立体几何典型题型理科

1、DE/ACi DE 平面 CDBi, ACi 二平面 CDBi,立体几何经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.已知A, B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件试判断：点P与A, B,C是否一定共面?x,y使或对解析：要判断点 P与代B,C是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对50P =0A 2OB 2OC (OP _OA) =2(OB -OP) 2(OC -OP)空间任一点。，有OP总xAB yAC。答案：由题意:IIIT r m t t *AP =2PB 2PC，即 PA - -2PB -2PC ,所以，点P与代B,C共面.点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时

2、候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算.2.如图，已知矩形 ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点 M , N分别在对角线 BD , AE上，且11BM BD , AN AE 求证：MN/ 平面 CDE 33TNM可以用平面CDE内的两解析：要证明怦平吒DE，只要证明向量 个不共线的向量 DE和DC线性表示1答案:证明：如图，因为 M在BD上，且BM =BD，所以31 1 1 1 1MB DB DA AB 同理 AN AD DE，又333CD =BA=-AB，所以 MN =MB11=(DA3一量定理，可知MN , CD ,DE 又CD与DE不共线，根据共面向3

3、EA4-c3_3AN21 11 2 12 AB) BA (AD DE) BA DE CD3 3_3333DE共面由于 MN不在平面CDE内，所以MN /平面CDE 点评：空间任意的两向量都是共面的.与空间的任两条直线不一定共面要区别开 考点二证明空间线面平行与垂直3.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC= 3, BC= 4, AAl 4,点D是AB的中点， （I）求证：AC丄BC仁（II）求证：AC 1/平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂 直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过

4、面面平行得到线面平行答案：解法一 ：（I）直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三边长 AC=3, BC=4AB=5, AC丄BC,且BC1在平面ABC内的射影为 BC,. AC丄BC1;（II ）设CB1与C1B的交点为E,连结DE ,T D是AB的中点，E是BC1的中点, ACi/平面 CDBi；解法二：直三棱柱 ABC AiBiCi底面三边长 AC = 3, BC= 4, AB = 5, AC、BC、CiC两两垂直，如图，以 C为坐标原点，直线 CA、CB、CiC 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0，0)，A( 3,0,30)，Ci( 0,0，4)，B( 0,4，0

5、)，Bi( 0,4，4)，D ( , 2,0 )2(i AC =( 3,0 , 0), BCi =( 0, 4,0 ) , AC ? BCi = 0,CBAECByA AC 丄 BCi.3i(2)设 CBi与 CiB 的交战为 E,则 E( 0,2 , 2) . / DE =( , 0,2 ), ACi =( 3,0 , 4),. DEACi ,22 DE/ ACi.点评：2 平行问题的转化：转化转化面面平行，：线面平行：线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理4. (2007武汉3月)如图所示，四棱锥P ABCD中，AB _ AD ,CD _ AD ,PPA _ 底面 ABCD ,

6、 PA=AD=CD=2AB=2 , M 为 PC 的中点。(1) 求证：BM /平面PAD ;(2) 在侧面PAD内找一点 N，使MN _平面PBD ;(3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，.面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力答案：(1)打M是PC的中点，取PD的中点E，则ME “CD，又 AB= CD2 2四边形ABME为平行四边形BM / EA, BM 二平面 PADEA 平面PAD-BM / 平面 PAD(4 分)(2)以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图，则B 1,0,0),C

7、 2,2,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 , M 1,1,1 , E 0,1,1在平面 PAD 内设 N 0,y,z , MN 一 -1, y -1,z-1 , PB 二 1,0,-2 , DB 二 1,-2,0 由 MN PB1MN PB - -1 -2z 2 = 0z 二一2 1.MN DB - -1 _2y 2 =0. y 二一2（3）二 N 0, , i.22 丿设直线PC与平面PCI 2,2,一2 ,N是AE的中点,PBD所成的角为MN*cos 二PC MN-22,362此时012二，故直线PC与平面PBD所成角的正弦为MN _平面PBD设；PC,MlN 为:si n-c

8、os（8 分）.2（12 分）解法二：（1）（2）M是PC的中点，取PD的中点E,贝U11ME CD，又 AB CD22.四边形ABME为平行四边形.BM / EA, BM 二平面 PADEA 平面PAD.BM / 平面 PAD （4 分）由（1）知ABME为平行四边形PA _ 底面 ABCD PA _ AB，又 AB _ AD.AB _平面PAD 同理CD _平面PAD ,AE 平面PAD.AB _ AE ABM 曲矩形 CD / ME , CD _ PD，又 PD _ AEME _ PDPD _ 平面 A BM E平面PBD _平面ABMEPD二平面P B D 作MF _ EB故MF _平

9、面PBD MF 交 AE于 N，在矩形 ABME 内，AB 二 ME = 1, AE 二.2（3）2，NVN为AE的中点时，MN _平面PBD（ 8分）知MF为点M至序面PBD的距离， MPF为直线PC与平面PBD所成的角，设为 二, sinMPN为AE的中点当点 由（2）MN _平面PBD-直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为彳2）求斜线与平面所成的角只需在斜线证明线面垂直只需证此直线与平面内两条O点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（ 上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（ 相交直线垂直变可这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三 求空间图

