非常简单，然而其内在的道理极其点选配虽然看起来非常简单，然而其内在的道理极其 深刻。这一点可以从数值积分看出。研究表明任何数值深刻。这一

26、点可以从数值积分看出。研究表明任何数值 积分方法，不论矩形、梯形、二次样条等，说到底都是积分方法，不论矩形、梯形、二次样条等，说到底都是 选择积分区域的点和区域点所对应的系数，由此产生选择积分区域的点和区域点所对应的系数，由此产生 Gauss积分的思想。所以在矩量法中，研究最佳点选配将积分的思想。所以在矩量法中，研究最佳点选配将 是一个十分有意义的课题是一个十分有意义的课题 。 第29页/共62页 2.3.2脉冲分域基脉冲分域基 矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数，带矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数，带 来了方便和自由。但是，随之而来的如何确保解的收敛来了方便和自由。但是，随之而

27、来的如何确保解的收敛 性的问题却值得人们重视。性的问题却值得人们重视。 在尚未了解在尚未了解u(x)函数性态的条件下，采用有限个展开函数性态的条件下，采用有限个展开 函数函数ui(x)，i=1，2，.，N时要确保解收敛显然在理论时要确保解收敛显然在理论 上存在不少困难，采用分域基函数可以说是比较稳妥的上存在不少困难，采用分域基函数可以说是比较稳妥的 一种解决方案。因为大多数良态函数一种解决方案。因为大多数良态函数(不做高速振荡不做高速振荡)均可均可 以采用有限段直线或样条加以逼近，如图以采用有限段直线或样条加以逼近，如图5-17-6所示。所示。 第30页/共62页 图图5-17-6 分域基函数

28、近似分域基函数近似 第31页/共62页 下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论。下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论。 一般的脉冲函数可以表述为一般的脉冲函数可以表述为 11 2(1)2(1) 11 2(1)2(1) (,) 1 () 0(,) iiNN i iiNN xxx P xx xxx (5-17-26) 式式(5-17-26)表示以表示以i为中点，密度为为中点，密度为1/(N+1)的脉冲函数的脉冲函数 ，在实际情况下，密度可以根据问题灵活改变，如图，在实际情况下，密度可以根据问题灵活改变，如图5- 17-7所示。所示。 图图5-17-7 脉冲函数脉冲函数 图图5-17-8 三角形函数三角形

29、函数 第32页/共62页 2.3.3三角形函数分域基三角形函数分域基 三角形函数也是常用的一种分域基，如图三角形函数也是常用的一种分域基，如图5-17-8所示。所示。 若采用三角形函数展开未知函数若采用三角形函数展开未知函数(x)，则有，则有 (5-17-27) 所得的所得的解的合成相当于折线连接解的合成相当于折线连接，分段三角形函数所得，分段三角形函数所得 的折线包络如图的折线包络如图5-17-9所示。所示。 为了研究具体例子，这里先给出三角形函数的导数概为了研究具体例子，这里先给出三角形函数的导数概 念。引入如图念。引入如图5-17-10所示的阶梯函数所示的阶梯函数H(x-xi)，其定义为

30、，其定义为 )( 0 1 )( 1, 1 1, 1 1 ii ii xx xx i xxx xxx xxT ii i )()( 1 n N n n xxTxu 第33页/共62页 图图5-17-9 分段三角形函数所得的折线包络分段三角形函数所得的折线包络 图图5-17-10 H(x-xi) 函数函数 1 2 1 () 0 i ii i xx H xxxx xx (5-17-28) 第34页/共62页 再引入大家熟悉的再引入大家熟悉的Dirac-函数，也即脉冲函数，其定义函数，也即脉冲函数，其定义 为为 (5-17-29)() 0 i i i xx xx xx 如图如图5-17-11所示。所示。

31、 图图5-17-11 (x-xi)函数函数 第35页/共62页 Dirac-函数有两个重要的性质：函数有两个重要的性质： 1.归一性归一性 (5-17-30) 2.选择性选择性 (5-17-31) 这里不加证明的给出这里不加证明的给出Dirac-函数和阶梯函数之间的函数和阶梯函数之间的 重要关系。重要关系。 (5-17-32) 有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数H表表 示，具体为示，具体为 (5-17-33) ()() ii d H xxxx dx 1111 1111 11 () ()()()() iiiiiiii i iiiixxxx

32、xxxx d T xx dx H xxH xxH xx ()1 i xx dx ( ) ()( ) ii f xxx dxf x 第36页/共62页 图图5-17-12给出形象的几何表示。给出形象的几何表示。 图图5-17-12 三角形函数导数的几何表示三角形函数导数的几何表示 例例4 重新研究重新研究Harrington(哈林登哈林登)问题，问题，L(u)=g，其中，其中 L= ，g= ，边界条件为，边界条件为u(0)=u(1)=0。 试用以三角函数作为展开函数，脉冲函数作为权函数的试用以三角函数作为展开函数，脉冲函数作为权函数的 矩量法求解。矩量法求解。 2 2 d dx 2 41x 第3

