线性系统理论课后-答案

1、给定图P2.1(町和(b)所示两个电路，试列写岀其状态方程和输出方程。其中, 分別指定：状态变II组廿二陀输入变量“ =输出变畳尸=f(b)状态变量组齐= uc2 输入变量输出变量y =(a)O)图P21解 本题属于由物理系统尊立状态令间描述的基本题.意在训练正确和熟练运用电 路定律列写出电路的状态方程和输出方程。W列写P2.1(a)电路的状态方程和输川方程。首先.考虑到电容C和电感I为给定 电路中仅有的两个储能元件，电容端电压弋和流经电感电流/构成此电路的线性无关极 人变裁组.从而选取状态变量组召=陀和勺符合定义耍求o基此，利用电路元件关系式利回路基尔霍夫定律.定出电路方程为 cS d/再由

2、上述电路方程导出状态变量陀和i的导数项.可得到状态变屋方程规范形式,dx1& 1丁二 一Vuc 匸t + e d/L c L L表ucx 等点 Z m 5*基此，可鄴上述传递函数表竝看成是“由右向左三个环节的串联Y且 由禦二単刊导出乂“內+g-zj”“(s)($詁)由(2($)=;r7险何必】导出二斷+屮册(O，由i3(5)=1L(.t)导出片二勺与+斥U,由辘)話导出y=x,从而，可定出此输入输出描述的一个状态空间描述： % B妬-订3 0 0 X2二i % o L+bU =1 3 0%+3A_.0 1山0 . J0 1 1Y0生坪0 0 1“2题2.12计算下列状态空间描述的传递函数g($

3、)：解 本题属于由状态空间描述计算传递函数的基本题。鉴于所讨论系统为二维，直接运用基木关系式g(s)=c(si-Ayb就可简单定出其传 递函数g(s)。对此，先行计算： + 51 1 ,det(s7 - X) = det=0 + 5)($ + l)+3=F+6s + 8一 3$ 十1 + 515 + 1-13$+1 3r + 5dj(”-4)=adj2-1 s + 5 5基此，即可定出给定系统的传递函数g($)为” + 6$ + 812卄 59F + 6s + 8831采用除定煉法外的三种方法,计臬下列各他删的矩麟姻财;(ii) /!= 0 0 14 -11 -60)龊芯J 能阵般函数产23”

4、飙种基本算法。 十 2e_,_ c_一 _2/+2戶-/+2严 -预解矩悴法.先行定出，矩阵A的预解矩阵为$+31s -1?+3j + 2d +3s + 22 $+3 -2J/ 3s + 2? + 34 2.(5/ _ Ay1 =$+31 21 1 1(s + l)($ + 2) -2(1)( + 2)S=s +12s+2s+15+22 1 2(3 + 1)0 十 2)(5 + 1)0 + 2) .$ +11s + 2s + 1 + 2.2-严-2e + 2e2t-e，+ 2e 亠 0 1(ii)确定4=00-6 -11的矩阵指数函数e再利用拉普拉斯反变换尸士=匕5,即可定出矩阵描数函数/为待

5、任值法。对给定矩阵先行定出 1 1 13 % %-1 -2 -3和 p_1 =-3 -4 -1149T*定岀一个变换葬及其逆为特征多项式 det(ft-= ，+ 6/ +lLs + 6 = G + 3X$ + 2)($ + l)由 001001i_VI2=-l%1 j一导出vl =VuV12=1-1-6-11-6如V：3.1_ 01o- V21 V2LI)2 1Fh001V22=2V222v22导出V2 =V22-2-6-11-6炕厂2如.上3.4 LrL 010V31V31一3町V311由001一3%=-337导出h =妆=-3-6-11-6.V33_V33.V33.9vu特征值 = 1 A

6、2 = 2 f 彳 3=-3再定出&的属于特征值冷=-1, 12 = -2和兄3=7的特征向量片，卩2和心$基此，取任意非零实数Vu =V2J = V3l =1,从而，定出矩阵指数函数/为0 严0% %-4 -1% %有限项展开法。前已定出,先行定出%(”) 內(f)2(0二113 =-3 基此，3 % 亠一一-3 i rc y % e -i讣4+护斗丄卢:2 由此，即可定出矩阵指数函数/为/ = aQl + oti（t）A+哝 W3-3严心=-3+ 6eJ-3eJ3/12严 +9严-4e亠+丄严2222-16严十互代22预解範阵法。先行定岀，给定矩阵/的预解矩阵为(si-Ay1 = o $