10、形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值， 注意“作、证、算”的有机统一 解题时注意各种角的范围：异面直线所成 角的范围是090,其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0w90,其解法是作垂线、找射影；二面角0180其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小5.(四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是.ADC =60：的菱形，M为PB的中点(I )求PA与底面ABCD所成角的大小；(n)求证：PA _ 平面 C

11、DM ；(川)求二面角D - MC -B的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC的中点O,由APDC是正三角形，有 PO丄DC .又平面 PDC丄底面 ABCD , PO丄平面 ABCD于O.连结OA，则OA是PA在底面上的射影./ PAO就是PA与底面所成角./ ADC=60 ,由已知 APCD和AACD是全等的正三角形，从而求得 OA=OP= Q . / PAO=45 . PA与底面ABCD可成角的大小为 456分(II)由底面 ABCD 为菱形且/ ADC=60 DC=2 , DO

12、=1，有 OA 丄 DC .建立空间直角坐标系如图，则A( 3,0,0), P(0, 0, 3), D(0,0), B( 3, 2, 0), C(0,1,0).由M为PB 中点, M呼JDM,2, f), PA =( .3, 0, .3), DC =(0, 2, 0). PA DM 332 0(_ 3) =02 2 ，PA DC =03 2 0 0 ( _ 3) =0 . PA丄 DM , PA丄 DC . PA丄平面 DMC .(III) CM,0, -?), CB =0 3,1,0).令平面 BMC 的法向量 n=(x,y,z),则 n CM=0，从而x+ z=0 ；，n CB=0，从而

13、j3x,：y=0 .由、，取 x=- 1，则 y = 3, z =1 .可取 n =(_1,、3, 1).由(II)知平面CDM的法向量可取PA=(.3,0, _.3), cos :：:n, PAn-PA23 =_卫.所求二面角的余弦值为一n pa105in 11 pai r - 6 一5法二：(i)方法同上(n)取AP的中点N，连接MN，由(I)知，在菱形 ABCD中，则 AO _ CD，又 PO _ CD，则 CD _ 平面 APO，即 CD _ PA,1 1又在 PAB 中，中位线 MN / AB , CO/ AB，贝U MN /CO ,2 =2则四边形OCMN为，所以MC/ON，在 A

14、PO中，AO = PO ,则 ON _ AP，故 AP _ MC 而 MC 门CD 二 C , 则PA _平面MCD(川)由(n)知 MC _平面PAB，则 NMB为二面角D - MC - B的平面角,在 Rt PAB 中，易得 PA 、6, PB =-PA2 AB2+ 22由于.ADC 二 60 ,cos PBA芯10二 2105点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法， 综合性较强用平移法求异面直线所105E NMB 8( PBA)=故，所求二面角的余弦值为n成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法6. (2007河北省唐山市三模)如图，在长方体 ABCD

15、 ABC D 中，AD = AA =1, AB = 2, 点E在线段AB上.(I)求异面直线 D,E与A,D所成的角；(H)若二面角 Di - EC - D的大小为45，求点B到平面D1 EC的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识，本题实质上求角度和距离，在求此类问题中，要将这些量归结到三角 形中,最好是直角三角形，这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法 答案：解法一：(I)连结 AD1。由已知， AA1D1D是正方形，有 AD1_A1D。 AB _平面AA1D1D , AD1是D1E在平面AADQ内的射影。根据三垂线定理， Ad _D1E得，则异面直线 D1E与A1D

16、所成的角为90 。作DF _ CE，垂足为F，连结QF ,则CE _ D1F所以.DFD1为二面角D1-EC-D的平面角， DFD1=45 .于是 DF =DD1 =1,D1F =易得 Rt BCE 三 Rt CDF，所以 CE =CD =2，又 BC =1，所以 BE =$3。设点B到平面D1 EC的距离为h . Vb_ced1 二Vd_bce,即-Ice d1f1 1 be bc dd1 ,3 23 2- CE D1F h 二 BE BC DD1，即 2、2h = 3 ,故点B到平面D1 EC的距离为解法二：分别以 DA, DB,DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(I)由 A(1

17、,0,1)，得 DA =(1,0,1)设 E(1,a,0)，又 D1 (0,0,1)，则 D1E =(1a, T)。寓辰=1 0一仁0 DA1-DiE则异面直线D1E与AD所成的角为90 。(n) m = (0,0,1)为面DEC的法向量，设n = (x,y, z)为面CED1的法向量，则|z|n =(x,y,z) |cos ： m, n |= T 2 = cos45 =| m | n | Jx2 + y2+z22 z2 = x2 y2.由 C(0,2,0)，得 DC =(0,2, -1)，则 n _ DiC，即 n DC =0由、，可取n =3,1,2)CB =(1,0,0)，所以点B到平面

