无穷递缩等比数列各项和

1、 几个基本数列的极限几个基本数列的极限 0 1 lim n n 0lim,1 n n qq时 ccc n lim,为常数 引例:把无限循环小数 0.333化为一个分数. 定义定义:我们把我们把|q|1的无穷等比数列前的无穷等比数列前 n的和的和Sn,当当n时的极限叫做无穷时的极限叫做无穷 等比数列各项和等比数列各项和. 11 limlim(1) 11 n n nn aa SSq qq ) 1( , 1 1 q q a S 注意：注意： （1 1）当）当|q|1|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等无穷等比数列称为无穷递缩等 比数列，它的前比数列，它的前n n项和的极限才存在；项和的极限才存在； 当

2、当|q|1|q|1无穷等比数列它的前无穷等比数列它的前n n项和的项和的 极限是不存在的。极限是不存在的。 （2 2）S S是表示无穷等比数列的所有项的和，是表示无穷等比数列的所有项的和， 这种无限个项的和与有限个项的和这种无限个项的和与有限个项的和 从意义上来说是把不一样的，从意义上来说是把不一样的，S S是前是前n n项项 和和S Sn n当当nn的极限，即的极限，即S= S= lim n n S n n n S n qqaa lim 3 2 1 1 1 各项的和所有项的和 项的和前求该数列的 的等比数列，公比为是首项为 2 1 , 2 1 1 qa解： n n n s 2 1 1 2 1

3、 1 2 1 1 2 1 1 limlim1 2 n n nn Ss 1 . 2 1 8 1 4 1 2 1 . 1的所有项的和，求数列例 n .1212. 2的各项的和，求无穷等比数列例 12, 12 21 aa解： 12 12 q 223 2231 12 S 2 223 使用公式使用公式 要注意三个问题要注意三个问题: : （1 1）所给数列是等比数列；）所给数列是等比数列； （2 2）公比的绝对值小于）公比的绝对值小于1;1; (3) (3)前前n n项和与所有项和的关系项和与所有项和的关系: : 1 1 a S q 1 lim 1 n n a SS q 700. 070 . 07 .

4、04 007. 007. 07 . 03 342 . 12 83 . 01 . 3把下列各数化为分数例 00000038. 0000038. 00038. 038. 083 . 0解： 01. 01 38. 0 99 38 000000243. 0000243. 0243. 01342 . 1 999 243 1 37 46 007. 007. 07 . 0 9 7 700. 070 . 07 . 0 900 7 90 7 9 7 10 1 1 9 7 81 70 例例4 4. .设无穷等比数列所有奇数项设无穷等比数列所有奇数项 之和为之和为1515，所有偶数项之和为，所有偶数项之和为- -

5、3,3,求首项求首项a a1 1. . 例例5.5.已知无穷等比数列的首项已知无穷等比数列的首项 a a1 1等于后面的各项之和等于后面的各项之和k k倍倍, ,求求 k k的取值范围的取值范围. . ., 01. 6 lim 1 n n n n nn TNn S S TS nqq 求，设为 项的和的等比数列的前，公比为设首项为例 11q解： 1 1 limlim n n T n n n 12q q q S q q S n n n n 1 1 , 1 1 1 1 n n n n n q q T 1 1 1 limlim 1 101 qq q 1 101 lim qq q Tn n 练习练习 1

6、、等比数列的首项a1=-1,前项和为Sn,若 = ,则 等于 。 2、等比数列 中,它的各项和S=1/4,求 首项a1的取值范围。 10 5 S S 31 32 lim n n S n a 与平面几何（或其他知识）有关与平面几何（或其他知识）有关 的几何量的求和问题：的几何量的求和问题： 问题可化归为无穷等比数列各项的和，问题可化归为无穷等比数列各项的和， 其一般方法是：其一般方法是： （1）构造这一系列的几何量组成的数列）构造这一系列的几何量组成的数列a1， a2，a3，an，; （2）先求出）先求出a1,并求出并求出an+1与与an之间的递推之间的递推 关系，进而证明数列关系，进而证明数列an是等比数列，且是等比数列，且 （3）利用）利用 求解。求解。 10 q q S a 1 1 例例7、（课本（课本P46例例2） 例例8、（课本（课本P48例例4 ） 课堂练习：课堂练习：1、 P47 1、2、3 2、P481、2、3 例7.在直角坐标系中，一个粒子从原点 出发，沿x轴向右前进1个单位到点P1， 接着向上前进1/2单位到点P2，再向左 前进个1/4单位到点P3，又向下前进 1/8单位到点P4 ，以后的前进方向按 向右，向上，向左，向下的顺序，每 次前进的距离为前一次前进的距离的 一半。这样无限地继续