7、-i6 11 $ + 6552 +65 + 115 + 6Is3 必疋 +1 + 6+ 6j2 + lls + 6人6$2#11 + 66s1 + 6sss3 +62 + ik + X + 6F +1 Is + 653 + 6 j2 +115 + 6-6s-lly-6XjJ+ lk#63+60计算算式为Xo.(/) = C(0)o首先，采用“预解矩阵法”定出给定/的矩阵指数函 数/。对此，先行导出矩阵4的预解矩阵(si-A尸，有s + 21s -1 1s2 +25 + 3 s2 2s 33 s + 2-3sd +2s + 3 s2 +2s + 3(卄1) 古 &(J + 1)2 +(V2)2

8、+T(5 + l)2T(/2)2(卄1)3V2 4i2 (卄1卄(向2再利用拉普拉斯反变换rlf (sa)bT+戸=e * cQpt即可得到宀口園_/尸coaVh + gn 运 22cos 72/*sin2进而，定出系统状态的寒输入响应(。对此，基于第式X,)二/工(0)，即可得到礼(0之(0)血血 CCSyfit 2卢(cos扬+迈！iin低)(ii)确定w 二 0 1 + 2u,辆厂 _ 0-2 -3 0 9迥1 e_/(cos 2/ - 22 gin 历)呛認的状态响应切)廿算算式为M)=e细0)+*如価伽矩阵辰的炬阵指艙数/巳在题32(i)的題解中定出，即-2八十2戶-尸十2尹基此，先

9、行分别定出2e評e_ II 0亦(1 - e-2(r-D-2jr)+ 2r(TJ严嘶)d“j；crdr4化5%1)-4te4eV-l)2+4沪+2尹)Q-4宀铲于是，利用上述结果，就可定出系统的状杰响应为 刑双0) +匸/加(啊 e2/卜2卢+4沪+ 2尸广(/I)/尹d + llf 4e_/-4;e J-4e 3t(4f-4e,題N5给定一个连续时间线性时不变系统，已如狀态转移矩阵0(0为沖旳K+J)d + 己-(e+c31)试据此定出系统矩阵4。H本锁属于“矩阵/T和“矩阵揩数苗数/ ”闻关系的反问题.未有直接关系 式可以利用，意任训练运用已学知识(如矩阵指数函数性质)灵活地解决这类问题。

10、先建立问题一般算式。对连续时间线性时不变系统.状态转林矩阵喪 白/性质= 和（/）“，可以爭岀由“严”确定“矩阵4”的一个算 式为再就给定莎閱/磁定矩阵八 对此，由给定/可以导出de/di=d0)/d/H 2L4一 e+Y-丄 e_, 4 -en2244/+3e-丄+丄去2 2（y3）从而，定出系统矩阵/为0（）鯛（仏）试证明；若则必有除）c解本题为证明题，意在训练演绎思細逻鱗贱九由柿f）三趴可导出系统狀捕移矩阵方程及其初始条件为井f卜久（仏）如仏4）3讹（必）如）.4i(0 4j(01 他1() %仏6).血(汕血(必)佥(M).9（如4）出 2（66）鸟（心4）血仏仏）基此对妁（“）可以賊

11、妬触）=（恥起4），妁（4,3*从血，由心（M并考虑到方酬的楼亠性，可知“同牖足上述方赵勲始条件的 解阵”只可能为“）訂证號成。題4.2确定使下列各连续时间线性时不变系统完全能控的待定参数a, b. c取值范围:-20 0a1(i) x =0-20x +2400一2b1解 本题属于由矩阵对4,3判斷系统能控性的基本fih-200a !(i)确定=0-20X4-2 4中a,方取值范围002b 1 本題可采用多种方法求解。下面给出其中两种方法。约当规范形判据法、町以看出，矩阵4为约当須范形，根应于憔一特征值彳二-2共 有三个约当小块。对此情形，系统完全能控充要条件是矩阵3中对应于“三个约当小块 的

