重积分的应用14090PPT学习教案

1、会计学1 重积分的应用重积分的应用14090 二、几何中的应用二、几何中的应用 1 1、平面图形的面积、平面图形的面积 D的面的面 积积 D Ad 2 2、空间立体的体积、空间立体的体积 VdV 的的体体积积 例例1 1、推导球的体积公式。推导球的体积公式。 第1页/共23页 3 3、曲面的面积、曲面的面积 (cos ,cos,cos ) 1 .() cos 2 n e A 如如图图一一底底面面为为矩矩形形的的柱柱体体被被一一平平面面所所截截， 截截面面法法向向量量，证证明明截截面面 ( (平平行行 例例 四四边边形形) )面面积积 是是底底面面面面积积 、 x y z L M N R Q P

2、 o 第2页/共23页 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在 ,Dd 设小区域设小区域 ,),( dyx 点点 . ),(,( 的切平面的切平面 上过上过为为yxfyxMS .dsdA dAdss zd 则有则有 ，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面 轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以 如图，如图， d ),(yx M dA x y z s o 第3页/共23页 ,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd cos,ddA 22 1 cos, 1 xy ff dffdA yx 22 1 ,1

3、22 D yx dffA 曲面曲面S S的面积元素的面积元素 曲面面积公式为：曲面面积公式为： 22 1()() xy D zz Adxdy xy d ),(yx M dA x y z s o 第4页/共23页 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式为：为： 22 1()(). zx D yy Adzdx zx 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式为：为： 22 1()(); yz D xx Adydz yz 同理可得同理可得 第5页/共23页 问：问：如何计算曲面面积？如何计算曲面面积？ 例例3 3、推导球的表面积公式。推

4、导球的表面积公式。 ( , )zz x y xy D (1)(1)找到曲面显方程找到曲面显方程 (2)(2)找到曲面投影域找到曲面投影域 (3)(3)表为二重积分并计算表为二重积分并计算 第6页/共23页 由由对对称称性性知知 1 4AA , 1 D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222 yxaz , 于于是是 22 1()() zz xy , 222 yxa a 解：解： )0,( yx 第7页/共23页 面面积积dxdyzzA D yx 1 22 14 1 222 4 D dxdy yxa a cos 0 22 0 1 4 2 a rdr ra da .42 22 aa 第8页/共23

5、页 1 1、质量、质量 薄片质量薄片质量 立体质量立体质量 ( , ) D Mx y d ( , , )Mx y z dV 第9页/共23页 2 2、质心、质心 第10页/共23页 当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心. . , 1 D xd A x . 1 D yd A y D dA 其中其中 , ),( ),( D D dyx dyxx x . ),( ),( D D dyx dyxy y 由元素法由元素法 第11页/共23页 2sin , 5 4sin DDr r 求求均均匀匀薄薄片片 的的重重心心, ,其其中中 为为 所所 例例 、 围围成成的的区区域域。 第12页

6、/共23页 3 3、转动惯量、转动惯量 设设xoy平面上有平面上有 n 个质点， 它们分别位于个质点， 它们分别位于),( 11 yx， ),( 22 yx，,),( nn yx处 ， 质 量 分 别 为处 ， 质 量 分 别 为 n mmm, 21 则该质点系对于则该质点系对于 x 轴和轴和 y 轴的轴的转转 动惯量动惯量依次为依次为 n i iix ymI 1 2 ， n i iiy xmI 1 2 . . 第13页/共23页 ,),( 2 D x dyxyI .),( 2 D y dyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域 D， 在在 点点),(yx

7、处处 的的 面面 密密 度度 为为),(yx ， 假假 定定 ),(yx 在在 D 上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于 x 轴轴和和 y 轴轴的的转转动动惯惯量量为为 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量 x 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量 y 第14页/共23页 rr a ddsin 0 3 0 2 解解: 建立坐标系如图, 0 : 222 y ayx D yxyI D x dd 2 D rrddsin 23 4 4 1 a 2 4 1 aM 半圆薄片的质量 2 2 1 aM 22 1 2 ox y D aa 的转动惯量. 第15页/共23页 222222 (sinco

8、ssinsin)rr 解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, ,: 2222 azyx则 z I zyxyxddd)( 22 5 5 2 aMa 2 5 2 2 sind d drr o l z x y 1 3 2 2 2 0 d 球体的质量 3 3 4 aM 3 0 sind rr a d 0 4 设球 所占域为 (用球坐标) 第16页/共23页 222 zyxr G 为引力常数 设物体占有空间区域 , ，连续),(zyx 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, v r xzyx GFxd ),( d 3 v r yzyx GFyd ),( d 3 v r zzyx GFzd

9、),( d 3 在上积分即得各引力分量: 其密度函数 r z x vd y Fd 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 ),( zyx FFFF 第17页/共23页 v r xzyx GFx d ),( 3 v r yzyx GFy d ),( 3 v r zzyx GFz d ),( 3 对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 ,d ),( 3 D x xyx GF D y yyx GF d ),( 3 )( 22 yx 第18页/共23页 R x y z o 2222 Rzyx 对位于 )(), 0 , 0( 0 RaaM的单位质量质点的引力. 解解: 利用对称

10、性知引力分量0 yx FF z F R R zazGd)( v azyx az Gd )( 2 3 222 R R zazGd)( 2 00 2 3 22 22 )( d d zR azr rr 点 z Dazyx yx 2 3 222 )( dd 0 M a z D 第19页/共23页 R R zazd )( z F G2 22 2 11 azaR za 2 00 2 3 22 22 )( d d zR azr rr R R zazGd)( G2 R R az a )( 1 22 2daazR 2 a M G R2 3 4 3 R M 为球的质量 第20页/共23页 几何应用：平面图形面积几何应用：平面图形面积 立体体积立体体积 曲面的面积曲面的面积 物理应用：质量、质心、转动惯量、对质点的引物理应用：质量、质心、转动惯量、对质点的引 力力 （注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识） 第21页/共23页 思考题：思考题： . )0(cos,cos 之间的均匀薄片的重心