奇异系统的分解

1、第6章奇异系统的分解6.1导论在这一章中，我们开始关注更加一般类型的线性时不变系统的结构分解，即线性奇异（descriptor）系统。奇异系统通常在文献中也称为广义系统（generalized systems）,出现在许多实际应用中，包括工程系统，经济系统，网络分析和生物系统中（可参见Dai 43 , Kuijper 79和Lewis 80）。事实上，现实生活中的许多系统在本质上是奇异的。因为缺乏有效的工 具来处理奇异系统，常常用正则系统来简化或近似它。在近三十年中，不管是利用代数还是几何方法的线性奇异系统的结构分析都得到了许多学者的相当关注（参见Chu和Mehrmann37， Chu 和 H

2、o 38，Fliess 53，Geerts 57，Lewis 80-82，Lewis 和 Ozcaldiran 83， Loiseau 93， Malabre 97，Misra 等99， Van Dooren 143， 144， Verghese 146， Zhou 等 161，以及其中的参考文献）。一般说来，几乎所有涉及奇异系统的研究工作都是对相应正 则系统的自然推广，尽管这些推广并不是直接的。对非奇异系统，象有限和无限零点结构，可逆结构这样的系统结构性质已经充分展示了在解决各种控制问题中所发挥的重要作用，包括打，控制和干扰解耦（参考 22和120）。然而奇异系统的结构特性和它们在奇异系统控

3、制问题中的应用在文献中就没有得到 应有的重视。在这一章中，我们将给出一般多变量线性奇异系统的结构分解技术。和第5章的系统相对应，这样的技术可以捕获和揭示一般奇异系统的结构特性。也可以认为是第5章正则系统对应结果的自然推广。但是很快就会发现对一般多变量奇异系统进行结构分解更 加复杂。可以预计这样的分解技术能够成为解决大量奇异系统控制问题的有力工具，如戸 和匚 控制，模型降阶和干扰解耦，这只是其中的几个例子而已。这一章的结果，特别是对连续时间系统，主要是根据64,65中已有的研究结果。我们考虑一个连续时间系统，表示为Ex AxBuyS : _. y = C x D u,其中，：一氐肚和分别是系统的

4、状态， 输入和输出和八是具有适当维数的定常矩阵。如果|，则系统丁是奇异的。通常为了避免系统的解的任何歧义性，在整章中我们都假设给定的奇异系统是正规（regular）的，即对所有的 有1 1： / 1L传统上，Kronecker规范形（严格等价变换下的矩阵束（matrix pencil ）的传统形式）在奇异系统的结构分解分析中得到了广泛应用。Malabre 97提出了一种几何方法和引入了奇异系统的结构不变性。从那篇文章中可以看出有些定义和其它直接从矩阵束（matrix pencil ）工具中推出的结果是一致的。它把许多几何和结构方面的 结果从正则系统推广到了奇异系统。在第3章的正则系统中已经看到

5、Kronecker规范形揭示了系统的有限和无限零点结构（即不变指数，in varia nt in dices），以及左和右零空间结构。可以把同样的技术移植到奇异 系统不变指数的定义中（见Malabre 97）。我们知道如果存在具有适当维数的非奇异定常矩(昌 A/】N)P = s Af2,则两个一维的矩阵束 宀 和;陆一 卷是严格等价的。在Gantmacher 56中已经证明在严格等价意义下，任何矩阵束辰潦泸都可以变换到规范准对角形，即Q(sM-N)P =在本章中，我们将关注blkdiuglf/t/j Li、Rm】TsU 000 (6.3)Eo AB 00-C -D一 A BC D即和匸相关联的

6、（Rosenbrock）系统矩阵束。在（6.1.3 ）中，人和.分别是；x (A: + 1)(6,1.5)Rk ：=-1是约当规范形，二 *有以下 空-曲 个束作为它的对角块,-1冉一 0讥l6,1.6)“-乩有以下个束作为j = Z d, i = 2，H是幕零和约当规范形,它的对角块,Aij-41 -+i (0)；=-ft1 _(6.1.7)i = 1,2,心则& 一尽）” J J = 1,2,.卫汀是在i =的有限基本因子。指标集 和 分别是右和左最小指数。:丁汀一二入 *、是无限基本因子。 的结构不变性定义是基于它的系统束的不变指数。对于奇异系统，右和左可逆指数分别是系统束的右和左的最小

