反函数_典型例题精析

1、反函数典型例题精析Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-2-4反函数例题解析?【例1】求下列函数的反函数:(Dy=3x-52x + l(2)y=x2 2x+3,( 80. y=/7(xW0).17m (low。)(4)y=vx (OVxWl)53x -51,3解.y=K(xw5),产5,.3x-5/口由y= z-7 得(2y 3)x= -y-5,Z X + 1x=F?所求反函数为y= W二(xW$.3-2y3-2y2解(2)y=(xl)2 + 2, x( 8, 0其值域为y2, +8),由y=(x+2(xW0),得x1 = Jy-2,即

2、x=l Jy-21反函数为f i(x) = l Jx-2, (x22).解(3);y=，(xW0)，它的值域为OVyWl, x +12忌产=一仔，反函数为 fT(x) = (F(OVxWl).解(4)由y=6m( lWxW0),得值域OWyWl,反函数fT(x)=x2 l(0WxWl).由 y= -4(0Vx这 1),得值域一iWyVO,反函数fT(x)=x?( IWxVO),故所求反函数为丫=x2-l (OWx这 1)x2 (一 WO)【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函 数的图像.(l)y=VxT- 1(2)y= - 3x2 - 2(x0)解(1)已知函数的定义域是xl,值域

3、为y2 1,由y= Jx- 1-1,得反函数y=(x+l)2 +I(x2 1).函数与它的反函数y=(x+l)? +1的图像如图2. 4 1所示.解(2)由 y= -3x2 2 (xWO)得值域 y W 2,反函数f (x) = 2).它们的图像如图2. 4-2所示.【例3】已知函数f(x)=2 (xWa,-).x + a3求它的反函数；(2)求使fT (x) =f (x)的实数a的值.解设xW-a,x + aVy(x+a) = 3x+L (y3)x=lay,这里yW3,若y=3,则a=:这与已知aW：矛盾，1 ay口r I 必 I1 ax，x=,即反函数f-(x) =y-3x-33x + 1

4、1 ax(2)若f(x)=f-1x),即-=一7对定义域内一切x的值恒成立， x + ax-3令 x = 0, Aa=3.或解 由f(x)=fT(x),那麽函数f(x)与fT(x)的定义 域和值域相同，定义域是xxWa, xR,值域yy：yW3, y R, a = 3 B|J a = - 3.【例4】已知函数y=f(x)=E中，a、b、c、d均不为零，cx + d试求a、b、c、d满足什麽条件时，它的反函数仍是自身.解f(x)=3 +上二叫_,.常数函数没有反函数， c c(cx + d) , -dx + bAbc-ad70. Xf-,(x)=,ex - a要使111 =注=，对定义域内一切X

5、值恒成立， ex - acx + d令 x = 0,得一a = d,即 a+d = O.事实上，当a + d = O时，必有fT(x)=f(x),因此所求的条件是be adWO,且a + d = O.【例5】设点M(L 2)既在函数f(x)=ax2 + b(x20)的图 像上，又在它的反函数图像上，(1)求fT(x), (2)证明fT(x) 在其定义域内是减函数.12 = a+ba 317解由l = 4a+b得7 侬=一户产。)17 7证(2)由y= - qx? + q(xO)得反函数f j(x) =-).7设XVX2W, A7-3x,7-3x20,A77-3x, 7x-3x2, B|Jf-,

6、(x1)f,(x2), 7故fT(X)在(一8, q上是减函数.Y 1_【例6】若函数f(x)=一；,求fT(&)的值.x + 2X 1 1 9 v解法(一)先求函数f(X)=V的反函数f-(X)=，x+21-x于是|(后)=匕号=一5 一 3a.1 y/2解法(二)由函数y = f(x)与其反函数y = fT(x)之间的一 一对应关系，求日必的值,就是求f（x尸及时对应的X的值,令汜=屈 得x=-5 - 3式,即f（或）=一5 一 3五.【例7】已知aR,且aWO, aWL设函数f(x)=-ax 一 1(xR且xW 1),证明y=f(x)的图像关于直线y=x对称. ax 1证 由y=, aWO, aWl, 得(ayl)x=y1,ax -1如果ay1 = 0,则丫=， a1 x 1 =;得a=l,这与已知aW1矛盾，a ax -1. y - 1, x - 1ayIWO,故x=，-，f-i(