02第二章极限与连续[共27页]

1、第二章 极限与函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1了解极限的描述性定义2了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质3会用两个重要极限公式求极限4掌握极限的四则运算法则5理解函数在一点连续的概念,知道间断点的分类6了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质 （最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理） 7会用函数的连续性求极限重点 极限的求法,两个重要极限,函数在一点连续的概念难点 间断点的分类,分段函数在分段点的连续性（二）内容提要极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型 描述性定义 极限记号x设函数 y f ( x) 在 x b (b 为某个正 lim

2、f (x) A或x时函数实数) 时有定义,如果当自变量 x的绝对值无限增大时, 相应的函数值无限接近于某一个固定的常数 A,则称 A 为x （读作“x趋于无穷”）时函数 f ( x) 的极限f (x) A(xf (x)的极限)1x 设函数 y f ( x)在(a, )(a 为某个实数 )时函数内有定义,如果当自变量 x 无限增大时,f ( x)的相应的函数值 f (x) 无限接近于某一个固定的常数 A,则称 A为x （读作“x 趋极限lim f (x) A 或xf (x) A(x)于正无穷”）时函数 f ( x) 的极限x 设函数 y f (x)在( , a) ( a 为某个实时函数数) 内有

3、定义,如果当自变量 x 无限增大f ( x)的 且x 0时,相应的函数值 f (x) 无限接近于极限某一个固定的常数 A,则称 A 为x （读作“ x趋于负无穷”）时函数 f ( x) 的极限lim f (x) A 或xf (x) A(x)x 设函数 y f (x) 在点 x0 的去心邻域x0limx x0f (x) A 或时函数N(x? , ) 内有定义,如果 当自变量 x 在0f (x) A(x x0 )f (x) N(x?0, ) 内无限接近于 x0 时,相应的函数值的极限 f (x) 无限接近于某一个固定的常数 A ,则称 A 为当x x （读作“ x 趋近于 x0 ”）时0函数 f

4、(x) 的极限设函数 y f (x) 在点x 的左半邻域0limx x0f ( x) A或xx0( x0 ,x0 ) 内有定义,如果当自变量 x在此f (x) A( xx0)时函数半邻域内从 x0 左侧无限接近于 x0 时,相应或f(x00) Af (x) 的函数值 f (x) 无限接近于某个固定的常的极限数 A,则称 A 为当 x 趋近于x 时函数 f (x) 的0左极限xx0(x)的时函数f极限设函数 y f ( x) 的右半邻域 ( )x0 x, 0内有定义,如果当自变量 x 在此半邻域内从x 右侧无限接近于 x0 时,相应的函数值0f (x) 无限接近于某个固定的常数 A ,则称A为当

5、 x趋近于 x0 时函数 f ( x) 的右极限limf(x x0f (x)或f(x0x)A(0)Ax或x0A)对于数列 un ,若当自然数 n无限增大lim u A或nn数列u 的n极限时,通项u 无限接近于某个确定的常数 ,nu 的极限,nu 收敛于 Anx 的极限不存在,则称数列n则称 A为当n趋于无穷时数列或称数列若数列 发散xnun A(nlim u 不存在nn)（2）单侧极限与极限的关系定理2lim f x A 的充分必要条件是 lim f ( x)( )x xlim f (x) Ax f x Alimx ( )x0的充分必要条件是 lim ( )f xx x 0limx x0f

6、(x) A（）极限存在准则单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限夹逼准则若当 x ( ? , ) 时,有 g( x） f (x) h( x) ,且 g x AN x lxim ( )0x 0, h x Alimx ( )x0,则 f x Alim ( )x x 0夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立 .2. 极限的四则运算法则设 lim ( )f xx x0及 lim ( )g xx x0都存在,则(1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) f x g x f x g xx x x x x x0 0 0；(2) xlim ( ) ( ) lim ( ) lim (

7、) ,f x g x f x g xx x x x x0 0 0limx x0Cf( )xClimx x0f()x( C 为任意常数 );(3) f (x) f ( x)lim limx 0 g xx )g(x xx ( )0(lim g(x)x x00)上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立3 两个重要极限(1) lim sin 1,xx0 xsin u( x)一般形式为 1（其中u(x) 代表x 的任意limu( x) 0 u( x)函数）x(2) lim 1 1 e,x x3u ( x)1一般形式为 elim 1u( u( x)x)（其中 u(x) 代表 x 的任意函