7、指数，奇异系统的有限和无限零点结构和系统束的有限和无限基本因子相关联。注意奇异系统L的系统束的不变指数的计算非常简单。不失一般性，我们假设式是血 1.X)所以，:-和；就有相应地分块起歧义的情况下，我们有时把 写成.。这里的是微分算子或者是Laplace变换的变把（6.1.4）的系统束重新写为忌=容易发现一的不变指数等价于由 : ;所表示的正则系统的不变指数。因而可91）。从（6.1.10）也可得 奇异系统的Kronecker规范形并 因为它和正则系统的是一样的！在这一章中，我们的精力并以计算出所有的不变指数（参见 不能捕获系统的所有结构特性， 不放在不变指数的计算上，而是在推导可以把给定系统

8、的状态空间分解到几个不同部分的构 造性算法，这些部分和有限和无限零点动态，以及给定系统的可逆结构直接相关。有趣的是奇异系统和正则系统在结构方面有本质的差别。对于奇异系统来说，我们很 快就会发现有些状态变量完全是零，表明奇异系统的状态轨迹通常并没有张成整个间，有一些则是输入变量和它们的导数的线性组合。这一章所给出的分解技术将能够自动和显示地分离出奇异系统的允余动态（redundant dynamics），而Kronecker规范形是做不到这点的。除了这些特有的性质以外，我们进一步发现剩下的状态变量和第5章的正则系统有相似的结构特性。前面已经指出，在解决一系列奇异系统控制问题方面，和正则系统相对应

9、，这一章中的技术应该能够发挥同样的作用。我们要强调的是有关奇异系统和控制的研究还远远不够全 面，我们相信这一章的结果是对付许多奇异系统和控制问题的重要工具。本章的安排如下。6.2节是对SISO系统结构分解的算法。6.3节给出了一般 MIMO系统 结构分解算法和这类系统的结构特性。6.3节中结果的证明放在 6.4节中。6.5节处理离散时间系统。在这一章中，表示，的阶导数，其中是非负整数。稍许有些不严格，在不会引量。6.2 SISO奇异系统在这一节中，我们考虑（6.1.1）中二一 :一 I时的奇异系统。正如所料， SISO系统结构分 解的计算要比一般多变量系统结构分解的计算简单的多。为简洁起见，我

10、们在这一节中假设 &的状态变量 在一时是/的连续函数。我们有下面的定理。定理6.2.1考虑（6.1.1）中 ? 时的奇异系统_ ,满足通常的正规性假设，即对J有:：匸匕七一.产；。存在非奇异的状态，输入和输出变换丨，：匕和必，以及一个.的非奇异矩阵I ，它的元素是的多项式，所有这些给出了用以下方程组描述的的结构分解,/阳i x = rsi, i = 1.e Rd,眄=d2* ?Xd7叭卄y f帀 e Kni, % e nr笃盹e劇匕y =嘉也u Viu(62 J)(6.2.2)(623)(62.4)和情形1 :如果汽I -：，即不存在，则有 3E 0了% =五何,広轧=+ Eg* y =+ D

11、ii（叫情形2 :如果，则有 0, xe = a胡巧： 為i = aaa +教11 =趾2 忑d務，= M血 + ddVd + 五何 t y = y,B =*1 叭如=100 1000 *Wd 丿_ 00 010 一LoJ如果 I,则u=C =OlCl 為2 * vt?d 1* = Cvl,如果：，则1乐=为,冠=U,A = A7 B = aB,C = cb =如我们有以下两种不同情况。情形1 ,相应于定理6.2.1的情形1。在这种情况下，很容易得到，叽吐=0 ,斑=疣，Th = 7T +卩和x& = (A BD1 C)xa + BD1 y =(6.2.2H)如果令巳三三息:，则y = Cx

