几何证明——中点模型中级

1、精心整理几何证明中点模型（中级）【知识要点】1、中位线定理： 如图，在 ABC中，若 AD二BD , AE二CE，贝DE/BC且DE=】BC 。22、中线倍长（倍长中线）：如图（左图），在 ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有:ADC: EDB。作用：转移线段和角。 在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。 如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“ X全等”或“叉叉全等”或“ 8字型全等”，有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）3、直角三角形斜边中线定理：1 如图，在 Rt ABC 中，

2、.ACB =90 , D 为 AB 中点，则有：CD 二 AD 二 BDAB。24、三线合一：在 ABC 中：（1） AC 二 BC ;（ 2） CD 平分 ACB ;（ 3） AD 二 BD ,（ 4） CD _ AB .“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任 意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种 功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句 话说，以这条线为对称轴 必定有等腰三角形出现.【经典例题】精心整理例1、如图所示，已知D为BC中点，点A在D

3、E上，且AB二CE，求证：.BAD 工/CED .例2、如图，已知在:ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且B AC，延长BE交AC于F，求证：AF = EF。例3、如图，在 ABC中，AD为.A的平分线，M为BC的中点，AD/ME，求证：BE 二 CF 二丄 AB AC。2例4、如图，已知ABC中，BD,CE为高线，点M是DE的中点，点N是BC的中点.求证：MN _ DE。例5、如图所示，在：ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是.BAC的平分线，若1CF _ AD且交AD的延长线于F，求证：MF (AC - AB)。2例6、如图所示，在 ABC中，AD是.BAC的平分线，

4、M是BC的中点，ME _ AD且交AC的延长线于 E，CD=2CE，求证：.ACB=2. B。【提升训练】1、已知如图,ABC中，AD是BC边上的中线，求证:AD :AB AC22、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF _ EC交AB于F连结FC AB AE。求证： AEF = ECF .3、已知如图， ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F .求证：FC二2AF。4、在梯形 ABCD 中，AD/ BC， A AD BC， E 为 CD 的中点，求证： AE BE。5、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于0 , AF为.BAC的平分线，

5、交BD于E， BC于F .求证：0E二丄FC .26、如图，厶ABC中， B的平分线BE与BC边的中线 AD垂直，垂足为F，且BE二AD = 4 , 求ABC的三边长。精心整理7、如图，在. ABC 中，AB 二 AC =5 , BC = 6，点 M 为 BC 中点，MN _ AC 于点 N，求 MN 的长。&如图，已知. ABC中，AD是.BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证AB二AC。9、如图，已知 ABC中，AB=5,AC=3,BC上的中线 AD = 2 ,求BC的长.10、如图，在 ABC中，D是AB的中点，AC_CD，ta n. BCD，求.A的正切值.311、已知：如图，

6、ABC中，AB二BC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BD二CE .12、如图，M是. ABC的边BC的中点，AN平分.BAC , BN _ AN于点N，且AB = 10 ,BC =15 , MN =3，求.ABC 的周长。13、 如图，已知：ABC 中，.A=90,D 是 BC 的中点，DE _ DF。求证：BE2 CF EF2。14、如图，已知 ABC中，D是BC的中点，DE _ DF。求证：BE CF EF。15、如图，D 是 ABC 中 BC边上的一点，且 CD 二 AB , BDA=/BAD , AE 是 :ABD 的中线，求证：AC

7、=2AE。16、如图，已知等腰三角形ABC中，.A = 90 ,AB二AC,BD平分.ABC,CE _ BD，垂足为点E ,求证：BD 二 2CE。17、已知：如图， BAD =/CAD,AB AC,CD_ AD 于点 D,H 是 BC 中点，1求证：DH AB-AC。218、如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF ,作DE CF交BC于点E ,交CF于点M，求证：AM AD 19、已知： ABD和ACE都是直角三角形，点C在AB上，且.ABD ACE =90，如图，连接DE，设M为DE的中点，连接 MB,MC。求证：MB二MC 精心整理20、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、

8、BD相交于点O, BD = 2AD , E、F、G分别是 OC、OD、AB 的中点。求证：(1) BE_AC (2) EG = EF .21、请阅读下列材料：问题：如图，在菱形 ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条 直线上，P线段DF的中点，连结PG, PC .若.ABC =BEF =60 ,探究PG与PC的位置关系.22、如图，厶ABC中，D是边BC的中点，BE _ AC于点E，若.DAC =30 ,求证：AD = BE。23、如图，梯形 ABCD 中，AD / BC , E 是 AB 中点，EF _ CD 于 F , CD=6, EF=4 ,求S梯形ABCD 24、如图，三角形A

9、BC , D为BC上的点，过B作BE _ AE，交AD延长线于E，作CF _ AD交AD于F , G为BC中点，连接FG与GE，求证：FG = GE25如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且 AF平分.DAE ,求证：AE=EC CD26、如图，正方形 CGEF的对角线 CE在正方形 ABCD的边BC的延长线上(CG BC), M是线段 AE的中点，DM 的延长线交CE于N .(1)求证：AD=NE ( 2)求证： DM=MF : DM 丄 MF .27、如图，等腰梯形 ABCD中，CD / AB，对角线ABCD相交于O , ACD = 60，点S ,P，Q分别是OD

10、，OA，BC的中点，求证：PQS是等边三角形.28、已知如图， ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，(1)判断EF和DG有何关系并证明；(2)求证：Saogd -Sabc 1229、如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，AB 二 AD 二 DC， C = 60，AE _ BD 于点 E， F是CD的中点，DG是梯形的高。(1) 求证：四边形AEFD是平行四边形；(2) 设AE二x，四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。30、已知如图，在四边形 ABCD中，EF分别为AB、CD的中点；1(1)求证：EF (AC BD)；2(2) EF交BD、AC分别于P、Q，若AC二BD，求证：OPQ为等腰三角形精心整理31、点0是:ABC所在平面内一动点，连