8、数） 无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时 , 均以xx0的极限变化过程为例 . 其他极限变化过程 , 有完全类似的结论（）无穷小量在自变量的某个变化过程中,以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量,简称无穷小例如 , 如果 lim ( ) 0f xx x0,则称当xx0时, f (x) 是无穷小量注意 一般说来,无穷小表达的是变量的变化状态,而不是变量的大小,一个变量无论多么小,都不能是无穷小量,数零是惟一可作为无穷小的常数（） 无穷大量 在自变量的某个变化过程中,绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量,简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的

9、一种情形,我们借用极限的记号 lim ( )f xx x 0,表示“当 x x0 时, f (x) 是无穷大量” （）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零无穷小量的倒数是无穷大量（）无穷小量的运算 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 常数与无穷小量的乘积是无穷小量（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义无穷小量的比较表4设在自变量x x 的变化过程中, ( x)与 ( x) 均是无穷小量0无穷小的比较 定 义 记 号(x)(x)是比 (x) 0高阶的无穷小limx x0

10、(x)( x) (x)（x x ）0(x)C C(x x ( )与 ( ) lim 为不等于零的常数是同阶的无穷小x x(x)0(x)a(x x 1)与 ( ) lim 是等阶无穷小)与 ( ) limx ( )x0 a x(x) (x)（x ）x0（） 极限与无穷小量的关系定理lim f xx ( )x0A的充分必要条件是 f (x) A ( x) ,其中 a( x) 是当x x 时0的无穷小量（） 无穷小的替换定理设当x 时, 1 ( x) ( x) , 1( x) ( x) ,x2 20(x)2lim0 (x)x x2存在,则(x) (x)1 2l i mx x (x) ( )0 x1

11、25函数的连续性 函数在一点连续的概念 函数在一点连续的两个等价的定义：定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 若当自变量的 增量 x x x 趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即0lim lim ( 0 ) ( 0)y f x x f xx 0 x 00 ,则称函数 f ( x) 在点x 处连续,或称0x 是 f ( x) 的一个连续点0x ,则称函数 f ( x) 在点 x0 处连续x定义 若lim ( ) ( )f x f x00x ,则称函数 f (x) 在点 x0 处左x 左右连续的概念 若 lim ( ) ( )f x f x0 0连续；若x ,则称函数 f (

12、x) 在点 x0 处右连续xlim 0f (x) f (x ) 0 函数在一点连续的充分必要条件函数 f (x) 在点x 处连续的充分必要条件是 f (x) 在点0x 处既左连续05又右连续由此可知,函数 f ( x) 在点 x 处连续,必须同时满足以下三个条件：0 函数 f (x) 在点x 的某邻域内有定义,0 lim ( )f xx x 0存在, 这个极限等于函数值 f (x ) 0 函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数, 称为在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续

13、 间断点若函数 f ( x) 在点x 处不连续,则称点0x 为函数 f (x) 的间断点0 间断点的分类设x 为 f ( x) 的一个间断点,如果当0x 时, f (x) 的左极限、右极x0限都存在,则称类间断点x 为 f ( x) 的第一类间断点；否则,称0x 为 f (x) 的第二0对于第一类间断点有以下两种情形： 当lim ( )f xx x0与lim ( )f xx x0都存在,但不相等时,称x 为 f (x) 的跳跃间0断点； 当lim ( )f xx x0存在,但极限不等于 f ( )时,称x0x 为 f ( x) 的可去间断0点 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续

14、的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值 根 的存在 定理 设 f ( x) 为闭 区间 a,b 上的连 续函数,且 f (a)与f (b) 异号,则至少存在一点 (a,b) ,使得 f ( ) 0 介值定理 设 f (x) 是闭区间 a,b 上连续函数,且 f (a) f (b) ,则对介于 f (a)与f (b) 之间的任意一个数 ,则至少存在一点 ( a,b) ,使6得 f ( ) 二、主要解题方法1求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：（1）xlim2x2 x

15、24,（2）f x1x sin 1 xx2a,xx00,当a为何值时, f (x) 在x 0的极限存在.解 (1)x 2 2 xlim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,x 2 x 2lim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,因为左极限不等于右极限,所以极限不存在（2）由于函数在分段点 x 0处,两边的表达式不同,因此一般要考虑在分段点 x 0处的左极限与右极限于是,有1 1lim f (x) lim (x sin a) lim (x sin ) lim a a,x xx 0 x 0 x 0 x 0limx 0f()x 2 lim (1 )x 0x1

16、,为使 lim ( )f xx 0存在,必须有 lim f (x)x 0= lim ( ) f xx 0,因此 ,当a=1 时, lim ( )f xx 0存在且 lim f (x)x 0=1小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限,要用左右极限来求,只有左右极限存在且相等时极限才存在,否则,极限不存在7（3）利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(1)22xlimx1 x312x 9, (2) lim2x x 5x 6, (3)2 1lim( )2x 1 x 1 x1,(4)limx5xx12解 (1)22xlimx1 x13=2lim (2x 3)x =1lim (x