33、7页/共62页 解解 根据要求可写出根据要求可写出 于是有于是有 上式已计及上式已计及 选择权函数选择权函数 于是矩阵单元于是矩阵单元 上式要分三种情况讨论。上式要分三种情况讨论。 )()( 1 n N n n xxTxu 2 2 11 ()()(1)()2 ()() d nnnnn dx L T xxT xxNxxxxxx 1 )( N m m mm x xxP 1 0 () mnmn lL T xxdx 1 11 0 ()(1)()2 ()() mnnn P xxNxxxxxxdx 11 11 1 iiii N xxxx 第38页/共62页 此外，激励单元为此外，激励单元为 结果可归纳为结

34、果可归纳为 1 2(1) 1 2(1) 11 222 00 (14)()(14)(14) m N m N x mmm x gxdxP xxxdxxdx 1 1 0 ) 1( ) 1(2 nm nm nm N N lmn 2 1 3 2 4 1 1 (1) 1 m mN N g 1 m mN x 1 0 () mnmn lL T xxdx 1 11 0 ()(1)()2 ()() mnnn P xxNxxxxxxdx 第39页/共62页 情况情况1：N=1 考虑到对比：考虑到对比： 则有则有 和和 的对比如图的对比如图5-17-13所示。所示。 11 4,L 1 25 24 g 25 0.260

35、416 96 i 24 0 511 623 uxxxx 0 113 0.2708333 248 u 1 ux 0( ) ux 图图 5-17-13 和 1 ux 0( ) ux 第40页/共62页 情况情况2：N=2 l= g= 容易得到容易得到 同样对比有同样对比有 和和 的的 对比图如图对比图如图5-17-14所示。所示。 63 36 40 1 27 763 27 1 2 6340 1 36762187 4680.2139917 1 5760.26237442187 0 0 1 53 0.2181073 243 650.26748972 2433 u u 2 ux 0( ) u x 图图

36、5-17-14 和 2 ux 0( ) u x 第41页/共62页 情况情况3：N=3 于是有于是有 同样对比有同样对比有 和和 的的 对比图如图对比图如图5-17-15所示所示 840 484 048 l 61 48 197 448 157 48 g 1 2 3 48321661 1 32643297 49152 163248157 85440.1738281 1 131840.2682291 49152 116160.2363281 0 0 0 1 4 1350.1757812 11 2080.2708333 2768 1830.2382812 3 4 u u u 0( ) u x 3 u

37、x 第42页/共62页 图图 5-17-15 和 3( ) u x 0( ) ux 讨论讨论 分域基在分域基在N不大的情况下与精确解的差距是明显的不大的情况下与精确解的差距是明显的 。但是它的相应矩阵是三条带矩阵，可较明显地缩小计。但是它的相应矩阵是三条带矩阵，可较明显地缩小计 算量。因此选择算量。因此选择N不大的分域基并进行顶点拟合将会是一不大的分域基并进行顶点拟合将会是一 个比较好的方案。个比较好的方案。 第43页/共62页 2.4 算子研究算子研究 算子方程是矩量法建模的关键。它应该有两个方面算子方程是矩量法建模的关键。它应该有两个方面 的要求：的要求： 一方面算子方程必须符合物理一方面

38、算子方程必须符合物理(或工程或工程)问题的主要本问题的主要本 质；质； 另一方面它又必须适合数值计算。另一方面它又必须适合数值计算。 这两个方面构成了算子研究的基础。这两个方面构成了算子研究的基础。 第44页/共62页 2.4.1 近似算子近似算子 细心的读者一定会提出这样一个问题，即细心的读者一定会提出这样一个问题，即例例4中为什么不采用脉冲函数作为分域基展开？其实原因十分简单，因为脉冲函数的二阶导数表示有很大困难。但是，倘若引进近似算子的概念，则可以较好地解决这个问题。中为什么不采用脉冲函数作为分域基展开？其实原因十分简单，因为脉冲函数的二阶导数表示有很大困难。但是，倘若引进近似算子的概念

39、，则可以较好地解决这个问题。 算子近似含义相当广泛。作为例子，可采用有限差分代替微分。算子近似含义相当广泛。作为例子，可采用有限差分代替微分。 1 ()() 22 du xxx u xu x dxx 2 22 11 ()()()2() 22 d u xxx u xu xu xxu xu xx dxx x 第45页/共62页 例例5 研究研究 的的Harrington问题，即问题，即 , ,试采用差分近似算子试采用差分近似算子 ,脉冲脉冲 展开点选配的矩量法求解。展开点选配的矩量法求解。（做一般了解）（做一般了解） 解解 为确保为确保 的边界条件，在两端各留出半的边界条件，在两端各留出半 段为强

40、制零段。因此当选择段为强制零段。因此当选择N个脉冲函数时，全部区域个脉冲函数时，全部区域 (0,1)应分成应分成(N+1)段。即段。即 于是有于是有 L ug 2 2 , d L dx 2 14gx 010uuLL 010uu 1 1 x N 211 12 ( )() 11 a LuNu xu xu x NN 且做点选配有且做点选配有 mm xx 1 m m x N 第46页/共62页 这样可以获得矩阵单元这样可以获得矩阵单元 的表示式的表示式 ,m n l 1 2 ,n 0 1 0 P1 11 2 111 a m nm m lLdxN nnn P xP xP xxxdx NNN 11 2 0