12、末行”的行为线性无关.即中三个行斗盘和閒为线性无关基此，由给定矩阵叭 不管待定参数I 0取为什么值必有、a rank 2 4 3nb 1 . 即在参数Q, 0仟意取值下系统均为不完全能控.秩判据法。运用推论4.1的计算简化结论，就两种借形分别讨论，当“a汕2,兀1/2”对，mnkfl = 2,系统完金能控当冃仅当rank梓/方卜3。 对此情形，判别阵中“第列和第3列为线性相关”和“第2列和第4列为线性相关”, 而ranks = 2,必有rrank 5 4B二 rank 21 -2a -24 * 8 -23 = n1 -2b -2参数7, b在此取值下系统均为不完全能控。当“一 b/2”时，ra

13、nk = l,系统完全能控当且仅当rank0处才4卜3。对此情形,由于1/2 -1 2rank At A =rank 27 8 =l2IT)cA2 10b 126 + 1 23b 1ad21X40U ,0一31 厂00 lx中a的取值范围一 1(i)确定“丘=00矩阵/无特定形式.采用秩判据较简便、基于能控性判据和能观测性判据.由系统均不是联合完全能控和完全能观测.可知.不管4取为什么值,01 010X +1一 3-5aiM0(ii)确定“丘=0-2u =0ftx r中的取值范围可以定出，a, b的取值范围为a * 0.5394 或 2.0856 ,b#8/3 或 0 441给定完全能控和完全

14、能观S?的单输入单输出线性时不变系统为-1 2 -22 x =0 -1 1x +01 0 1 1尸1 10卜试定出舟(i)能控规范形和变换阵；(ii)能观测规范形和变换阵。解本题属于将线性肘不变系统矩阵组仏恥变换为“能控规范形”和“能观测 规范形的基本题.2-1+$ + 35-1先行定出给定系统儿K c的特征多项式J + 12det(“-4) = det 0411 0和一组常数坊1 1 0 0 =2A cAba2cb= 1-1 -20 0 -11 0+ (lx2)-3+2 = -l-4為ygwMWcT-l -3 -1 1 +lx(-3) + (lx2) = -33(i)确定能控规范形及其变换阵

15、。基于单输入单输出系统能控规牯形构成形式，可 直接给出信定系统AM的能控规范形为01o - 001o 0001X +0u U001?+0%1; -3-1-1fr1y-A A 倂卜3 -1 2520珂心血b再据变换矩阵组成算式，可定出变换總阵P及其逆为 0 0-6-2 2r “r 110di严土 3T-12341_|18 1800作为校核，还可对规范形矩阵组(入瓦“作验证:110-21-2-2H5-2%=JL-3-1260-113 ;a18918L 13-.4、1104-6-8-401 ol/-3-126030o r9IX0-323-3 1 -1201181 10 -22o3 126009180

16、1A 4占-2 2cc = cP = l 1 0 31 0 =-3 -I 2| 34 1J）确定能观测规范形及其变换阵。对此，基于单輸入单输出系统能观测规范形构 成形式，可直接给出给定系统A,byc的能观测放范形为o o -o A() 0 d -310叫X4Pu =1 0 -1i +-11 F臥0 1 -1 2 U F再据变换矩阵的组成算式，町定出变换矩阵。及其逆为y = 00 li作为校核,03-30 -2 -11 1 0-333-900还可对规范形矩阵组,厲）作验证:03- 3r.-1-2-21-390-2T0-11-13011oL1012300-314 = Q=11-12一333一900

17、启卜-10 1 a,cA2 I 1 I 0 5 -2,03 -3c=01 a2cA=0 1 1-1 -3 -1=0 -2 -10 0 1 c 0 0 1 1 1 0 1 I 0 01010G) * =00101-2-3-11J題41判断下列各连续时间线性时不变系统是否完全能控,r7(iii) X-(iv)丘=00广2000400020 21 -25 -20 03 0 014000040004024013004uIf解本刖于由系统矩阵对仙判断能控性的基本羸通禺需随系统矩阵砸 形式，选择计算上壤为简使的判執 0 10 1 0(i)判Kx =0 01X40 1-2 Y-3-1 1 “的能控性針/梯定

