二次函数与相似三角形结合问题(20201222141547)

1、高效学习 快乐生长 成就梦想琢玉教育个性化辅导讲义教师姓名 学科 上课时间 年 月 日学生姓名 年级 讲义序号课题名称1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；教学目标 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3.能根据题目中的条件,画出与题目相关的图形,继而帮助解题；教学重点 1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；难点 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查 上次作业完成情况：优 良 中 差 建议_知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中 a 0教学内容二.特殊的二次函数：下图中 a 0琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼

2、高效学习快乐生长成就梦想三二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式,然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型,解析式中由待定字母,这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来,这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题,再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。例题选讲：例 1.如图,已知抛物线yax2bxc 与 x轴交

3、于 A、B 两点,与 y轴交于点 C, D为OC的中点,直线AD 交抛物线于点 E（2,6）,且 ABE 与 ABC 的面积之比为3 2（1）求直线AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与 x轴相交于点 F,点 Q为直线AD 上一点,且 ABQ 与 ADF相似,直接写出 点 Q点的坐标。yECDxA O B F例 1题图练习1.如图,直线y 2x n ( n 0 )与 x轴、 y轴分别交于点 A、B , 16S ,抛物OAB2 bx a线y ax ( 0)经过点 A ,顶点 M 在 直 线yy 2x n 上。B（1）求 n的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与 x轴交于

4、点 N ,那么在对称轴上找一点 P ,使得OAx OPN 和 AMN 相似,求点 P的坐标。琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习 快乐生长 成就梦想例 2. 已知：矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, A 6,0 , C 0,3 ,直线3y x与 BC 边交于 D 点 4（1）求 D 点的坐标；（2）若抛物线2y ax bx经过 A、 D 两点,求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M ,点 P 是对称轴上一动点, 以 P 、O 、M 为顶点的三角形与 OCD 相似,求出符合条件的点 P 方法总结：二次函数背景下相似三角

5、形的解题方法和策略：1.根据题意,先求解相关点的坐标和相关线段的长度；2.待定系数法求解相关函数的解析式；3.相似三角形中,注意寻找不变的量和相等的量（角和线段） ；4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时,注意利用相似三角形的转化求解；5.根据题目条件,注意快速、正确画图,用好数形结合思想；6.注意利用好二次函数的对称性；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习快乐生长成就梦想121.已知：如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y x bx c3的图像经过点A（ 1,1）和点 B（2,2）,该函数图像

6、的对称轴与直线OA、 OB 分别交于点 C 和点 D （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （4 分）（2）求证： ABO = CBO ；（4 分）（3）如果点 P 在直线AB 上,且 POB 与 BCD 相似,求点 P的坐标（6 分）yBA 1-1O-11 x1 522. 如图,抛物线y x x 与 x轴相交于 A、B ,与 y轴相交于点 C ,过点 C 作 CD2 2 2 x轴,交抛物线于点 D 。点 P 是直线CD 上一点,且 PAC 与 ABC 相似,求符合条件的点 P坐标。【参考教法】 ：一你能求出题目中点 A、B、C、D 的坐标吗？（让学生独立计算求解）二点 P的运动有什么特

7、征吗？提示：点 P 的不同位置相似的情况不一样。三当 PAC 与 ABC 相似时：1. 需要讨论吗？提示：需要,根据点 P 的不同位置讨论2.怎么讨论？根据点 P 的位置,分两大类讨论：（1）当点 P 在 C 的左侧,由题意有 PCA BAC ,则分 2类讨论：当 PAC BAC时：AC ACPC AB,即5 5PC 3；当 PAC ABC时：,AC ABPC AC,即5 3PC5。（2）点 P 在 C 的左侧,由题意有 ACP ABC ACB CAB ,不存在。3.情况分好了,那怎么计算呢？你算一下。提示：让学生计算。4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！5 以后做题,可以把分类的情况先

8、写下来,之后再计算求解。琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习快乐生长成就梦想6.根据本题的求解你有什么想法没？提示：二次函数中当点的坐标已知时,注意计算各线段的长度；注意及时画图,体会数形结合的思想。【满分解答】 ：当点 P 在 C 的左侧,由题意有 PCA BAC ,分两类讨论：若AC ACPC AB,即5 5PC 3时,PACBAC,此时CP=3,P( 3, 2); -2若AC ABPC AC,即5 3PC 5时, PACABC;此时CP=53, P( 53, 2).-2当点 P 在 C 的左侧,由题意有 ACP ABC ACB CAB ,不存在。3.如图,在平面直

9、角坐标系中,二次函数2y ax bx c的图像经过A 3,0 、 B 1,0 、C 0, 3 三点,没该二次函数图像的顶点为D （）（1）求这个二次函数的解析式及其图像的顶点 D 的坐际；（2）在线段 AC 上是否存在点 M ,使 AOM ABC ,其中坐标轴的原点 O对应点 B,点 M 的对应点为C?若存在,求出点 M 的坐标；若不存在,请说明理由。【解法点拨】 ：1. 二次函数经过三点,可以根据待定系数法求解函数解析式； （让学生自己计算）2. 当 AOM ABC时,字母已经对应好,无需分类讨论,则由 AOM ABC 得OA AMAB AC,所以9AM 2 M AC AC4y x 3 ,则