41、0 14 mmm ggdxxxxdx 可以归纳为可以归纳为 2 2 , 21 11 01 m n N mn LNmn mn 2 14 1 m m g N 第47页/共62页 情况情况1： N=1 =8 ， 于是得到于是得到 对比对比 这里的这里的 和和 的对比如图的对比如图5-17-16所示所示 表面看来，与图表面看来，与图5-17-13类似，实际上脉冲函数和三类似，实际上脉冲函数和三 角函数意义有很大不同，又注意到图角函数意义有很大不同，又注意到图5-17-16中中 和和 各强制置零半段。各强制置零半段。 1,1 L 1 2g 1 1 0.25 4 a 0 113 0.270833 248

42、u 1 ux 0( ) u x 1 0 4 ， 3 1.0 4 ， 图图5-17-16 和和 1 ux 0( ) ux 第48页/共62页 情况情况2: 于是有于是有 对比对比 和和 如图如图5-17-17所示。所示。 189 9 18 l 131 259 g 1 2 189131 918252187 4590.209 87651 5670.259 25922187 0 0 1 0.218 1073 0.267 489 72 3 u u 0( ) ux 2 ux 图图5-17-17 和和 0( ) ux 2 ux 2N 第49页/共62页 情况情况3: 于是有于是有 作为对比有作为对比有 和和

43、 的对比如图的对比如图5-17-18所示。所示。 3N 32160 163216 01632 l 5 1 8 4 13 g 1 2 3 7685122565 1 512 10245128 65536 25651276813 11 2640.171 875 1 17 4080.265625 65536 15 3600.234375 0 0 0 1 4 0.175 7812 1 0.270 8333 2 0.238281 2 3 4 u u u 3 ux 0( ) ux 图图5-17-18 和和 3 ux 0( ) ux 第50页/共62页 2.4.2扩展算子扩展算子 算子包括定义域和运算域。如同

44、数学上经常所做的算子包括定义域和运算域。如同数学上经常所做的 那样，可以采用扩展算子来增加展开函数或权函数选择那样，可以采用扩展算子来增加展开函数或权函数选择 的自由度。的自由度。 原算子和扩展算子的逻辑关系如图原算子和扩展算子的逻辑关系如图5-17-19所示。很所示。很 明显，扩展算子不改变原算子的运算。明显，扩展算子不改变原算子的运算。 图图5-17-19 原算子和扩展算子的逻辑关系原算子和扩展算子的逻辑关系 第51页/共62页 例例6 希望希望Harrington问题问题 采用脉冲函数作为展采用脉冲函数作为展 开函数的并引入扩展算子概念。开函数的并引入扩展算子概念。（做一般了解）（做一般

45、了解） 解解 从上面论述中已知从上面论述中已知 在原来的定义域中不存在。但在原来的定义域中不存在。但 深入研究矩量法后发现，矩量法并不要求深入研究矩量法后发现，矩量法并不要求 有定义，而有定义，而 只要内积只要内积 有定义即可。有定义即可。 (5-17-36) 于是可以放松要求为，所选择的权函数于是可以放松要求为，所选择的权函数 满足定义域，满足定义域， 即即 (5-17-37) 则可引入扩展算子则可引入扩展算子 (5-17-38) L ug L P L P ,L u 2 11 2 00 1 1 0 0 , ddu L uu dxd dxdx duddu dx dxdxdx 010 1 0 ,

46、 ddu L udx dxdx 第52页/共62页 从而避免从而避免 问题，于是设问题，于是设 L u 1 N nn n mm ua P xx T xx 则可知矩阵单元为则可知矩阵单元为 1 0 1 0 , 11 12 111 2121 2121 mn mnmn dT xxdP xx lL P xxdx dxdx mmm NH xH xH x NNN nn xxdx NN 以及激励单元以及激励单元 11 2 00 11 3313 0 00 1 3 11 0 m 33 1 1 1 14 444 333 411 1 322 44 11 33 mmm mmm mmmm N m N ggdxT xxx

47、dx T xxd xxT xxxxxxdT xx NxxP xxxP xxxdx NxxdxNxx m+1 1 1 N m N dx 第53页/共62页 归纳起来是归纳起来是 它和三角函数展开脉冲函数检验所得到的公式差距极其它和三角函数展开脉冲函数检验所得到的公式差距极其 细微。细微。 当当N增大时，增大时， 彼此相当接近。彼此相当接近。 情况情况1: 这种情况与这种情况与 完全吻合。完全吻合。 21 11 01 mn Nmn lNmn mn 2 2 2 4 1 3 1 1 1 m m g N N m g 1N 111 26 4 24 lg 1 26 0.2708333 96 0 113 0.270833 248 u 第54页/共62页 情况情况2: 容易得到容易得到 同样对比有同样对比有