18、形式，采用糊据躺他对此计算判别阵的秩,并淞到“3,有其中，式中前3列己为线性无关，所以无须再计算后3个，列。基比，可知系统完全 能控，04 丁 -1(ii)畀断 i二0 20 21X +30 -25 -2040 的能控性鉴于/(无特定形式，采用秩判据较简便。对此，计算判别阵的秩，并注童到“3,有-130121560 -375-750基此，可知系统完全能控。2 0 0 0 2 00 3 0 04 1X +0 0 4 10 00 0 0 4 1 0 (iii)判断 f 二的能控性鉴于/为约当规范形，以采用“约当规范形判据”较简便。可以看出，水约当规范 形中，相应于特征值入=2必=3和石=4各都只有

19、一个约当小块。对此情形，系统完全 能捧充要条件是矩阵U中对应于“三个约当小块的末行”的行，即行耳和旺，均为 非零行。基此由给定矩阵B,有0 卜 0,*； = 4 1卜0, =0#0町知系统完全能控。1400的能控性00404(iv)判新左=000鉴于/为約当规范形，以采用约当规范形判据较简便，可以看出、, /0,匕工0入工0即7(0 = #+*为正定.(ii)计算珂X)并罚断其定号性。刈取定丫(力士彳4斤和系统状念方程，计算得到基此，可知珂 0) = 0,=0,0占=0,XjH0, VX| *0,*20| P&症0.七強00.即P(x) = -2#为负半定。(iii) 刿断卩(机化岭0)“0。

20、对此只需判断使) = 0的 T：卜吐不为系统状态方程的解。为此.将x=0切代入状态方程，导出这表明，状态方程的解只Xfx = O Of, X = (O XjT不遅系统状态方程的解。通过类似 分析，也可证得0F不是状态方程的解。基此，可知0(曲;斗,0)审叭*)疋定！ /(*)员半定：对任意斗严0,卩(曲；斗,0)“当 IWI = Jd + E T8,有卩(X)=#+g78基此，并据李雅普诺夫方法渐近稳定性定理知，系统原点平衡状态xe=0为大范围渐近 稳定。题5.4对下列连续时间菲线性时不变系统，判断原点平衡状态即 = 0是否为大范 围渐近稳定： 0, Va, O.x3 # 0即r(x)=x；4

21、-2为正定。(ii) 计算卩(0并判断其定号性。对取定$(*) = #+2三和系统状态方程，计算得到(x) =护()50(A)%站 dz dx2 dl基此.可知Dg X2=0 0 g *0, H 工即*)=“为负半定。(iii)判断玖#0；屯,0)爭0。对此，只需判断使P(x)-0的x=x, 0不为系统状态 方程的解。为此，将x=x or代入状态方程导出埠=2=0这表労，状态方程的解只为=0 0T,0T不是系统状杰方程的解c基此.可知%(g0)註 0oo苯此，并据李雅普谨夫方法渐近稳定性定理知，系统原点平衡状态xc=0为大菇围渐近 稳定。題5.5对下列连续时间线性时变系统，判断原点平衡状态即x

22、c =0是否为大范围渐 近稳定：r o 1(提示；取叫和)=*曲+十1)球。解年题属于分析线性时变系统渐近穩定性的基本題， 基于李雅普诺夫第二方法的渐近稳定性定理进行分析。Ci)选取候选孚雅普诺夫明数。对给定线性时变系统，表X=x.花，并取 心喝X+0 + 1)別 可知.r) = 0 F(x,r)为正定。(ii)计算卩(才)并判断其定号性。对取定1)劝“和系统状态方程,计算得到= O + Oi _!_ _10 +$ = 78+9.5 用.7+1 3可知.K(0,f) = 0, K(x,0为负半定。(iii判断卩(昨；和0),仃0。对此，除原点处f(o,o=o,容易判斷使r(o,o = o的 E

