连续性随机变量详解PPT学习教案

1、会计学1 连续性随机变量详解连续性随机变量详解 00 01 11 x XF xxx x ,; ( ),; ,. 设设随随机机变变量量的的分分布布函函数数 引例引例 0000( ),( ); xx xf t dtdtF x 当当时时，则则 0 0 0 0 1 01 ( )( )( ) ,( ); xx x xf t dtf t dtf t dt dtdtF xx 当当0 0时时， 则则 01 01 01 01 0101 ( )( )( )( ) ,( ) xx x xf t dtf t dtf t dtf t dt dtdtdtF x 当当1 1时时， 则则 第1页/共49页 ., )(, ,d

2、)()(, , )( 简称概率密度简称概率密度密度函数密度函数 的概率的概率称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称 有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数 存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量 XxfX ttfxFx xFX x 1.定义定义 xo )(xf 1 1d)( xxfS 1 S xxfS x x d)( 2 1 1 1 x 2 x 第2页/共49页 )()()3( 1221 xFxFxXxP ;d)( 2 1 xxf x x xxf x d)( 2 证明证明 .d)( 2 1 xxf x x )()( 1221 xFxFxXxP

3、xxf x d)( 1 性性 质质 ;0)()1( xf ;1d)()2( xxf 证明证明 .d)()(1xxfF 第3页/共49页 ).()(,)()4(xfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若 )(aFaXP ,d)(xxf a 1aXPaXP xxfxxf a d)(d)( )(1aF xxfxxf a d)(d)( .d)(xxf a 同时得以下计算公式同时得以下计算公式 第4页/共49页 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即 . 0 aXP 证明证明aXP . 0 由此可得由此可得 xxf xa

4、a x d)(lim 0 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关 bXaP bXaP bXaP .bXaP 第5页/共49页 1.密度函数 X p(x) ( )( ) x F xp t dt 2. 4. P(X=a) = 0 1.分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) =() i i xx P Xx 3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a). 4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数。 F(a0) = F(a). F(a0) F(a). 第6页/共49页 .

5、 0 aXP 若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量， X=a 是不是不 可能事件，则有可能事件，则有 , 0 aXP若若 是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP 若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意 连连 续续 型型 离离 散散 型型 是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 第7页/共49页 . 2 7 1)3( ;)2(;)1( ., 0 , 43, 2 2 , 30, )( XP Xk x x xkx xf X 求求 的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数 其它其它 具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设 解解, 1d)()1( xxf由由 例

6、例1 第8页/共49页 的概率密度为的概率密度为知知由由Xk 6 1 )2( ., 0 , 43, 2 2 , 30, 6 )( 其它其它 x x x x xf , 1d) 2 2(d 3 0 4 3 x x xkx得得. 6 1 k解之得解之得 第9页/共49页 . 4, 1 , 43,d) 2 2(d 6 , 30,d 6 , 0, 0 )( 3 03 0 x xx x x x xx x x xF x x 得得由由 x xxfxFd)()( 第10页/共49页 . 4, 1 , 43, 4 23 , 30, 12 , 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xF即即 2 7 1

7、)3( XP )1() 2 7 (FF . 48 41 第11页/共49页 ).,( ,),( , 0 , 1 )( baUX baX bxa abxf X 记为记为 区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称 其它其它 具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 1. 均匀分布均匀分布 x o )(xf a b 概率密度概率密度 函数图形函数图形 均匀分布概率密度函数均匀分布概率密度函数演示演示 第12页/共49页 均匀分布的意义均匀分布的意义 ,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间 . ),( 性是相同的性是相同的 内

8、的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间ba x o )(xf a b ab 1 l ab l p l 第13页/共49页 ., 1 , , 0 )( bx bxa ab ax ax xF 分布函数分布函数 x o )(xF a b 1 均匀分布分布函数图形均匀分布分布函数图形演示演示 第14页/共49页 16 随机变量, 解解： 依题意， X U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 其它, 0 300, 30 1 )( x xp 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站， 如

9、果乘客到达此站时间X是7:00 到 7:30 之间的均匀 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 从上午7时起， 7:30等时刻有汽车到达汽车站， 每15分钟来一班车，即 7:00，7:15， 第15页/共49页 17 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 10152530PXPX 其它, 0 300, 30 1 )( x xp3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 dxdx 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 为使候车时间X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 第16页/共49页 1 e0 00 0 1 x X x f x x X ,

