高等数学 洛必达法则

1、2021/6/161 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三三章 2021/6/162 )( )( lim xg xf 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 0 0 ( 或 型) )( )( lim xg xf 本节研究本节研究: 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/163 一、一、 0)(lim)(lim) 1 xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或为 ) )( )( lim )( )( l

2、im xF xf xF xf axax ,)()()()2内可导在与axFxf 0)( x F且 定理定理 1. 型未定式型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/164 ( 在 x , a 之间) 证证: 无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取 ,ax 则)(, )(xFxf在以 x, a 为端点的区间上满足柯 0)(lim)(lim) 1 xFxf axax 故 )()( )()( )( )( aFxF afxf xF xf )( )( F f )( )( lim xF xf ax )( )( lim F f ax )( )( lim x

3、F xf ax )3 定理条件定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或为 ) ,)()()()2内可导在与axFxf 0)( x F且 2021/6/165 推论推论1. 定理 1 中ax 换为 , ax, ax,xx 之一, 推论推论 2. 若 )( )( lim xF xf 满足定且型仍属)(, )(, 0 0 xFxf 理1条件, 则 )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf )( )( lim xF xf 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. ,x )( )( lim )( )

4、( lim xF xf xF xf axax 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/166 例例1. 求. 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 解解: 原式 lim 1 x 型 0 0 26 6 lim 1 x x x2 3 注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 26 6 lim 1x x x 1 6 6 lim 1 x 33 2 x 123 2 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/167 例例2. 求. arctan lim 1 2 x x x 解解: 原式 lim x 型 0 0 2 2 1 lim x x x 1 2 1

5、1 x 2 1 x 1 1 lim 2 1 x x 思考思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim ( n 为正整数) ? 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/168 二、二、 型未定式型未定式 )(lim)(lim) 1xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或为) )( )( lim xF xf ax 定理定理 2. 证证: )( )( lim xF xf ax 仅就极限存在的情形加以证明 . )( )( lim xF xf ax (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()()()2内可导在与axFxf 0)(

6、 x F且 2021/6/169 1)0 )( )( lim xF xf ax 的情形 )( )( lim xF xf ax lim ax )( 1 xF )( 1 xf lim ax )( )( 1 2 xF xF )( )( 1 2 xf xf )( )( )( )( lim 2 xf xF xF xf ax)( )( lim )( )( lim 2 xf xF xF xf axax )( )( lim )( )( lim1 xf xF xF xf axax )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 从而 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20

7、21/6/1610 2) 0 )( )( lim xF xf ax 的情形. 取常数,0k ,0 k k xF xf ax)( )( lim )( )()( lim xF xFkxf ax )( )()( lim xF xFkxf ax )( )()( lim xF xFkxf ax k xF xf ax)( )( lim )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 可用 1) 中结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1611 3) )( )( lim xF xf ax 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) 说明说明: 定理中ax 换为 之一,

8、条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. , ax, ax,x x,x 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1612 例例3. 求. )0( ln lim n x x n x 解解: 型 原式 1 1 lim n x x xn n x xn 1 lim 0 例例4. 求求 解解: (1) n 为正整数的情形. 原式 0 x n x e xn 1 lim x n x e xnn 2 2 ) 1( lim xn x e n ! lim . )0, 0(lim n e x x n x 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1613 例例4. 求. )0, 0(li

9、m n e x x n x (2) n 不为正整数的情形. n x 从而 x n e x x k e x x k e x 1 由(1)0limlim 1 x k x x k x e x e x 0lim x n x e x 用夹逼准则 k x 1 k x 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1614 . )0(0 ln lim n x x n x 例3. 例4. )0, 0(0lim n e x x n x 说明说明: 1) 例3 , 例4 表明x时, ,lnx 后者比前者趋于更快 . 例如, x x x 2 1 lim 2 1 lim x

10、 x x x x x 2 1 lim 而 x x x 2 1 lim 1 1 lim 2 x x 1 )0( x e, )0( nx n 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1615 3) 若,)( )( )( lim时不存在 xF xf . )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf 例如例如, x xx x sin lim 1 cos1 lim x x 极限不存在 ) sin 1 (lim x x x 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1616 三、其他未定

11、式三、其他未定式:,0 , ,00,1 型 0 解决方法解决方法: 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 例例5. 求).0(lnlim 0 nxx n x 型0 解解: 原式 n xx x ln lim 0 1 1 0 lim n x xxn 0)(lim 0 n x n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1617 型. )tan(seclim 2 xx x 解解: 原式) cos sin cos 1 (lim 2 x x xx x x xcos sin1 lim 2 x x xsin cos lim 2 0 例例6. 求 机动

12、目录 上页 下页 返回 结束 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 2021/6/1618 例例7. 求.lim 0 x x x 型 0 0 解解: x x x 0 lim xx x e ln 0 lim 0 e1 例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 2021/6/1619 例例8. 求 . sin tan lim 2 0 xx xx x 解解: 注意到 xsin 原式 3 0 tan lim x xx x 2 2 0 3 1sec lim x x x 2 2 0 3 ta

13、n lim x x x xx 22 tan1sec 3 1 x 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1620 n n n n e ln 1 1 例例9. 求. ) 1(lim n n nn 分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim 1 2 1 x xx x 法法1 用洛必达法则 型0 但对本题用此法计算很繁 ! 2 1 lim n n 法法2 ) 1(lim 1 2 1 n nn n 1 ln 1 n n e 2 1 lim n n n n ln 1 2 1 ln lim n n n 0 u1 u e 原式 例3 目录 上页 下页 返回 结束 202

14、1/6/1621 内容小结内容小结 洛必达法则洛必达法则 型 00 ,1 ,0 型型0 型 0 0 型 g f gf 1 fg fg gf 11 11 g fy 令 取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1622 思考与练习思考与练习 1. 设 )( )( lim xg xf 是未定式极限 , 如果 )( )( xg xf 不存在 , 是否 )( )( xg xf 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 )1ln()cos1 ( cossin3 lim. 2 1 2 0 xx xx x x 说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式 x xx x x 1 2 0 cossin

15、3 lim 2 1 )1ln(xx )03( 2 1 2 3 分析分析: 2021/6/1623 分析分析: 2 0 3 cos1 lim x x x 3 0 lim x x 3. xx x x 1 sin 1 cotlim 0 原式 xsinx 1coslim 0 x xxxsin 2 2 2 1 03 lim x x x xcos1 2 2 1 x 6 1 6 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx xxx x 2 0 sin )sin(cos lim 2021/6/1624 , 1 x t 则 2 0 11221 lim t tt t 4. 求 xxxx x 122lim 2 3

16、解解: 令 原式 tt2 lim 0 2 1 )21 ( t 2 1 )1 ( t 2 )1 ()21 ( lim 2 3 2 3 2 1 0 tt t4 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1625 作业作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1626 洛必达洛必达(1661 1704) 法国数学家, 他著有无穷小分析 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的

17、1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1627 求下列极限 : ;) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x 解解: t t t t 1 )1ln( 1 lim 2 0 2 0 )1ln( lim t tt t . cossec )1ln()1ln( lim)3 22 0 xx xxxx x ; 1 lim)2 2 1 100 0 x x e x ) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x )1 (2 lim 0tt t t 备用题备用题 t t t2 1 lim 1 1 0 2 1 ) 1 ( x t 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1628 令 , 1 2 x t 则 t t et 50 lim 原式 = t x e t 50 lim 0 t t e t 49 50 lim 2 1 100 0 1 lim)2 x x e x 解解: t t e !50 lim (用洛必达法则) (继续用