23、 oF不是系统状态方程的解。从而，卩(犯；和0京)暄0(结论综上，对给定线性时变系统，可构造玖切)二冷+(“1)功/2,満足 P(jr,i)正定：7(x,t)负半定：对任意旺*0和任意r0,卩(*(f;xo,0),0整0 当2 tb 肴心皆拊M + DxJ188 基此，并据李雅普诺夫方法渐近稳定性定理知.系统原底平衡状态兀为大范围浙近 為定八題6必给定单输入连续时间线性时不变受控系统,r 2x +31K,JSt0试确定一个状态反馈阵便闭环特征值配置为右二-2 + j和人 “2-八解冷题属于运用状态反馈配置特征值的算法缥合状态反馈阵的基本题本题受控系统同于题5.】(i前已判斷其为完全能控可用状态

24、反慷配置全部闭环 峙征似Ci)定出受控系统特征多项式口和期率闭环特征多项式对此，有a(j) = det(57-?1) = det= ja - 2j - 5s 1a*(5)=(5 + 2 - j)(j + 2 + J)=疋 + 4$ 十 5(ii)定出化能控规范形的变换阵P及其P-对此有2(lii)宦出状态反席阵1 对比 即可导出1/31/3k 匸a； -cr0 a： - o)尸t = 5 + 54+2；1/31/3f i 01/3 r-I10 61L十【6 30 1 0X= 001-6 -1 4解 本题損F按町行的简便方法计算矩阵/的高次壽问题，意在训练运用已学知识 (如两两相异蒔征值的约当规

25、范形及其变换)灵括地無决这类计算问题，直接计算才即将面腦复杂的运算，这在本质上是不可行的，一种可行的简便方法是 采用基于两两相并特征值的均当规范形方法中对此，先行定出矩阵/的特征多项式和特 征值*dey =+ 6 (直接运用推论 2.8) =(j + 1X?-5x + 6)Zj 1j = 2 A3 3进而定出才的腐于上述各特粧值的特征向量”有 00I0o10 %u(-l)x%,导出马*;=r-i-6L-14如ih00-610-1010r hlT由001*2=3xV32，导出妙3 =号2=3-14.V33j如9 基此 取变换阵叩，其中取vn = v21=v3l=n并计算定出得到%于是由1 1 r

26、1/2-5/12 1/12-12 3*12/3-1/314 9-1/2-1/41/4 a 00A=P0 a20pF0 011100 1/2-5/121/12=-12302】）012/3-1/314900100-1/2-1/41/4(l/2) + 2,0-(l/2)x3100-1/2) + 2x2I0O-(2/3)x3100(1/2) + 4x2,00-(9/2)x3,0一 (5 / + (2/3)x2,00-(l/4)x3100-(3/4)x3100 -(5/12) +(8/3) x2100-(9/4)x3,w(1/12) - (1 /3) x 2100 + (1/ 4) x 3100-(l/

27、12)-(2/3)x2100 +(3/4)x3100(1/12)-(4/3)x2,00+(9/4)x3100即口J足出题2.14计算下列状态空间描述的传递函数矩阵GO”；0 1 0 I 00 0 ； 1x +0 1-3 -1 -21 1 丿=1 1 lx 1I解本题属于由状态空间描述导由传递函数矩阵的基本题。鉴于所讨论系统为三维运用基本关系式G(s)C(sI-AYlB定出其传遥函数 G(s).对此，先行计算det(MT)7 + 2/+$ + 3 (运用推论 2.8)s-10s2 + 25 + 15+21adj(M - A) - adj0s -1-3s2 + 2s s31$ + 2-3$-5-3

28、 s2 基此，就可定岀传递函数矩阵OC0为G(s) = C(sl- AYB 二 Cadj(/-,)3 det(M A)1 1 1j2 + 2s +15 + 21-3i2 + 2s s-3st - 3 s1 10011153 + 2j2 + j + 32s2-12s2+3ss十 2F + $ + 3+ 2s2 + 5 + 3a j.4 宙疋一t珪浜呵冋线饪呵个戈糸玩，tlW 叫e4 T3皿席 定出系统相对于下列各个“的状态响应双0：(i) u(0 = b班0)=6X(0)=(由(i)题解的结果)如) 0 0 严“ 基此.并利用计算算式.得到系统状态晌应“为T為:帆店:;基此.并利用计算算式，得到