12、+ Dau Cx + Duv(6+2.29)情形2 -，相应于定理6.2.1的情形2。根据定理5.2.1,存在非奇异的变换I ,和I，当我们对(6.2.27)的系统进行坐标变换x = f6 = ra (), y roj,U =-=五何，(6.2.30)Ia根据(6.2.22)可得i =卫豳adCd_ El Afrfa Add _龙+0 _ 如(6.231)和3? = 0 Cj x.(6.232)其中：，和的形式是(6.233)和令16.2.34)U =廿五=qYU =私=憎3a由此完成了给定SISO奇异系统的结构分解算法。000Cr10101-0011U(J10100E =00010,/L =

13、101017 B =000000010100lo011oJ_10101-.1和c =01000,D0.例6.2.1我们考虑（6.1.1）的奇异系统，其中(6235)(ft.2.36)L41421.4142-0,7071-L4142-0.7071001.22480-1,22480-L4142一 1.4142L41421.41420-101100010我们首先选择，并得到0.70710.4083000000J07101Q0-0.816500000 -0.707100.-0.70710.4083010 _ 10 000 0000001 00000000PEQ =00 100,PAQ =0000000

14、 0000001000 000 j00001PB =其中宀一：;和和其中 0 0 0= 0 0 00 0 0和N =注意；非零，丁已经是a = -1,.以及辅助的正则系统其中0.7071L22471,414210CQ = 0 0 0.7071 0 1 ,给定的奇异系统可被分解成下面的子系统:(Xi = Ai Xi + Bi u7 Si : I yi = Ci xi,(N 2 = X2 + B-2 y2 Cq 引，07071,Bt =-1.2248 L Ci = 0 0 0,7071 ,1.4142=0,1 r . b2 = J , c2 = o 1 .(6.2.15)所要求的形式，我们有u =

15、 u = u, a0 0 0 r -0.70710 0 0,B =L22480 0 0一 1.414210 0 0.70715 = o,它对应了 SISO-SDDS步骤3的情形2。根据定理521的结果，我们得到所需的状态，输出 和输入变换矩阵，0 -107071= 1, fi = -i,f& =10-1.2248001*4142000100-10110-1.224801.22180-1.4142-2.121302.12131,41420-1-111它把辅助正则系统变换到所需的结构形式：000 1r o i000,事呃A 二 o , r-1 = o o 11 000E最后，所有需要的变换是和00

16、0.4083-0.707101000100-0,8165010000-1010,408307071-1几=和Fi = 1】= 1,0000000000001000001000001这些变换把奇异系统变换成特殊形式分解后的系统可以重新写为玄扛0000% +010 li,y=6 + Vd 二- Vd-叼6.3 MIMO奇异系统我们首先在下面的主要定理中总结多变量奇异系统结构分解。也将给出所有相关的特性。为了陈述清晰，结构分解构造性算法以及所有特性的证明放在6.4节中。定理6.3.1 （ SDDS）考虑（6.1.1）的多变量线性奇异系统，对， 满足:（nM - 壬二。贝寸1 存在和坐标无关的非负整数

17、，,，-, 和如果；J门，则有正整数 ，：；_丄：.匚.宀：，和2 存在非奇异的状态和输出定常变换 和；匸序宀，以及一个；的非奇异输入变换：,它的逆矩阵的元素是一些的多项式（即它的逆包含了各种微分算子），一个一的非奇异变换I八，它的元素是的多项式，所有这些给出了的结 构分解，并且显式地揭示了结构特性。V:的结构分解可以用下面一组方程描述:(如X,=(城il Wd2*ydnid)如叫f(6,3.3)(6,3.5)其中7小5的特征值都在0 ,化=Beoo + Becuc + Bedd + 席 A (何)眄(6.3.6)血=且豳 + B0a0 + Lyyy + 忆阴(蓉)忑却ib Abbb + ob

