一种新型数学教育方式的探索

1、一种新型数学教育方式的探索 “数学建模教学”实验研究小结 洪双义 （北京师范大学 天津附属中学，天津 300200） 摘要：20 世纪90 年代以来，中国数学教育工作者，对“数学建摸”教学活动作了多角度研究，但是作为一种新型的数学教与学的方式，尚未完全形成，还缺少若干要件。因此， 应将“数学建模教学”纳入“MM 教育方式”，用“MM 教育方式”指导数学建模活动。 关键词：数学建模；教一学方式；MM 教育方式 中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1004-9894（2003）02-0091-04 关于“数学建模”活动，中国数学教育工作者，自20 世纪90 年代以来，从“中学数学教

2、学”的角度，进行了一系列的研究探索。比如，文l指出，虽然“建模”一词20 世纪80 年代才输入，但作为一种“数学联系实际”和“将生活生产中的实际问题数学化”的思维方法，华罗庚等数学家，早在五六十年代，就通过数学竞赛培训和撰写“青年数学小丛书” 等途径，向广大师生宣传、普及，但限于“课外活动”；则从现代数学教育观点，简要论述数学建模的特征，数学建模活动对中学数学教学的意义，并为其实施出谋划策。文3则提出中学数学建模活动，其目的在于培养学生应用数学的意识，为学生创造发展空间，并要“探索一条数学的教改之路”，文4则报道了北京15 中对“数学建模教学活动”和引导学生撰写数学建模小论文的卓有成效的实验研

3、究。可是，“数学建模教学”作为一种新型的数学的教学一学习方式，到底应该是怎样的？它的目的、内容、操作、效果究竟如何？在我国当前全力进行数学教材、教法、教学手段和人才培养模式的全方位改革的背景下，为了回答上述问题，2001 年北师大天津附中也对“数学建模教学”进行了一轮研究。至今2 年有余，2 年中，大量激动人心的学生成长、进步的事实（数学学习态度的转变，高考成绩的大幅度提高，数学应用竞赛的突出成绩等）和丰富的实验资料（活动记录，学生对实验的评价和家长的反映，学生的高水平的论文，以及我们活动的计划、方式、过程的评价），使得一种新型的数学教一学方式，一种全新的人才培养模式，在我们的头脑中，逐渐明朗

4、起来，本文从几个方面加以回顾。 1 从对数学本质的薪的认识谈起 “无论人们的意识如何，一切数学教学法根本上都出于某一种数学哲学，即使是很不规范的教学法也是如此（Thom，1971）”，“问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议（Hersh，1979）”， 托姆和赫什的意见是正确的。我们决不能离开数学，不顾数学的本质和特征去探索什么“数学教与学”的方式、方法。 数学是什么？本质如何？这是数学哲学家们争论了许多世纪的一个问题。20 世纪末， 我国数学哲学家林夏水研究员确切地回答了这个问题：“数学是一门演算的科学。”“把数学的演绎性

5、概括为演，把数学的经验性概括为算。”从而用十分生动而通俗的语言，说明了数学本质上是经验性和演绎性的统一，也是希尔伯特和波利亚关于数学问题的2 种来源和数学双重逻辑结构的简明概括。数学与数学教育家徐利治在深入分析英国数学家兼哲学家Whitehead“数学与善”这篇著名讲演中的观点后指出：“数学作为一门抽象性学科，主要是研究理想化的量化模式。”“数学模式（Mathematical Pattern）指的是，按照某种理想化的要求（或某种实际可用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式。”并说：数学模式的含义是极其广泛的，大而言之，凡是按Bourbaki 结构主义观点建立的每个数学

6、分支，都可看作大型的数学模式。小而言之，一个数学公式、一条数学定理、一种计算方法、一类数学问题的合理提法和一般处理方式，甚至按科学抽象法则概括出来的一个数学概念，也都可视为一个小型的数学模式。但必须注意，普适性是构成模式的必要条件。因此，数学中处理各种特殊问题的特殊方法或特殊模型，经过拓广之后也可以成为数学模式。 这告诉我们2 点：我们在课堂上学的概念、公式、命题、法则（甚至一门课）。作为“数学模式”乃是由特殊的“数学模型”（Mathematical Model）拓广发展而来；学习数学必须具有建模（建模型、建模式）的能力，通过学建模而学习数学，乃是一种返朴归真的学习方法。 由“数学是量化模式的

