整理019平面向量的数量积及复数答案

1、精品文档平面向量的数量积及复数1. 考纲点击（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2） 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 ；（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（5） 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2. 热点提示（1） 平面向量数量积的运算，模与夹角平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选择.填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变；（2） 可与三角函数.解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点【考纲知识梳理】（1）两

2、个非零向量的夹角已知非零向量 a 与b.，作OA = a，OB = b，则叫a与b的夹角；（2）数量积的概念已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为e，则a b =叫做a与b的数量积（或内积）规定oa=o；向量的投影： ，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影；I 44呻 T（3） 数量积的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质4 4 向量的模与平方的关系：a g =. 乘法公式成立（a +b） （a -b） =；j呻2j彳2呻2 d呻|片2（a 士b ） =a 2a b +b = a| 2a ”b +|b| ； 平面向量数量积的运算律交换律对实数的

3、结合律分配律向量的夹角：cos日=.I当且仅当两个非零向量a与b同方向时,9 =o,当且仅当a与b反方向时v -180,同时I40与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题(5) 两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 a = (xyj,b = (x2, y2几则a b =.I(6) 垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a丄b.两个非零向量垂直的充要条件：a丄b = a b = 0=，平面向量数量积的性质.(7) 平面内两点间的距离公式设 a =(x, y),则 |a f = x2 y2 或 | a, x2 y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A (xi, yj .

4、B(X2, y2),那么精品文档AB -2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:(平面内两点间的距离公式).(8) 向量的夹角： COST =.【热点难点精析】(一) 平面向量的数量积的运算及向量的模问题1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a b = I a丨4 b I cost来计算，二是利用a b =x/2 %y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用2呻2彳彳(1) a 二 a 二 a a ；(2) a b =(a 土b) =a 2a b + b ;若a =(x, y)则a7x2 y2.(二) 平面向量的垂直问题1

5、. 非零向量 a _ b= a b =0= x1x2 y,y2 0IIII2. 当向量a,b是非坐标形式时，要把a, b用已知的不共线的向量表示注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异(三) 平面向量的夹角问题IIIIIIII1. 当a,b是非坐标形式时,求a,b的夹角需求得a b及a,b或得出它们的关系II2. 若已知a,b的坐标,则可直接利用公式cos,X1X2 -yi2 十瑕II4 4注：平面向量a ,b的夹角cos 1.0,二11、复数的有关概念(1) 复数的概念形如a+bi(a,b R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0，则a+bi为实数，若b丰

6、0,则a+bi为虚数，若a=0且0,贝U a+bi为纯虚数。(2) 复数相等:a+bi=c+di：二 a=c且 b=d(a,b,c,d R).(3) 共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭=a=c, b=-d(a,b,c,d R).。(4) 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。(5) 复数的模向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= . a2 b2 。2、复数的几何意义一一对应(1) 复数 z=a+bi、复平面内的点 Z

7、(a,b) (a,b R);(2) 复数 z=a+bi平面向量 OZ (a,b R)。3、复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d R)贝U 加法：z 解得 m=-1 或 m=-2i2m 3m 2 = 02(3 )若z的对应点在第二象限，则严一亦一2);0,解得_1m1-J5或m2 +3m +2 a 01+3 m3.即(1) m=3时，z为纯虚数;(2) m=-1或m=-2时，z为实数;(3) -1m1-、3或1+： 3m3时，z的对应点在第二象限内。1 例已知集合 M= (a+3) + ( b2-1) i,8,集合 N= 3 , ( a2

8、-1) +(b+2)同时满足 M nN _ M , M n NM，求整数a,b2依题意得(a 3) (b -1)i =3i2或 8 =(a -1)(b2)i 或 a 3 (b2 -1)i =a2 -1 (b 2)i由得a=-3,b= 2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3, b=2由得 a= 3, b=-2.又 a=-3,b=-2 不合题意， a=3,b=-2;la+3=a21 la2a4=0由得a 3 a 即a a 40,此方程组无整数解。2 2b2 -1 = b 2b2 _b _3 =0综合得a=-3, b=2或a=3,b=-2o、选择题：1.设i, j是互相垂直的单位向量