18、 妙0 + bd?/d + nLbx(ti)TZj(6.3.7)J/b = Cb雷b + Cb声丈 +富m、(氐3*R)ic二几小匚+尽农切+匸闵珈+匚小恥+民几人偽盹+民扯+冉厶“和王)恥=CoaiTa + Cobb + 血 + Codd + 呦 + Cg叭 + 冉Gh黑)応巧(6.3. 10) 对每个：和一些定常的具有适当维数的子矩阵，还有元素是的多项式的矩阵有龙di = 4?严曲 十L迫的 + Lidyd +用G/对血/叫+ B(Ji | uai + 詛不& + Mihxb + Micxc + 力入哲j%ij , (6-3 J 1) m/ym Cqi 忑j +彌旳 + 醫i/d = Cd

19、T” +Gi询* +出01朋(卅)晒 t (,3.12)这里状态，,和的维数分别是，和 j - 而对每个 亠*宁，： 的维数是。控制矢量， 和的维数分别是，丨和:-. -：i，而输出变量小，.和 的维数分别是 ， 和 汁、_尸小.：宀。矩阵对 i f 是可观的，；，是可控的，三元组 ：；的形式是切二 0 咲J % = ； =1 0 0,(6.3J3)假设(宅二以以上 Hl的方式排列，则矩阵，：有特殊的形式厶d 二厶L 厶厘 * T ii1 0 * 0,(6.3,14)其中最后一行全为零。定理6.3.1中结构分解的构造性证明在下一节中给出。以下的定理6.3.1的推论给出了结构分解的简明矩阵形式，

20、建立了和原系统的等价关系。推论的证明沿用定理6.3.1的构造性证明过程。推论6.3.1定理6.3.1中I的结构分解可以表示如下:01(6.345)几00000-00000000000000人豳（杰）0000Aib0000000g0Lf 盂(ti)0-00000ridi-EM)0e = re(jf)；rs = s - Ez + 亚何o000000 00 00 00 00 00 0+巫,a = re()4rs =血 + 冉亚 G)ro o0 (k(6.3.16)eLda o M Moacb他 o b b X 忸4d LLHadClEbclGi cdGlB =几jBT何二耳=c = r-cr, =

21、g + 验=e a b c d UBOBOBOBOBOo % o 0鸟0(6.3J7)童zti cocdGD = iDiG) = Dg + 验=其中卜是一个元素为一些0 00aBob 1“Dd -acoobcoo+(6JJ8)(6.3 J 9)-多项式的丫 -矩阵,Cq 00Co直GjuCoc Goa t(6.3,20)验帝+ Fu（s）tf = 監(6.3.21)其中小是元素为一些-多项式的矩阵。推论6.3.2令为一个奇异系统，用定常矩阵四元组-|来表示，它的传递函数为比(“)=- 4s)_1s + 2-(6.3.22)令：九|为原奇异系统(6.1.1)的传递函数，则H&) = C(tiE

22、A)_1B + D =几忑(对17】6),(6.3+23)这表明原系统的传递函数和用表示的传递函数之间由非奇异变换相联系。接下来，我们要指出的是假设 v的状态变量 在一：丄是的连续函数并没有失去一 般性，这只是意味着从到 1 |时没有跳变。则很容易证明(634)意味着对所有有:、一。在这样一个比较弱的假设下，我们在下面总结结构分解中状态变量的物理特性：1.状态：是纯静态的，对所有时间都是零。它既不能被系统输入所控制，也不受其它状态的影响。2状态也是静态的，包含了系统输入变量和它们的适当阶次导数的线性组合。3. 状态既不能被系统输入直接控制，也不受系统输出的直接影响。4. 输出-和状态，不受任何

