立体几何83空间点直线平面之间的位置关系

1、8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义 2了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据1平面的基本性质(1) 公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为： A l, B l, A a, B a la.作用：可用来证明点、直线在平面内(2) 公理 2：过 上的三点，有且只有一个平面符号表示为：A, B , C三点不共线有且只有一个平面 a,使A a, B a, C a.作用：可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；证明点线共面.(3) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线.符号表示

2、为：P aCl 3 aCl 3= I，且P I. 作用：可用来确定两个平面的交线；判断三点共线、三线共点.2. 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类:同一平面内，有且只有共面直线一个公共点:同一平面内，没有公共点异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：设 a， b， c是三条直线，a / b, c/ b,则.公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用. 作用：判断空间两条直线平行的依据.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.(4) 异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做，已

3、知异面直线a, b,经过空间任一点 0作直线a/ a, b/ b，我们把a与b所成的 n叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角匪0,孑，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.3.直线和平面的位置关系宀护方 位置大糸直线a在平面a内直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共点公共点公共点公共点图形表示付号表示4.两个平面的位置关系宀护方 位置大糸图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两 平 面 相 交斜交来源学优GKSTK来源学优qkstk来源学有个公共点在一条直线上垂直有个公共点在一条直线上1.如果aa,b a, l n a= A, I n b= B

4、，那么下列关系成立的是().A. I aB. I aC.2.A.C.I n a= AD. I n a= BIl, l2 , l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是|1 丄 12, |2 丄 l3I 1 / I3I 1 / I2/ I 3 11, 12, I3 共面B.D.(3. 在空间中，下列命题正确的是 A .平行直线的平行投影重合B .平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行D .垂直于同一平面的两条直线平行4. 下面四个命题： 若直线a, b异面，b, c异面，则 若直线a, b相交，b, c相交，则( Il 丄 l2, |2/ |3|1 丄 |3Il, l2

5、, l3 共点 1l, 12 ,).a, c异面; a, c相交;).l3共面 若a/ b,则a, b与c所成的角相等; 若a丄b, b丄c,贝U a / c.其中真命题的序号是.5. （2012郑州模拟）已知：空间四边形 ABCD（如图所示），E, F分别是AB, AD的中点,G, H 分别是 BC, CD 上的点，且 CG= BC, CH = DC.第3页共12页求证：(1)E，F， G，H 四点共面； (2)三直线 FH，EG ，AC 共点一、平面的基本性质【例1】定线段AB所在的直线与定平面 a相交，P为直线AB外一点，且P不在a内， 若直线AP, BP与a分别交于C, D点，求证：不

6、论 P在什么位置，直线 CD必过一定点.方法提炼证明三点共线通常有两种方法： 一是首先找出两个平面, 然后证明这三点都是这两个平 面的公共点, 于是可得这三点都在这两个平面的交线上, 即三点共线； 二是选择其中两点确 定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得出三点共线.请做演练巩固提升 6 二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是CD的中点，连接 AE并延长与BC的延长 线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点 G,连接FG.求证：直线 FG 平面ABCD，且直线 FG /直线 AiBi.方法提炼1.证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理

7、4.平行线的传递性即若 a/ b, b/ c, 则 a / c.2判断两直线为异面直线的常用方法过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图请做演练巩固提升 1易忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】（2012大纲全国高考）已知正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E, F分别为BBi , CCi的中点，那么异面直线 AE与DiF所成角的余弦值为 .第5页共12页第8页共i2页a2+ 2 2+ a2+ 号 2 a2 3忽视对m/ n;解析：设正方体的棱长为 a.连结AiE，可知DiF / AiE,异面直线AE与DiF所成的角可转化为 AE与AiE所成的

8、角， 在厶AEAi中，cos/ AEAi =答案：35答题指导：i.(i)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时， 三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述.(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正 值来处理.2 求异面直线所成角一般用平移法： 一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角. 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角. 三求：解三角形，求出所作的角，注意为锐角或直角.i. 关于直线 m, n与平面a,有以下四个命题：若m/ a, n/ B且a/ B,若 mII a, n丄 B且 a丄 B,贝U mII n；若 m a,

9、n 3且 all B,贝U mn；若 m a, n 丄B且a丄B,贝U mn.其中真命题有（）.A. i 个B. 2个C. 3 个D. 4 个2.（20i2 浙江高考 ）设 l 是直线，a, B是两个不同的平面,( ).A.若 l I a，lIB,贝U all BB.若 l I a，1丄1B,则a丄BC.若 a丄B,1丄a,贝9 1丄BD.若 a丄B,lIa ,则1丄B3.设 A，B，C，D 是空间四个不同的点 在下列命题中 不.正确的是 （）A 若 AC 与 BD 共面，贝 AD 与 BC 共面B .若AC与BD是异面直线，则 AD与BC是异面直线C.若 AB= AC, DB = DCAD