17、1)x 112(2) 当x 3 时,分子、分母极限均为零,呈现00型,不能直接用商的极限法则,可先分解因式,约去使分子分母为零的公因子,再用商的运算法则2x 9 (x 3)( x 3) x 3原式= 6lim lim lim2x 5x 6 x 3 x x 2) 23 x ( 3)( xx 3(3) 当x 1时,2 1,21 x 1 x的极限均不存在,式2 121 x 1 x呈现型,不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则,可先进行通分化简,再用商的运算法则即2 1 2 (1 x)原式=lim( ) lim2 2x 1 x 11 x 1 x 1 x(1 x) 1 1lim limx 1 (1

18、 x )(1 x) x 1 1 x 2(4) 当x 时,分子分母均无极限,呈现 形式需分子分母同时除以 x ,将无穷大的 x 约去,再用法则求8 15x原式= 5limx 21x小结 （I ）应用极限运算法则求极限时,必须注意每项极限都存在（对于除法,分母极限不为零）才能适用（II ）求函数极限时,经常出现0 等情况,都不能直接0, ,运用极限运算法则, 必须对原式进行恒等变换、 化简,然后再求极限。常使用的有以下几种方法（i ）对于 型,往往需要先通分,化简,再求极限,（ii ）对于无理分式,分子、分母有理化,消去公因式,再求极限,（iii ）对分子、分母进行因式分解,再求极限,（iv ）对

19、于当 x 时的 型,可将分子分母同时除以分母的最高次幂,然后再求极限（3）利用无穷小的性质求极限例 3 求下列函数的极限（1）2xlimx1 x11, （2）limxx sin x13x解（1） 因为lim ( 1) 0xx 12而lim ( 1) 0xx 1,求该式的极限需用无穷x 1小与无穷大关系定理解决 因为 0lim2x 1 x1x,所以当 x 1时,2x11是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即2xlimx 1 x11（2）不能直接运用极限运算法则,因为当 x 时分子,极限91xx不存在,但sin x 是有界函数, 即 sin x 1而 0lim limx 3 x11 x13x,因此

20、当 x 时,x31 x为无穷小量 . 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理,即得x sin xlim 0x 31 x.小结 利用无穷小与无穷大的关系,可求一类函数的极限（分母极限为零,而分子极限存在的函数极限） ；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限 （有界量与无穷小之积的函数极限）（4）利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1）limx 0cos xcos 3x2x, （2）1x2 lim (1 )x x解（1）分子先用和差化积公式变形,然后再用重要极限公式求极限原式=limx 02 sinxxsin22xsin x sin 2x= ) 1 4 4li

21、m lim (4x0 xx x 2（2）解一 原式=1 1 1 1x x xlim (1 ) (1 ) lim (1 ) lim (1x x x x xx 0 x)x1=ee 1 1,1 (2解二 原式=( x )lim 1( 2 ) x x1 x)=e0 1sin x小结 （I ）利用 1limx0 x求极限时,函数的特点是0 型,满足0sin u( x)limu( x ) 0 u x)(的形式,其中 u x 为同一变量；10（II ）用1xlim 求极限时,函数的特点 1 型幂指函数,其形式(1 )x x1为 1 x ( x) 型,( )x 为无穷小量,而指数为无穷大,两者恰好互为倒数；（

22、III ）用两个重要极限公式求极限时,往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换,使之成为重要极限的标准形式。(5) 利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当x 0 时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln( 1 x) ex 1,11 x x , 2x sin 2x tan 2x cos 22例 5 求下列函数的极限（1）1 coslim2x x0 3x, （2）limx 0tan x sin x3x解 （1）1 coslim2x0 3xx122x=lim 2x0 3x16（12x 0,1 cos x x ）2（2）tan x sin xlim =x

23、0 sin3xsin x(1 coslim3x x cos x0x)limx 0sin x (1 cos x) 12x x cosx=limx 02sin2x2x2=1 （22x x2x 0, sin ） 2 2小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母, 也可代换分子或分母中的因式,但当分子或分母为多项式时,一般不能代换其中一项。否则会出错11tan x sin x x x如上题 lim 0lim3 3x x 00 sin x x, 即得一错误结果（6）利用函数的连续性求极限例6 求下列函数的极限（1）2x sin xlimx 2 x 2e 1 x, （2） lim arcsin( 2 x x)xx解 (1) 因为2xxesin1 xx2是初等函数,在 x 2 处有定义,所以 2 x s