23、输入的直接影响，尽管它可以受到输出-的间接控制。 而且 i 形成了可观测对。这表明状态 “，是可观的。5. 状态直接受输入 控制，但对任何输出没有直接影响。形成了可控对。 这表明状态：是可控的。6变量通过一组 忙个积分器控制输出。而且所有的状态二 是可控和可观的。很快就会发现给定系统的所有不变特性都很容易通过我们的结构分解得到。从定理6.3.1中的结构分解中也不难和有趣地发现给定系统存在允余的状态变量。因为状态变量-始终为零，状态变量:只是系统输入变量和它们的导数的线性组合，直接应用该技术就可以把奇异系统变换到一个等价的非奇异系统。所以从输入-输出的关系来看系统的话，给定的奇异系统可以等价地变

24、成以下的非奇异系统：且=工牡 + Eadi/对 +(&3*24)丘b = 4bbb + Elb MO + bdyd? yb = Cb忑b?3*2乡)龙C =+ BgJ/O + cd?/d + cb/b + Ec 壮 u,yo = Cg% + Cobb + Cocc + Codd + 地b(6.3.27)对每个 i咯H =xh + L询血+ L加d/咖、+ J 14曲 + 人轨工出 +忑t + AJjj忑（|jy Cobs ：=CgCqc 1Bc AfcaA/( j(6.331)可以用与正则系统同样的方式来定义奇异系统的不变零点 的 Kronecker 规范形（参见 Malabre 97）。（参

25、见第3章），或者是根据定义6.3.2 （不变零点）如果rankJ(a) n + nonnrankfr(j),(6332)其中H=C(aE 一+ D、(6.333)时（HQ）表示/的常态秩，就是定义为在整个具有实系数的上的有理函数域 上的秩， :是 （6.1.4）中的和E相关的系统矩阵束。（6.1.6）中的.；就对应了的不变JH零点。以下的特性表明Y的不变零点可以很直接的方式从结构分解中得到。特性6.3.2 （不变零点，常态秩）丁的不变零点是的特征值。的常态秩等于o我们注意到的约当规范结构对应了系统的Morse 100 i列。实际上在许多应用中，进一步地分离和不变零点动态相关联的状态变量是有用和

26、必须的，即把分解成稳定部分，不稳定部分以及和虚轴上不变零点相关的部分。根据定理421，存在一个非奇异的状态变换，比如说是，使得(6.3J4)孟 00TlA =0 越a 0 启話其中辽d 为稳定的不变零点,J殳为虚轴上的不变零点，心心曲是不稳定的不变零点。给定系统厂的无限零点结构可被定义为（6.1.7）中厂 |的Kronecker规范形的相应的块结构。也可以应用众所周知的Smith-McMillan形或Morse100的.列来定义。特性6.3.3 （无限零点结构）具有个0阶的无限零点。的无限零点结构（大于0阶） 为醴（E） = 如件，g 叫,（-335）即对每个-分别有一个-阶的无限零点。注：特

27、性6.3.3只对变换后的系统成立。由于对系统输入求导的缘故，如（ 原系统的无限零点结构和（6.3.35）有些不同。6.1.7 ）所定义的我们所给的结构分解也可以给出奇异系统的可逆结构。从本质上讲，对于矩阵(6.4.3)L(s)H(n) = Im.(6.336)则系统或等价地厂：是左可逆的；如果存在一个有理矩阵函数-使得H (&) R =Ip.(6.337)则系统是右可逆的；进一步地，如果既是左可逆，又是右可逆的，则v就是可逆的；如果既不是左可逆，又不是右可逆，则 匸是不可逆或是退化(degenerate)的。匸的具体的可逆结构同样和(6.1.5) 中 的Kronecker规范形中相应的块结构的

28、左和右的最小指数有 关。实际上右和左最小指数分别分别等价于的可观性指数和/的可控性指数，这些分别对应了 Morse 100的L；和L列。特性6.3.4 (可逆结构)是右可逆的，当且仅当宀(因此)不存在；是左可逆的，当 且仅当(因此)不存在；是可逆的，当且仅当，和；都不存在。6.4定理6.3.1和特性的证明我们现在给出前节中主要结果的完整证明，即定理6.3.1和它的所有结构特性。定理6.3.1的证明 下面是一般多变量奇异系统结构分解的逐步算法。MIMO-SDDS步骤1： 初步分解这一步是把给定的奇异系统分解成一个正则子系统和一个具有特殊结构的奇异子系 统。这一步和6.2节中SISO-SDDS步骤