10、= BCD .若 AB= AC, DB = DC,贝U AD 丄 BC4. （2012 浙江杭州模拟 ）设 a, b, c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题： 若 a I b, b II c,贝U a II c; 若 a丄 b, b c,贝U a II c; 若 a 与 b 相交, b 与 c 相交,贝 a 与 c 相交； 若a 平面a, b 平面B,则a, b 一定是异面直线； 若 a， b 与 c 成等角，贝 aI b.上述命题中正确的是 （只填序号 ）.5. （2012四川高考）如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M , N分别是棱 CD , CCi的中点，贝异面直线 A1

11、M 与 DN 所成的角的大小是 .6. 如图所示，平面四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的四边上，且直 线EH与FG相交于点P,求证：B, D, P三点共线.第 8页 共 12页第12页共12页参考答案基础梳理自测知识梳理1. (1)两点(2)不在一条直线 (3)有且只有一条2. 相交直线 平行直线 任何 (2)a / c (3)相等或互补 异面直线 锐角(或直 角)3 .无数个一个无 a a aAa= A a /a4. a/ 3 aCl 3= l无数 a丄3无数基础自测1. A2. B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直

12、于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.3. D 解析：对于A，平行直线的平行投影也可能平行，故A错误；对于B,平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C,垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误.4. 解析：a, c可能相交、平行或异面；a, c可能相交、平行或异面； 正确; a, c可能相交，平行或异面.5. 解：连接EF, GH.已知E, F分别为AB, AD的中点, EF知.hgLbd又 CG = 3BC , CH = 3dC , EF / HG 且

13、EF 工 HG. EF, HG可确定平面 a,即E, F , G, H四点共面.(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且 EF / HG , EF工HG.四边形EFHG为梯形.设直线FH门直线EG= O.点0 直线FH，直线FH 面ACD ,点0 平面ACD.同理点0 平面ABC.又面 ACD 门面 ABC = AC,点0 直线AC.直线FH , EG , AC交于点0,即三直线共点.考点探究突破【例1】证明：设定线段AB所在直线为I，与平面a交于0点，即I A a= 0. 由题意可知，AP A a= C, BP A a= D , C a, D a.又 T APA BP = P, AP, BP

14、可确定一平面 B,且C 3, D B CD = aA 3T A 3, B 3, I 3 0 3 0 aA 3,即 0 CD.不论P在什么位置，直线 CD必过一定点.【例2】证明：已知E是CD的中点，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，有A平面ABCD , E平面ABCD ,所以AE 平面ABCD . 又因为AE A BC= F ,所以F AE.从而F 平面ABCD .同理G 平面ABCD ,所以FG 平面ABCD.因为 ECAB ,故在 Rt FBA 中，CF = BC ,同理DG = AD.又在正方形ABCD中，BCAD ,所以CF 一DG .所以四边形CFGD是平行四边形.所以 FG

15、/ CD.又 CD / AB, AB / A1B1,所以直线FG /直线AiBi.演练巩固提升1. B 解析：若m/ a, n/ B且a/ 3,则m与n可能平行，也可能相交或异面，故 错；若m/ a, n丄3且a丄3则m与n可能平行，也可能相交或异面，故 错；若m丄a, 且a/3,则m丄3 ,又n / 3 所以m丄n ,故为真命题；若m丄a , n丄3且a丄3则m丄n ,故为真命题.因此真命题有 2个.2. B 解析：A选项中由I /a , I /3不能确定a与3的位置关系，C选项中由a丄3, I丄a 可推出I / 3或I 3, D选项由a丄3 I / a不能确定I与3的位置关系.3. C 解

16、析：A中，若AC与BD共面，贝U A , B , C , D四点共面，贝U AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线,贝U A , B , C , D四点不共面，贝U AD与BC是异面直 线；C 中，若 AB = AC , DB = DC, AD 不一定等于 BC；D中，若AB = AC , DB = DC,可以证明 AD丄BC.4. 解析：由公理4知正确；用“墙角”作为反例，知有 a丄c这种可能；a与c可能异面或平行； 举反例如图，a , b可能相交；可能异面.故只有 正确.5. 90 解析：如图所示,以点 D为原点，DA , DC, DDi所在直线分别为x轴、y轴、uuuuuuz轴建立坐标系 D-xyz ,设正方体