专题12 幂函数（讲）（解析版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题12幂函数（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析幂函数(1)一般地形如yx(为常数)的函数叫做幂函数知识点拨幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数yax(a0,且a1)右边都是幂的形式指数是自变量,底数是常数幂函数yx(R)底数是自变量,指数是常数(2)对于幂函数,我们只讨论1,2,3,1时的情形(3)图象：在同一坐标系中,幂函数yx,yx2,yx3,yx,yx1的图象如图知识点拨幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在

2、上边(4)五种常见幂函数的性质,列表如下：定义域值域奇偶性单调性大众点yxRR奇在R上是增函数都过(1,1)点yx2R0,)偶在(,0)上是减函数；在0,)上是增函数yx3RR奇在R上是增函数yx0,)0,)非奇非偶在0,)上是增函数yx1(,0)(0,)(,0)(0,)奇在(,0)和(0,)上均是减函数1有四个幂函数：；.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是,且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】只满足值域是,且；只满足在上是增函数；只满足在上是增函数；是偶函数,在

3、上是增函数,但其值域是.故选：B.2已知幂函数在上单调递减,若,则下列不等关系正确的是（ ）ABCD【参考答案】B【解析】由于函数为幂函数,且在上单调递减,则,解得,由于指数函数在上为增函数,因此,故选B.3已知某幂函数的图象过点,则此函数解析式是（ ）ABCD【参考答案】C【解析】设幂函数为,因为幂函数的图象过点,所以.故选：C.4已知幂函数的图像经过点,则（ ）A2BCD【参考答案】B【解析】因为幂函数的图像经过点,所以,所以,所以,所以.故选：B.5设,则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A,1,3B,1C,3D1,3【参考答案】D【解析】当1时,函数的定义域为x|x0,不

4、满足定义域为R；当1时,函数y的定义域为R且为奇函数,满足要求；当函数的定义域为x|x0,不满足定义域为R；当3时,函数y的定义域为R且为奇函数,满足要求；故选D典型题型与解题方法重要考点一：幂函数的概念【典型例题】已知幂函数的图象关于轴对称,且与轴、轴均无交点,则的值为（ ）AB0C1D2【参考答案】C【解析】由题意可得：且为偶数, 解得,且为偶数, 故选：C【题型强化】幂函数在时是减函数,则实数的值为（ ）A2或BCD或1【参考答案】B【解析】由于幂函数在时是减函数,故有,解得故选:B.【收官验收】若函数是幂函数,且在上是减函数,则实数为（ ）ABCD或【参考答案】A【解析】幂函数, ,

5、解得,或； 又在 上为减函数, 当时,幂函数为,满足题意； 当时, ,幂函数为,不满足题意； 综上,.故选：A【名师点睛】形如yx的函数叫幂函数,这里需有：(1)系数为1,(2)指数为一常数,(3)后面不加任何项例如y3x、yxx1、yx21均不是幂函数,再者注意与指数函数的区别,例如：yx2是幂函数,y2x是指数函数重要考点二：幂函数的图象【典型例题】若幂函数（,且、互素）的图像如图所示,则下列说法中正确的是（ ）A、是奇数且B是偶数,是奇数,且C是偶数,是奇数,且D、是偶数,且【参考答案】C【解析】将分数指数式化为根式,由定义域为,值域为知为奇数,为偶数,故排除A、D,又由幂函数,当时,图

6、像在第一象限的部分下凸,当时,图像在第一象限的部分上凸.故选：C【题型强化】四个幂函数在同一平面直角坐标系中第一象限内的图象如图所示,则幂函数的图象是（ ）ABCD【参考答案】D【解析】幂函数为增函数,且增加的速度比较缓慢,只有符合.故选：D.【收官验收】下列结论中,正确的是( )A幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B当幂指数取1,3, 时,幂函数yx是增函数C幂函数的图象可以出现在第四象限D当幂指数1时,幂函数yx在定义域上是减函数【参考答案】B【解析】幂函数的图象都通过点（1,1）,但a0时不经过（0,0）点,故A错误；当幂指数取1,3,时,幂函数y=xa在定义域上是增函数,故B正

7、确；幂函数的图象不会出现在第四象限,故C错误；当幂指数=1时,幂函数y=xa在（,0）和（0,+）上均为减函数,但在定义域上不是减函数,故D错误；故选B【名师点睛】认识幂函数的图象重点在于掌握其特征对于yx,当0时,在第一象限内为双曲线的一支；当01时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上重要考点三：幂函数的简单性质【典型例题】已知,若幂函数为奇函数,且在上递减,则_【参考答案】-1【解析】2,1,1,2,3,幂函数f（x）=x为奇函数,且在（0,+）上递减,a是奇数,且a0,a=1故参考答案为1【题型强化】幂函数的图象关于轴对称,则实数_.【参考答案】2【解析】函数是幂函数,解得：或,当时,函

8、数的图象不关于轴对称,舍去,当时,函数的图象关于轴对称,实数【收官验收】已知函数在上单调递减,则实数取值范围是_.【参考答案】【解析】由于幂函数在上单调递减,则,解得.因此,实数的取值范围是.故参考答案为：.【名师点睛】(1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时,可根据相应幂函数的图象进行分析(2)幂函数yx在第一象限内图象的画法如下：当0时,其图象可类似yx1画出；当01时,其图象可类似yx画出；当1时,其图象可类似yx2画出重要考点四：用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论【典型例题】已知幂函数 的图象经过点 (2,8) 试确定 m 的值 ； 求满足条件f(2-a)f(a-1)的实数 a

9、 的取值范围【参考答案】(1)m=1;(2) 【解析】(1)由题得 或m=-2(舍).(2)由题得 ,在R上单调递增,由f(2-a)f(a-1)可得.【题型强化】幂函数图象关于轴对称,且在上是减函数,求满足的的范围.【参考答案】.【解析】在是减函数,又 当时,符合题意,当时,不符合题意,舍去,借助图象得 或 或或综上： 【收官验收】已知幂函数（）的图象关于轴对称,且在上是减函数（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数,所以,所以.因为,所以或.又函数图象关于轴对称,所以是偶数,所以.（2）不等式等价于,解得所以实数a的取值

10、范围是.重要考点五：数学构造方法【典型例题】比较下列各组数中两个数的大小(1) 与；(2)3与3.1；(3) 与；(4)0.20.6与0.30.4.【参考答案】(1) (2)33.1(3) (4)0.20.6,.(2)y在(0,)上为减函数,又33.1(3)函数y在(0,)上为减函数,又,.(4)函数取中间值0.20.4,函数y0.2x在(0,)上为减函数,所以0.20.60.20.4；又函数yx0.4在(0,)为增函数,所以0.20.40.30.4.0.20.60.30.4.【题型强化】比较下列各组数的大小：（1）,1；（2）,；【参考答案】（1）；（2）【解析】（1）把1看作,幂函数在(0

11、,)上是增函数,即（2）因为,幂函数在(0,)上是增函数,且.【收官验收】比较大小：1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2.【参考答案】0.51.20.61.21.20.51.20.6.【解析】根据指数函数的单调性可得 ,由幂函数的性质可得 ,从而可得结果.0.50.6,11.20.51.20.6,0.51.20.61.21,0.51.20.61.21.20.51,0时,a1；0a0时0a1,0时0a1；0a1,1；第三步,构造幂函数应用幂函数单调性,特别注意含字母时,要注意底数不在同一单调区间内的情形2给定一组数值,比较大小的步骤第一步：区分正负一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号,要