29、1相同。就是要找到两个非奇异矩阵萨心和I使得PEQ彳獰対啦=恃(6.4.1)和CQ = CL C27(6.4.2)其中,，和：是具有适当维数的矩阵，是一个具有适当指数的幕零矩阵，比如说是，即而：=匚。等价地，丫可被分解成下面 两个子系统:?/i = Ci xi + D u,N 2 = X2 + B2 U. 妙2 = C2盹,其中工底叫和x-2 lRnj，化1 +冗2 =几和甘=+血MIMO-SDDS 步骤2:和.的分解主要的想法是分离 中 二 矩阵对的可控和不可控部分。根据第(6.4.4)4章中的定使得其中TvNJ0nzB2 =T B2Tj 几10 * 00兀2 * 0=f *00 _ 00

30、0rBnB|2-Bne% -022*r00 +*口*Eg_ 0000 _，:/VijPi z(6.4.5)(6.4.6)理441和442,存在非奇异的坐标变换其中是可控的。而且由于是幕零矩阵，所以，和.的特征值都在0,，和八的形式是01B*00 0010(Tf01、(6.4.7)(64.8)因此通过（645）的变换， 被分解成子系统(6,4.9)对.一 ：,: 几伍卅+ 7VM* =讥+尽心+ 刀 B可五j + E注心朽（杵.40）j=t+i这等价于/vivi = vi + B血 + ” E葩i + 民加审（N注爲t）（杵.4+1 1） j=+l因为.的特殊结构，对每个 S-:氏有nr*Evi

31、s2 = *Pvijl + bijjiij + 6闵1 心* 谅、1 広込, l=i+l 642)vi,3 = xvi,2 + 乂2 &纺同j +仇餌2尬* 恥諾爲,j=i+LJvi,pi 1 + 如冲1询+ 4远扭一代*池舲一l丘巧J=i+1A.(6.4.13)连续地对（6413）中的求导可得仍一Z epi-2pivi,i=一奶7 -52隔屮铲一 治出皿0+乂加k=G J-i+lJt=Ojfc=l（6.4J4）对于一个元素为-多项式的合适矢量：，让我们定义一个新的输入变量(6.4J5)Ui = 一如j +刀畑皿缪=泯必it=l则（6412）可重新写为:价九1%乳旳+j=：+l & plj=i

32、4-lPj = lPim-曾+：叩抚*f幅J叩加叭爲Jb=2j=i- 1& pj 1rie=xfit2 5Zb 纺 2vj,旳j=?+l 肪円 1He+52如2切j= 4c Pi1 vi.pi Ij=i+l & Pjlnrnr:+ ij,Pi -ljj=i+ l & pj = lHe如i - I可扣冋爲+ & 让円1处* t/tZgjFj l*Pa +j=i+l & Pj 1(6.4.16)接下来定义VlePl-a?vl,l +刀叫申0*=1-v2,1 +纽 20*=1vlj(6417)-工叫J十血哄幻k I0-Ue +(6A18)其中l -是元素为多项式的矩阵。现在很容易验证（644）中变换

33、后的系统 可以重新写成以下形式(6.4J9)=-7Ze + SN班=A2X2 + 62eUe +右沁* + 8心血(町迟巧V_Wu 3/2= c滋2 + 6風+卜。為+ cy%其中：包含了中所有不在中的状态变量，丄，：；，】， 和L 是具有适当维数的定常矩阵，忘一和 是元素为一些 多项式的矩阵。而且对一些具有适当维数的定常矩阵1 ，门，厂 和L ，以及一些元素为r多项式的矩阵/；|-：和，（6.4.3）的 可被重新写为:y Cxi + Cv22 + 6血 + DH + 拎 DO 仏(6.4.20)MIMO-SDDS步骤3：正则系统的形成和最后的分解关键是从子系统（6.4.19）和（6.4.20