10、可直接计算出点 M 的坐标。3.注意及时画图,体会数形结合的思想。9a 3b c 0 a 1【满分解答】 ：(1)由题意得： a b c 0 b 2解得：c 3 c 3琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习快乐生长成就梦想二次函数的解析式为2 2 3y x x顶点 G 的坐标是 1, 4(2)根据题意, OA 3, BA 4, AC 3 2 AOM ABC OA AMAB AC解得：AM942 AC 的解析式是 y x 3设点 M 的坐标是 a, a 3 ,2 2 93 a a 3 24221 3解得： 1 2a ,a 点 M 的坐标是4 43 9 ,4 44. 如图,双

11、曲线y8图像, A 点在yx（m0）,ACy轴交28和y在第二象限中的xx的图像上,点 A 的横坐标为m2 xy图像于点 C,AB、DCABy2x、y8x的图像于点D均平行 x轴,分别交 yCO xB、D。（）（1）用 m 表示 A、B、C、D 的坐标；例 2题图（2）若 ABC 与 ACD 相似,求 m 的值.【参考教法】 ：1.题目看完了吧！我们来一起分析一下,先找找题目中的一些已知道条件吧！你试试：提示： 注意题目中有两个反比例函数；AB、DC 均平行 x轴,得出点 A、B纵坐标相同,点 C、 D纵坐标相同；点 A、B、C、D 的坐标可根据图像用 m 表示；2. 点 A、B、C、D 的坐

12、标可以用含 m 的代数式表示吗？你求解一下。提示：让学生求解3. 当 ABC 与 ACD时：1. 两三角形中是否有相等的角？提示： CAB ACD 902. 需要讨论吗？提示：需要,分 2类讨论；3.怎么讨论？提示：因为CAB ACD 90 ,则分两个情况讨论：AB当 B DAC时,得 ABC CAD,则CAACCD,直接计算可的 m 的值；AB当 B D时,得 ABC CDA,则CDACCA,直接计算可的 m 的值；4. 怎么计算？你求解看看。提示：让学生求解。琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习快乐生长成就梦想5. 在分析题目的过程中,还要及时画图哦！【满分解答】

13、：（1）由题意知,A m,8m,Bm4,8m,Cm,2m,D24m, ；mAB（2） 当 B DAC时,得 ABC CAD,则CAACCD,得362m=3m4(-3 m)所以：4m =16,得 m= 2 （正数舍去）所以： m= -2AB B D时,得 ABC CDA,则CD所以： m= 0（舍去）ACCA,所以若 ABC 与 ACD 相似, m= -2.k5.RtABC 在直角坐标系内的位置如图所示, 反比例函数 y (k 0)x在第一象限内的图像与 BC边交于点 D（4,m）,与 AB边交于点 E（2, n）, BDE 的面积为2。（14 分）（1） 求 m 与 n 的数量关系； （ 3

14、分）（）（2） 当 tanA=12时,求反比例函数的y解析式和直线AB 的表达式；（6 分）（3）设直线AB 与 y轴交于点 F,点 P 在BE 射线FD 上,在（ 2）的条件下,如果AEO 与 EFP 相似,求点 P 的坐标。（5 分）AODCx【解法点拨】 ：1. 注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：点 D、E 的反比例函数的图像上,则它们的坐标乘积相等（引导学生发现） ；第 2、3 小问中,点 A、B、C、D、E 的坐标不变；2.第 1 小问可根据 D、E 的反比例函数的图像上可得；3.第 2 小问结合三角比和 m 与 n 的数量关系可求的点 A、B、C、D、E 的坐标；求出点 F

15、可得 FD/x轴,所以 EFP=EAO 。当 AEO 与 EFP 相似时,则：EA EFAO FP或EA FPAO EF,再根据长度可直接求的得 P点坐标。4.注意及时画图,体会数形结合的思想。k【满分解答】 ：（1） D（4,m）、E（2,n）在反比例函数 ( 0)y kx的图像上 ,琢玉教育地址: 斜土路 780 号 1 号楼 2 楼高效学习 快乐生长 成就梦想4m k2n k, .2 分n 2m .1 分(2) ACB= 90 ,D（4,m）,设 B（4,y）作 EHBC, E（2,n）,即 E（2,2m）,EH=2 ,BH= y-2m.1 分BDE 的面积为 2,且 tanA=12,12 (y m) 22 即BH 1EH 2y m 2y 2m 1.1 分my13,B（4,3）,E（2,2）.1 分kE（2,2）在反比例函数 ( 0)y kx图像上,k 4 ,即反比例函数为 y 4x.1 分设直线 AB 的函数解析式为