正弦定理的几种证明方法.doc

1、。正弦定理的几种证明方法1. 利用三角形的高证明正弦定理（ 1）当ABC是锐角三角形时， 设边 AB上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 CD asin B , CDb sin A 。C由此，得ab同理可得cbbasin AsinCsin B ，sin B ，AB故有abcDsinA sinBsin C . 从而这个结论在锐角三角形中成立 .（ 2）当ABC是钝角三角形时，过点C 作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义， 有 CD asinCBD asinABC，CD b sin A。由此，得ab同理可得cbsin CsinABCCsin Asin ABC，故

2、有abcbasinA sinABC sin C .AabcB D由 (1)(2)可知，在ABC中，成立 .AsinBsin Csin从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即abcsin Asin Bsin C .1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点 A，点 B 之间的距 AB|，可测量角 A 与角 B，需要定位点 C，即：在如图 ABC中，已知角 A，角 B， AB c，求边 AC的长 b解：过 C 作 CD AB交 AB于 D，则BDcsin A csin AcosCDCsinCsinCtan CADccosAcosCb AC ADDC c

3、cosAcsin A cosCc(sinC cosA sin A cosC )csinBsinCsinCsinC精选资料，欢迎下载。推论：bcsin BsinC同理可证：abcsinBsinCsin A2. 利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设BC a,CA b,AB c, 作AD BC,垂足为 D.则 Rt ADB中 ,sin BAD,AABAD=ABsinB=csinB. S ABC= 1 aAD1 ac sin B .同理 , 可证 S ABC= 1 ab sin C1 bcsin A .2222 S ABC1absinC1bcsinA1ac sin B. absinc=bcsin

4、A=acsinB,CD=222在等式两端同除以 ABC,可得 sin Csin Asin B .即abc.cabsin Asin Bsin C3. 向量法证明正弦定理(1) ABC为锐角三角形 , 过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC , 则 j 与 AB 的夹角为90-A, j与CB 的 夹 角 为90-C.由 向 量 的 加 法 原 则 可 得ACCBAB,为了与图中有关角的三角函数建立联系, 我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算 , 得到 j(ACCB) jAB由分配律可得 ACjCBjAB.B| j |AC CoCB CoCABCoAjs90+| j |s(90- )=

5、| j |s(90- ). asinC=csinA.acA.sin A sin C另外 , 过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j , 则 j与 AC 的夹角为 90+C, j与AB的夹角为 90+B, 可得cb.sin Csin B( 此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提, 防止误解为 j与AC的夹角为 90-C, j 与 AB 的夹角为 90-B)abcsin B.sin Asin CBC精选资料，欢迎下载。(2) ABC为钝角三角形 , 不妨设 A90,过点 A 作与 AC 垂直的单位向量 j , 则 j与 AB 的夹角为 A-90 ,j 与 CB 的夹角为 90-C.C由AC

6、CB AB,ACCBAB ,j得 j +j=jAac即 aCos(90-C)=c Cos(A-90),asinC=csinA.ABsin Asin C另外,过点 C作与 CB 垂直的单位向量j ,则j与 AC 的夹角为90 + , j与AB夹C角为90+B. 同理 , 可得bc. abcsin Bsin CsimAsin B sin C4. 外接圆证明正弦定理在 ABC中, 已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC的外接圆 , O 为圆心 , 连结 BO并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB=90， C =B， sin C=sin B=sin Csin Bc .c2R .2Rsin C同理, 可得ab2R. abc2R .sin A2R,sin Asi