29、系统状态响应为呦=宀0) +j：eg 加(r)(k J确定系统状态T 00c2*响应双0。对此.先行计算定出(由(i)題解的结果)0jr) = /x(O) + J：/i)b“a)dr =-2r+ 13ef+r-l严 0 0严 态响应X(0o对此，先行计算定出 宀0)七:：(iv)对“二丄严丄424,T：呦=；，(由(i)题解的结果)叫(Ode J；ew(/) = 8inr确定系统状r rime 严 Im*/皿=匸;:;:卜帆击宀H制erer(r-l) + l十(“)盲基此，并利用计算算式,得到系统状态响应文(为*(+sinr-cosf)-(e2r +2sm/-cosr)基此，并利用计算算式，得

30、到系统状态响应才)为 x(0 = /欢0) + J；/I)加(r)dr23e-2/(e r +sinf-cosf2Vj(e2/ +2sinf-co8/2严+2妙L4 24JJ LJJ匹尹+2sinJg555题39给定连续时间线性时变系统为人420_4i（0 心）. 0）._ I,基此，对可以导出.，% （f，S = -220）10A） * 码 1 仏）=-P从而，由”0井考虑到方程解的惟一性，可知“同时满足上述方程及其初始*件的 解阵”只可能为证明完成。H3.ll给定方常阵/,设其特征值为两两相异，表tr/为4的迹即其对角元素之 和，试证明*det / =心解 本题为证明题意在训练演绎思维和逻

31、辑推证能力。表m实常阵/的”个两两相异特征值为心，九，则基于其特征向量必可构造一个nxn非奇异常阵尸使成立：人A = P P 1对上述关系式等式两边取行列式，并考虑到detP-f=l/detP,得到detexr关系式为诳而.对“矩阵/ ”和“矩阵/的变换式”分别定出它们的特征多项式，并运用关系式 detPM=l/detP,得到如一坷2dW) =det一吟$-Oy -a._w+ 卜。J 严 + 勺一2 严 + + 即 + 0oA dct(5/ - X) = det(/ - P AP) = s7住可宀仏严由上述两个特征多项式相等.并利用矩阵/的迹的定义.导出 tr* =a” 二工人/-I M最后，

32、将tM的关系式代入det/的关系式，证得:題3.12定出下列连续时间线性时不变系统的时间离散化状态方程:其中，采样周期为7 = 2.解 本题属于运用离散化关系式由“连续时间系统状态方程”导出“时间离散化系 统状态方程”的基本题。首先.定出连续时间系统的矩阵指数函数对此，运用推论3.1-2b.可直接得到 如1 IC =0 1继而，运用离散化系统的系数矩阵关系式G = CAT和 =并知r = 2先行定出,(j:皿)_(j:冷醐基此.并表坷仗）二斗“，勺伙）=工2（九灯和“（切二“W即可导出坷（屮七（八1）+ Huk)=10题5.7利用上题给出结论.判斷下列连续时间非线性时不变系统是否为大范围渐 近

33、稳定：p=-3+Xj解 本题属于运用克拉索夫斯基定理判断非线性时不变系统稳定性的基本题。首先，确定系统平衡状态。表平衡状态分量为心和按定义知其满足方程:-3xcl+xc2=0由上述第二个方程定出屯=兀2+丘2,再将其代入第一个方程并加整理，有03x + 2x.2 =3x.求解上述方程，并运用关系式兀产兀2+毘，得到平衡状态方程的全部解为】/2心=0,兀2 =0 Xel= j討亍.xc2由于状态空间定义于实数域，复数平衡状态显然是没有意义的，表明xtl=0,xe2=0即 原点xc=0为给定系统惟一平衡状态。进而.判断系统的渐近稳定性。对给定系统先行计算雅可比矩阵：筋(*)%坊(X)dxl恥)并组成判别阵：F(x) + Ft(x)= 1如+1)基此，容易判断6 -2-22(3# +1)F(x) + R(w) 为正定6 -2-22(3 +1)为负定H 63给定单输入