7、科学”出发，来审视我们的数学教学，不难领略到：所谓“数学教学”，我们实际上是在学生的头脑中输入或建构各种数学模式（概念和理论系统）；而通过练习，特别是解各种应用题，我们实际上是促使学生在“模式”指导下，学习建立各种数学模型。 然而，在“应用题”中的建模，是远远不够的，关键在于，那些题目本身，几乎都是经过数学化加工的东西，通过分析或语言、符号转换，很快可以套上某个或某些模式，这里， 缺少了需要学生提出问题的过程，通过抽象概括的问题数学化的过程和寻求解法的过程。 2 “数学建模”教学实验研究概况 2.1 前期准备工作 为了做好这一项微型数学教育改革实验，我们做了如下准备工作：（1）搜集资料，了解国

8、内“数学建模”活动研究情况，熟悉“数学建模”本身的理论依据，反思传统数学教学优势和弊端，做“观念更新”的准备。（2）确定实验目的：探讨通过“数学建模”教学培养学生提问题的习惯、应用数学的意识和创造性思维以及勤于动手的能力的可行性；探索具体的“数学建模”教学的途径、操作方法。实验假设是：如能采用适当的形式，指导学生参与数学建模活动，那么必将有益于他们养成提问题的习惯，增强应用数学的意识，提升他们创造性思维和动手的能力。（3）确定活动的形式和方式：按照数学建模活动的特点，把活动放在课外，组织“课外数学建模小组”，采用研究性学习的方式。 2.2 实验过程 采用学生自愿报名与选拔相结合的形式组建小组以

9、后，搜集了相关资料（明确什么是“数学建模”，大致上“怎样建模”，同时，搜集具有一定开放程度的应用题与建模题，等等）， 制订活动方案之后，即开始活动，采用“三级培训”的方式。 （1）初级培训，又分3 段：初段的任务是使学生明白何为“建模”，确立建模意识。进而通过模仿和实践，品尝由实际问题到建成数学模型的“味道”；中段采用“合作学习”的方式，大量“见识”实际问题，由浅入深，通过合作加以解决；后段着重进行建模训练：几个高考应用题，几个建模题，在解决之后，尝试着撰写成小论文。 （2）中级培训：主要实施专题培训，一是同高考复习相呼应的专题（高中知识通过网络化归纳复习，然后提出应用一类或几类知识的建模题）

10、，二是同“数学知识应用竞赛” 相关的专题，从建模的眼光看应用题，通过建模思想方法去解答和鉴赏应用题，有如体育中的超难、超量训练（如竞走、长跑的绑沙袋），是一种“取法乎上”的培训。这阶段，也可组织建模论文赏析活动。 （3）高级培训。高级培训伴随着师生角色的变化，建模的学习和研究进入高层次，在初级培训和中级培训时，主动的是教师，活动由教师安排，问题由教师提出，活动方法和进程也出自教师，学生不过是旅行团的成员，最多处于半主动的状态。在高级培训中，学生自己提问题，自查资料（上网、到图书馆资料室，甚至进行社会调查）找问题，弄清背景，互相研讨，提出见解，争论质疑，学生说这时的建模小组“更像研究生的讨论班”

11、。在活动的时候，笔者一边给予适当指导，一边参加出主意、想办法，教师的“主意”也常常被反驳掉， 学生们的“翅膀硬了”。看到他们那种严肃认真、事事“真儿”，信心十足的样子，一个个小大人、小科学家宛然在目，笔者好开心。 2.3 成效初见 经过3 个阶段的培训、学习，一方面对“数学建模”了解了、熟悉了，兴趣和感情加深了，积极性、主动性得以发挥，特别是他们在建模、竞赛、考试、著文中拿出成果、获得成功，尝到乐趣之后，个个变得更加成熟。他们自主地从生活、生产、环保、学习中提出的问题，多种多样。如“怎样才能更节省能源一个烧开水模型”，通过实验的理论分析，建立一个二次函数模型，获得一个简明的结论是：当水灌到水壶

12、容积的23 时，最节省能源。又如，他们的建模选题还有“给病人更多的快乐论血液透析的最佳疗法”，“最佳搭配原则关于婚姻、合作学习结组的数学模型”，“交通中的绿色带一一一种关于红绿灯改造的模型”，“色盲为什么男多女少色盲中b x 比例的变化”，“把控胜败的关键趣谈任意球的得分方法”，“关于人的状态与时间变化关系的一种模型”。不难看到，这几篇论文已涉及到生活中的不少热点问题，尽管由于知识面窄等局限性，他们获得的模型和结论可能粗浅， 不见得“合用”，但是研究的经历和体验，是十分珍贵的，所学到的东西，是他们在课本中、课堂上无法学到的。 “数学建模活动”在课外进行，增强了学生应用数学的意识和创造性思维能力