10、( ) ,. , .() 定定义义设设连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为 其其中中为为常常数数 则则称称服服从从参参数数为为 的的指指数数 分分布布 2. 指数分布指数分布 指数分布密度指数分布密度 函数图形函数图形演示演示 第17页/共49页 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例例 如无线电元件的寿命如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物、电力设备的寿命、动物 的寿命等都服从指数分布的寿命等都服从指数分布. 应用与背景应用与背景 分布函数分布函数 1 1e0 0 0 x x F x x , ( ) ,. 指数分布分布函数图形指数分布分布函

11、数图形演示演示 第18页/共49页 20 （单位：分钟）是以间设打一次电话所用的时X 解： 的密度函数为X 00 0 10 1 10 x xe xp x 2010XPBP则 令：B= 等待时间为10-20分钟 20 10 10 10 1 dxe x20 10 10 x e 21 ee 2325. 0 在你机变量如果某人刚好为参数的指数分布的随 10 1 分钟之间的分钟到求你需等待前面走进公用电话间，2010 概率 第19页/共49页 例例1 15 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时). (1)任取一只这

12、种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以 上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以 上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0 , 0,e1 )( 2000 1 x x xF x X 的分布函数为的分布函数为解解 第20页/共49页 1000)1( XP10001 XP )1000(1F .607. 0e 2 1 10002000)2( XXP 1000 1000,2000 XP XXP 1000 2000 XP XP 第21页/共49页 10001 20001

13、XP XP )1000(1 )2000(1 F F .607. 0e 2 1 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. 第22页/共49页 ).,(, ,)0(, ,e 2 1 )( 2 2 )( 2 2 NX X x xf X x 记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布 服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料 第23页/共49页 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征 ;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;

14、2 1 )(,)2( xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当 ;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 第24页/共49页 ; ,)( ,)6( 轴作平移变换轴作平移变换着着 只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变 的大小时的大小时改变改变当固定当固定 x xf ;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x 第25页/共49页 . , )(,)7( 图形越矮越胖图形越矮越胖 越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变 图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定 xf 正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示

15、第26页/共49页 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 t xF x t de 2 1 )( 2 2 2 )( 正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示 第27页/共49页 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如 测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 第28页/共49页 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算 t xF x

16、t de 2 1 )( 2 2 2 )( xXP ? 原函数不是原函数不是 初等函数初等函数 方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算(演示演示) 方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算 第29页/共49页 ).1, 0(, ,1, 0),( 2 N N 记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正 这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为 ,e 2 1 )( 2 2 xx x 标准正态分布标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为 .,de 2 1

17、)( 2 2 xtx x t 第30页/共49页 标准正态分布的图形标准正态分布的图形 第31页/共49页 正态分布的性质 (1) p(x) 关于 是对称的. p(x) x 0 在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变, 小 大p(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭. 第32页/共49页 p(x) x0 1 (1) (0), 2 xx )( x 1( ) x 标准正态分布N(0, 1) 密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x). (2)()1( )xx 第33页/共49页 (x) 的计算 (1) x 0 时, 查标准

18、正态分布函数表. (2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96) P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66 而 (a) = 0.0495 1/2, 所以 a k = PXk, 则 k = ( ).3 课堂练习(1) 第39页/共49页 设 X N(, 42), Y N(, 52), 记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则( ) 对任意的 ，都有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 p2 课堂练习(2)

19、第40页/共49页 设 X N( , 2), 则随 的增大， 概率 P| X | ( ) 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 课堂练习(3) 第41页/共49页 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知 解解 225. 1 XP )25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例15 . 0828. 0 第42页/共49页 例例8 证明证明).(1)(xx xx x x de 2 1 )( 2 2 x x x de 2 1 2 2 x x de 2 1 2 2 x x x de 2 1 2 2 ).(1x 证明证明 第43页/共49页 例17 对某地抽样调查，考生的外语

20、成绩（百分制）近似服从正态分布，平均分为72，且96分以上的考生比率为2.3%，求考生成绩在60至84分之间的概率。（答案：0.682） 解：已知2=0.977, 又 1-P（X-72）/（96-72）/=1-（2）=0.023, =12 P（60-72）/（84-72）/=2（1）-1=0.682 关键在于必须记住正态分布的，2，3分位点及所取得概率值。 第44页/共49页 分布函数分布函数概率密度概率密度 2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 x ttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布) 指数分布指数分布 第45页/共49页 正态分布有极