9、，向量a = (m+ 1)i 3j, b= i + (m 1)j, (a+ b)丄(a精品文档)b），则实数m的值为（）A .一 2 B. 2 C .一 2D .不存在2.设a, b是非零向量，若函数f（x）= （xa+ b） （ xb）的图象是一条直线，则必有 （A . a丄 bB . a/ b C. |a|= |b|D. |a|z |b|3.向量a= （ 1,1）,且a与a+ 2b方向相同，贝U a b的范围是（）A . (1 ,+s )4.已知 ABC中,B. ( 1,1) C. ( 1 ,+s ) D . ( s.AB = a, ACa b 0,且cos片1,|2a + 入 b 入 a

10、 3b|(2a+ 入 b(入 a 3b)0 ,二 *+ 1 60, / ；2 或？0), $解得 k2= -.3k,3精品文档故使向量2a +入b口入a3b夹角为0勺入不存在.12，12.设在平面上有两个向量所以当22或K 3时，向量(2a +入b与(入a 3b)的夹角是锐角.(1)求证：向量 a + b与a b垂直；当向量 ,3a+ b与a.3b的模相等时，求 a的大小.解:(1)证明：因为(a+ b) (a b) = |a|2 |b|2= (cos2 a+ sin2 a)寸 +1 = 0,故 a+ b 与 a b 垂a= (cos a, sin a)(0 a360 ), b=直.(2)由

11、| .3a+ b|=|a3b|，两边平方得 3pf + 2 3a b+ |b|2= |a|2 2.3a b + 3|b|2,所以 2(|a|2 |b|2) + 4Q3a b= 0,而 |a|= |b|,所以 a b = 0，则1 / cosa+ 弩 sin a= 0,即 cos(a+ 60 = 0, %+ 60= k 180+ 90 即 a= k 180+ 30 k Z ,又 0W a360 ,贝V a= 30或 a= 210冗、/ n13.已知向量 a = (cos( , sin( ), b = cos 0 , sin 2 (1)求证：a丄b;若存在不等于0的实数k和t,使x= a + (t

12、2+ 3)b, y= ka+ tb满足x丄y，试求此时k+1的最小值.解：证明:/ a b= cos( 0cos 2sin( 0 sin=sin 0cos 0 sin 0cos 0= 0. a 丄 b.2(2)由 x丄y,得 x y = 0,即a+ (t + 3)b ( ka+ tb)= 0, ka2 + (t3 + 3t)b2+ t k(t2 + 3)a b = 0, k|a|2 + (t3 + 3t)|b|2= 0.2233又|a|2= 1, |b|2= 1, k+13+ 3t= 0, k= t3+ 3t,. kJ+L =t + tt + 3t = t2 +1 + 3 = t+ 2 2+

13、；故当 t=舟时，宇有最小值,选择题1、上9复数1 i的值等于(A)2(B)2(C) i(D)2、已知集合M=2 2 .l,(m _3m0+(口 _5m6)i , n =1, 3, M n N =1,3,则实数m的值为()(A )4( B)- 1(C) 4 或- 1( D) 1 或 6Z -13、设复数Z式一1,则Z二1是Z +1是纯虚数的()(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C)充要条件(D )既不充分又不必要条件4、设复数z满足条件Z二1,那么z +22的最大值是()(A) 3( B) 4( C) 12.2( d) 2 35、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为1 2i,-2 i,-1 - 2i，那么第四个顶点对应的复数是()(A ) 2i( B) 2 i(C) 2 i( D) - 1 2in n6、集合 Z | Z = i i小匸乙,用列举法表示该集合，这个集合是()A 0, 2, - 2( B) 0, 2( C) 0, 2, - 2, 2i ( D) 0, 2,- 2, 2i , - 2i 柑 1异3.B 1 岳.-ii7、 对于两个复数22,22 ,有下列四个结论：=1 ；:-_1一. 33；-一1,其中正确的结论的个数为()(A ) 1( B) 2( C) 3(D) 48、 1, a bi , b ai是某等比数列的连续三项，则a,b的值