18、D1EC的距离 |CB n |6d =| n|2血 4点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离，在求此类问题中，尽量要将这些量归结于三角形中，最好是直角三角形，这样计算起来，比较简单，此外用向量也是一种比较好的方法，不过建系一定要恰当，这样坐标才比较容易写出来考点四探索性问题7. ( 2007年4月济南市)如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且 DE=、2 , ED/AF 且/ DAF =90 。(1 )求BD和面BEF所成的角的余弦；(2)线段EF上是否存在点 P使过

19、P、 存在，说明理由。EP与PF的比值；若不、1010即BD和面BEF所成的角的余弦 1010(2 )假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设 EP与PF的比值为 m，则P解析：1.先假设存在，再去推理，下结论：2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后 再根据条件给出证明或计算。答案：(1)因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系, 则 B(2，0，0)，D( 0，0，2)，E( 1, 1，2)，F(2, 2, 0)，则 DB =(2,0,0),BE =(-1,1,2),BF =(0,2,0)设平面BEF的法向量n =(x,y,z),则- x

20、y 2z = 0, y = 0，则可取 n = (2,1,0)，向量DB和n =(2,0,1)所成角的余弦为2 2+0-222 12 . 22 - ( -2)21 2m 1 2m 2 、点坐标为(，)，1 m 1m 1m1 2m 1 2m 21 2m 12 x则向量 AP =(,),，向量 CP =(,),1m 1 m 1 m1 m 1m1m所以21 2m1 m1 2m1 m1巾所以m=2。点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。8. (2007安徽文)如图，在三棱锥V - ABC中，VC丄底面ABC , AC丄BC

21、 , D是AB的中点，且AC = BC =a，/ VDC+可(I)求证：平面VAB丄平面VCD ;(II )试确定角二的值，使得直线 BC与平面VAB所成的角为-6解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解答案:解法1：(i) t AC=BC=a，ACB是等腰三角形，又 D是AB的中点, CD _ AB，又 VC _ 底面 ABC . VC _ AB .于是 AB _ 平面 VCD .又AB 平面VAB，平面VAB _平面VCD .(n) 过点C在平面VCD内作CH _ VD于H，则由(I)知 CD _平面VAB . 连接BH，于是 CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.n依题意.CB

22、HU，所以在 Rt CHD 中，CHasi nr ；2n a在 Rt BHC 中,CH =asin 6 2二 sin -.2 0，-.24nn故当时，直线BC与平面VAB所成的角为一.46解法2 ：(1)以 CA, CB, CV所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0) A(a,O,O)B(0, a,0)DV0,0= atan.2于是,VD _ 22AB = (-a, a?0).fa a ) 11从而 ABCD =( -a, a,0)，一,0a2a2 0 = 0，即 AB _ CD .2 2 丿 22i a aa,0)a 2 即 AB _VD 又 CD

23、VD 二 D , 又AB 平面VAB .平面VAB _平面VCD .同理ABVD =(-a,-atan.2(n)设平面VAB的一个法向量为n = (x y, z),则由 n-AB =0, n-VD =0 . AB _ 平面 VCD .1 2 a2-ax ay = 0,得aa2-x -y-aztan丁 -0.2 2 2可取曰 疋匚2亠,a，2 2cot2 v 2n = (1,1 一 2cot 力，又 BC =(0, - a,0),即sin2nn/ 0，.“ =-24解法3:(I)以点 D为原点，以DC, DB所在的直线分别为 x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,n故交二二一时，直线4nBC

24、与平面VAB所成的角为 .60 , - a, 0-B 0 - a , 0cL 0, 0、-vL 旦,0,返 atanj1 2丿1 2丿1 2丿1 2 2 丿则 D(0,0,0) A于是DV二上a, 0,二2 2atan 日,a, 0,02,AB = (0,2a,0).从而AB-DC=(0 , ,2a , 0) -2a, 0, 0 =0 ,即 AB 丄 DC . 2J22)a ,0 ,atan 日=0 ,即 AB 丄 DV . 22丿又 DC 门 DV 二 D ,二 AB _ 平面 VCD .又AB 平面VAB ,平面VAB _平面VCD .同理 AB-DV =(0, ,2a , 0) (n)设

25、平面VAB的一个法向量为 n = (x, y, z),则由n-AB = 0, n- DV = 0 ,、.2ay =0,得血+V2te 0-ax + az ta nH =0.-2 2可取n =(tan ,0,1)，又 BCa, 0 ,Jnsin =6n-BCnBCa 1 tan2I,2n即 sin:0-n . n r =-.24n 即直线BC与平面VAB所成角为 .6n故角，蔦时,点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解运用更多的是建空间直角坐标系，利用向量法求解考点五折叠、展开问题9. (2006年辽宁高考)已知正方形 ABCD E、示，记二面角 A-DE -C的大小为二(0 ： v :二)(I) 证明BF /平面ADE(II) 若LACD为正三角形,试判断 点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论， 并求角0的余弦值”F分别是AB、CD的中点，将L ADE沿DE折起,如图所分析：充分发挥空间想像能力， 重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明解：(I)证明：EF分别为正方形 ABCD得边AB、CD的中点,E