第十二讲棋盘中的数学(三)

1、第十二讲 棋盘中的数学（三）棋盘对弈的数学问题我们看这样一个比输赢的问题.例1在8X8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子 “王”（如 下图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一 格.凡“王”子已经占据过的格都不得再进入.谁先遇到无法移动“王” 子时，谁就算输方.试证明，先走者存在必胜的策略.玉分析“王”子已占一个格，还剩下 8X 81= 63个格，比如甲 先走一个格，还剩下62个格.若能将62个格分成31对，每对都是 相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配 对的格，这样就造成了甲必取胜的态势.因此，将64个格两两配对成为32个1 X 2的小矩形是解决本

2、题的关键.证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1 X 2的小矩形，“王”子必在某个1X 2的小矩形的 一个格子中.甲先走，将“王”子走入这个1X2的小矩形的另一个格子中.这时还有31个1X 2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方 格.这时该乙走，乙总是领先进入某个 1X2小矩形的第一个格，甲 就可以随之进入这个小矩形的第二个格.由于不能重复进入“王”已 经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位， 甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格.最后必然乙先无法移动“王”子，乙输.甲必取胜.例2下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国 象棋的规

3、则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利.如果轮到乙 方走，问乙怎样走法才能取胜？分析 这是中国象棋残局，当然各子的走法必须按中国象棋的规 则办事，将对方憋死（无法走子时）算取得胜利。在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法 移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）.底线兵（卒）只能横向移动.谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方 将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势.因而只有底 炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移 1步， 中炮只能前移4步，底炮只能前移8步.现在的问题是：乙先走，轮 流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？解:

4、我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下 （其中“甲i, 乙i”分别表示“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2,相炮3,卒1”分别表示“中路炮进2步”,“相位炮进3步”和“卒进1步”.其余类同；“结果”栏表明乙i，甲1,乙i之后的态势，其中的“距”以步为单位）：乙相炮M甲1|卒i相 炮！相 炮2中炮2梅炮？中炮i相炮4中炮4相炮中炮3相 1兵1中丸2相炮2中炮1相炮3中烟4相炮4中炮3相结果兵卒距01111中炮距42301相炮距43210其中，情形显然为乙胜.情形，中，如甲2进炮几步,则乙3就将另一路炮进同样步数，这样，终将乙胜.情形， 与，是类似的.以为例，甲的各种走法及乙的

5、策略见下表：甲2卒1相咆2中炮2相炮3中炮1乙3相炮1兵1中炮2相炮2中炮1相炮3结 果兵卒距011中炮距201相炮距210显然，各种情形中也是乙胜.注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这 样，这两只炮之间的间隔没有改变）.说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示， 将1步, 4步，8步分别用二进制表示为1, 100, 1000.当乙从8步中走了 3步后，变为还有5步即1, 100, 101.我们把这三个数写成竖式11 0 01 0 1容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数 （这里均勿进 位）无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有 一个数位上的数字发生

6、了变化， 从而破坏了上面的规律， 即不是每一 个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路 的步数变为：11 11 0 1 这时三个数位上的数字之和 111，10，1 都不是偶数 乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律 这是能办到的 首先， 他看一下数字和不是偶数的最高数位， 三路步数二进制表示中至少有 一路在这数位上的数字是 1，然后，他就在这一路上走若干步，使得 上述数位上的数字和为 0，而较低数位上的数字为 1 或 0 以保证这些 数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变比如，对于上面 的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走 3 步，将三路步数变为：11 1这样继续下

7、去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后, 不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步.走最后一步的是乙，所以乙必然取胜.例3如下图是一个9X 9棋盘，它有81个小正方形的格子，在 右上角顶的格子里标有“”的符号代表山顶.A、B两人这样来游戏：由A把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行 或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里）： 然后由B开始，两人对奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着 走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后” 走进标有“”的那格就得胜.显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必 有一

8、胜一负，试分析B必取胜的策略.这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题.分析 我们采用倒推分析的方法.如果 A把皇后走进下图中带阴 影的格子，则B就可一步把皇后走到山顶而获胜.因此任何一方都 应该避免把皇后走进右图中的阴影地区， 而都应该迫使对方不得不把 皇后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想./ZA那么B应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走 进上图中带阴影的格子里去呢？从上图中可看出， 这样的格子只有两 个：有标号和的格子.由此可知，如果谁抢占了或，只要走 法不再失误，就必会得胜.因此，我们形象地称、两格为“制高 点”。那么为占或，如下图，如果 A把皇后走进有的方格里，

9、则B就能占领或，从而获胜，而 B又怎样迫使A不得不把皇后 走进有的或有阴影的方格呢？同样的分析可知，只要B能占领第二对制高点或即可。ZA*:*責*養7責*、*:.*T*%*4继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点和.这时，不论A开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格 子中，B第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到, 只要走法得当，必能稳操胜券的.说明：1如果我们给出的是8X8的国际象棋盘，玩“皇后登山” 游戏，A开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A必胜？这时我们看到，对8X8棋盘，制高点在最左列上，制高点在最下列 上，所以A开始把皇后放于或，则 A必胜，放在其它格时，

10、B 可抢到制高点，则B必胜.2. 如果在普通的围棋盘上，（共有18X18 = 324个格）玩“皇后 登山”游戏.B取胜的制高点都是哪些？请读者自己找出来.可以告 诉大家，一共有六对，计12个制高点.例4在8X8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人 轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动.在所有棋子都移 到A点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获 胜？OOA解：由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这 样就与例2在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把 59, 50, 30这三个数写成2进制.

11、59=( 111011) 2, 50=( 110010) 2, 30=( 11110) 2排在一起：1 1 1 1 0第一个人应当将第一行的111011改为101100,也就是减少1111,这样就使各个数位上的数字和为偶数.这时无论第二个人如何走都将 破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数 的方法，稳步地走向胜利这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15 步（即（1111）2= 1X 23+ 1X22+ 1 X 2+ 1 = 15）,即可按例2的规则稳步取胜。习题十二1.如下页图是一个3X 101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子.每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输.若甲先走，请指 出甲必取胜的着法.甲 Ab B 乙2. 对8X 8的棋盘，讨论“皇后登山问题.3. 在普通围棋盘上（共18X 18= 324个格）讨论“皇后登山” 游戏.4. 图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打X）黄（空白格）蓝（斜线格）三种颜色的方格.游戏人可以随意地通过按电钮将某一 行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果 按不多于10次电钮将图a变为图b,便可得奖.问游戏人能否