34、）中形成正则系统，然后对（6.1.1 ）的原系统应用正则系统结果获得结构分解。根据（6.4.19）和（6.4.20），我们得到正则系统（x = Ax + Bu B7（s） xZ7S: I _（6.4.21）y = Cx + Du-h Ds）其中(6422)根据定理L2(6.4.23)A (fl) = Cz +舄叽+舄G c2+c12,。=方* + 方玄 Qj.(6.4,24)541的结果可知存在非奇异的变换 二 ，其中-小心 _心，：，匚用和.二貝-,当对久应用这些变换时，即帀=1Ij ti=rj?i=r, I ?i(jue其中斑E斑E Rnb % E旳E UV旧其中,如El叫，咖盘,恥丽如E

35、U?叫，/如、/ Vdi /城n 7=7 Wd =如2F+J*=i7m a叫(6.4,27)我们有出 a = -aaa + ad/7d + Jabf/b + 导 2醍(占)卫巧(6428)j?b 卫bb；Fb 一 B）bo + LbdMd + 弓匚也（占）松，#b C（jb + CbzH + 启 Cbzs （用）巧启t =人g%；+&）（：妙o+Ludj/tl+Hcbab+Ef 丫坯 +订+沖乙# （占）工工 T#0 = 0口耳少（1 + 017=匕 + 匚。（+。1玄（1+上0 + 0易+兴0酩（甘）疔16429)6 丄 3()j6 丄 31)6+432)和di =+ SojJ/D + id

36、l/d + 亦 G(黑)归(6.4.33)+川也(h + Mf+MbZb + M託业+ ”M*j列jJ=i丿Jdi Cgi土 d- C. giz-z + 占Cjr*jig(*)北ji,妙1 = Gj(i + 匚血龙疋 + 弓Cdgs(占)心，(6.434)其中 1 有（6313）的特殊形式。至此已经完成了定理6.3.1的证明。最后，我们注意到推论 6.3.1和632的结果可以从以上的构造过程和一些简单但繁琐的推导中得到。结构分解特性的证明一旦有了以下两个引理的结果，奇异系统结构分解特性的证明就可以 采用和第5章5.5节正则系统相类似的方法来进行。引理6.4.1考虑用它:二表示的系统，或者是(6

37、.1.1 )的状态空间形式。则对 任何满足:;状态反馈增益/ -，贝V以门；表示的状态反馈系统有以下特性：1.是可稳定的，当且仅当是可稳定的；2 .山,和的常态秩相同；3. 、和有相同的不变零点结构；4 . i和有相同的无限零点结构；5. 是(左，右或都不是)可逆的，当且仅当是(左，右或都不是)可逆的。证明第一项是显然的。第 2项从以下推导中得出耳： = (C + DF)(aE-A-BF)B + D=(c + DF)(aE - I-BFE-A)-1 B + D=(C + DF)(fiE-F(&E - A)x + D=C(sE 一 AB + DI-FE 一 貝)t Bl=- F(E -.(6t4

38、.35)接下来注意到C + DF d = C D f(6436)以及在(6.1.2)的非奇异定常变换下 睡) 不变性是严格等价的事实，就可以推出第 3, 4和5项。引理6.4.2考虑由U 所表示的系统一或者是(6.1.1 )的状态空间形式。则对于满足 ；I 一 的定常输出馈入增益,由m 川人$ f -1所表示的输出馈入系统有以下的特性：1.1是可镇定的，当且仅当是可镇定的；2 . V和有相同的常态秩；3. V和有相同的有相同的不变零点结构；4. V和有相同的有相同的无限零点结构；5 . i：是（左，右或都不是）可逆的，当且仅当是（左，右或都不是）可逆的 证明和引理641是对偶的。根据推论6.3.2，变换后的系统和原系统的特性相同。奇异系统结构特性证明和正则系统的相同，我们把细节留给感兴趣的读者。我们在下面的例子中演示一般奇异