逆矩阵与二元一次方程组PPT学习教案

1、会计学1 逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组 学习重难点 用变换的观点认识解二元一次方程组的意义,会用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方程组. 第1页/共28页 向量形式: 1 3 yx yx 2 3 + 2 1 2 1 2 3 = 二元一次方程组: .yx ,yx 1= 2 3 + 2 1 3= 2 1 2 3 第2页/共28页 由矩阵与向量乘法的定义得: 2 3 2 1 2 1 2 3 yx yx 2 3 + 2 1 2 1 2 3 y x = 1 3 2 3 2 1 2 1 2 3 y x = 原方程组变成: 第3页/共28页 关于变量x,y的二元一次方程组为: 则它可

2、以写成矩阵的形式: dc ba 矩阵A= 称为二元一次方程组 的系数矩阵. 式称为二元一次方程组的矩阵形式. .fdycx ,ebyax =+ =+ dc ba f e y x = 第4页/共28页 探究1 二元一次方程组的系数矩阵对应着一个线性变换,试从线性变换的角度揭示解二元一次方程组的意义. 第5页/共28页 2 3 2 1 2 1 2 3 二元一次方程组的系数矩阵 对应的线性变换为旋转变换: y x y x 2 3 2 1 2 1 2 3 ：R 30 = 第6页/共28页 解二元一次方程组就是找到向量 y x 1 3 使得它在该旋转变换下变为向量 第7页/共28页 举一反三 对于一般的

3、二元一次方程组 .fdycx ,ebyax =+ =+ 以线性变换的角度看,可表述为: ： y x y x dc ba = 线性变换 f e 平面上一个确定的向量 已知: y x 要找到一个向量 使得它在的作用下变为已知向量 f e 第8页/共28页 在实际操作中,若线性变换的意 义不明显或不为我们所知,那么就很难 找到向量 , 使得 = f e y x y x 引入定义 二元一次方程组的解写成向量 的形式,称这种形式的解为二元一次方程 组的解向量. y x 第9页/共28页 探究2 如果二元一次方程组的系数矩阵可逆,能用逆矩阵来解方程组么? 第10页/共28页 2 3 2 1 2 1 2 3

4、 二元一次方程组的系数矩阵可逆 从线性变换的角度, 解方程组就是找出向量 y x y x y x 2 3 2 1 2 1 2 3 ：R 30 = 使得它在旋转变换 作用下的结果为给定的向量 1 3 第11页/共28页 即: 向量 按逆时针绕原点旋转30 后得到向量 ; y x 1 3 向量 可以看成把向量 按 顺时针绕原点旋转30后得到. y x 1 3 即: R 30 1 30 R y x 1 3 = 1 3 第12页/共28页 二元一次方程组一定有解,且解为: R 30 1 30 R y x 1 3 = 1 3 1 3 = 2 3 2 1 2 1 2 3 2 13 2 1+33 = 第13

5、页/共28页 二元一次方程组的任意一个解向量都满足: y x 2 3 2 1 2 1 2 3 1 3 = 由几何上易看出:二元一次方程组的解是唯一的. 第14页/共28页 若关于变量x,y的二元一次方程组（线性 方程组）: 的系数矩阵A= 可逆，则方程组有唯一解 .fdycx ,ebyax =+ =+ dc ba y x f e dc ba 1 = 第15页/共28页 证明 ： 当A= 可逆,由二元一次方 程组 的矩阵形式: A = 得： dc ba y x f e .fdycx ,ebyax =+ =+ f e A1 y x A =A1 E2 = y x A1 f e 第16页/共28页 原

6、方程组有解： f e y x dc ba 1 = 下证唯一性： 设 , 是原方程组的任意两个解,由 上面的证明过程可得: y x 1 1 y x 2 2 A1 f e y x 1 1 = f e A1 = y x 2 2 第17页/共28页 y x 2 2 y x 1 1 = ,即二元一次方程组的 解是唯一的. 第18页/共28页 关于变量x,y的二元一次方程组 .dycx ,byax 0=+ 0=+ 其中a,b,c,d是不全为零的常数,有非零解的 充要条件是系数矩阵的行列式 =0. dc ba 第19页/共28页 注意： 常数项都为零的线性方程组为齐次线 性方程组, 是其中一个解,称为零解.

7、 若向量 （ , 不全为零 ）是该方程 组的解向量,则称之为一个非零解. 0 0 y x 0 0 x0y0 第20页/共28页 课堂练习 1.关于变量x,y的二元一次方程组 .yx ,yx 0=+ 0=+2 其中,为常数,求当和满足什么条件时,原方程组有非零解? 第21页/共28页 解：由推论可得: 当系数行列式 =0时,原方程 组由非零解. 1 2 即: 当2=0时,方程组有非零解. =2. 第22页/共28页 2.用逆矩阵解二元一次方程组 .yx yx 2= 1=+2 ， 解：二元一次方程组的系数矩阵A= 11 12 则该方程组的矩阵形式： 11 12 y x 2 1 = (). 03=1112= 11 12 第23页/共28页 系数矩阵A= 可逆 11 12 y x 2 1 方程组有唯一解 11 12 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 y x 1 1 2 1 = = 原方程组的解是 .y ,x 1= 1= 第24页/共28页 教材习题答案 1.（1） （2） .y ,x 1= 1= .y ,x 2= 0= 2.（1） .y x 12= 7= ， .y ,x 6= 4= （2） .y ,x 2 1 = 2 1 = （3） 第25页/共28页 3.原方程组变