13、，而且也促进了课内学习，不少学生由不喜欢数学、兴趣一般而变得喜欢数学，参加建模活动的同学， 成绩上去了，起到了示范作用。在建模活动中，老师的教学方式、学生的学习方式的变化， 使大家的“角色”在转变，师生都尝到了这种变化的甜头，从而，促进了数学教育改革，实现真正的数学素质教育的效果逐渐地显现出来。 3 启示 反思2 年来开展建模活动的经历，不禁感慨万千，启示多多，现摘其要者归纳如下几点： 3.1 对中国学生动手能力差的反思 在众多的报道中国学生获取数学奥林匹克金牌，对中国学生的智能同它国学生进行对比分析，以及中国教育研究的文献中，总是套用一个老生常谈的公式：“中国学生基础扎实， 考试能力强、成绩

14、好，但是创造性思维欠缺，动手能力差。”这个同“心灵手巧”如此相悖的“事实”、“结论”一再地表现出来，到底是真是假？这种“学而优则笨拙”、“学生差反聪明”到底是怎么回事呢？许多人观看中央电视台“异想天开”节目，不觉对此疑窦丛生：某中学学生任渊，平时各科学习都很好，又特喜欢发明创造，几经周折研制了声控喂鱼器（通过打个电话可喂家里养的金鱼），以及胜利油田一中，一个小组同学研制“无动力摆渡船” （靠一个阻力板转换水力方向驱动船行）成功，以及大量事实告诉我们：学习成绩优异和创造才能是相辅相成的，动脑和动手能力往往是一致的。在我们的建模活动中，许多学生之所以能够“建模成功”不仅是发挥了动脑的能力，而且也体

15、现了动手实验（如构造烧水节能模型中，做了数十个烧开水的实验采集数据），社会调查（如到交通路口观察车流，到医院访谈血液透析疗法等等）和实践的能力。因此，我们的看法（“建模活动”证实的结论）是： 中国的每个学生都有创造的潜能，动手和动脑的能力；学而优则创造力强，学好双基和动手发明创造，是一致的。至于在某些情况下、某些测试中，出现的与理相悖的现象，那不是学生的问题，不是必然现象，而是我们的教育方式和培养人才模式上出了问题。是由于没有为孩子们创设他们动手、动脑、发挥创造才能的机会，而“数学建模”正是在这里大做文章。 3.2 对一种新型的数学教与学方式的呼唤 建模活动的过程和成果告诉我们，我们的数学课堂

16、教学需要改革：（1）对数学的概念、公式、定理、法则的教学，应该渗透数学模式观的思想，采用返朴归真的方法，使学生经历“再建模”（构建数学模式，这是徐利治教授的主张）的过程。（2）在“应用题”的教学中， 则应逐渐渗透数学建模（建立数学模型，这是众多研究者的主张）的思想，逐渐增加“开放型应用题”的教学，同时着意培养学生提问题的习惯和能力，让学生尝试“实际问题数学化” 的过程。（3）课内缺乏对学生自主地、通过研究与合作进行学习和动脑动手相结合地学习的机会，呼唤着有一定的“课外学习”（不是指课外作业）相配合。（4）呼唤着师生角色的转换：“数学建模”只能通过学生自己动脑动手（动脚、动口、动眼去观察，调查）

17、去完成， 是老师的“讲”代替不了的。这启发我们，既然课内学习是学生在自己的头脑中建立“数学模式”（Mathematical Pattern），那么同样是教师代替不了的，同样呼唤着角色的转变（学生由观众变演员，教师由演员变导演）。（5）数学模型（Mathematical Model）与数学模式是有区别的，主要是在“普适性”上不同，模型与模式是特殊与一般的关系，但它们之间没有不可逾越的鸿沟。学生在“解应用题”时，就是在运用模式，在建模型问题；而建立数学模型通过拓广、泛化也可能通向具有广泛意义的数学模式。 3.3 “数学建模教学”与“MM 教育方式”的结合 由上面叙述中，不难看出，“数学建模教学”已

18、经具备了作为一种数学教育方式的某些要件，至少，从这种活动中，我们可以领悟到数学教育改革的必要性、方向和某些举措。但是，它本身还存在着“由骨子里产生的”不足，使它不能作为一种教育方式来使用。 （1）数学建模着眼于“应用”，“为实际问题建模”，因而在带来实际教学效益的同时， 也容易给人带来数学“单纯实用”的感觉。我们知道，“实用主义”曾经对我国数学教育带来很大的危害，现在在某些人的头脑中、言行中还有不少的残留。忽视数学的文化教育功能， 单纯强调其技术教育功能，即可实用的一面，“无用的”（眼前看到没有什么实用价值的，如数学证明、趣味数学、平凡中的4 点共圆、公理方法等）就砍，对数学教育是极为有害的！ 对此，我们建议，在引导学生“建模”时，不但要建构“硬数学”应用之模，也可建立软数学（数学的思想方法）之模。如怎样认识法律（构建应用公理化系统的法律模型），侦破和断案模型，医疗诊断模型，某些文化模型，等等。在我们学生的选题中，已出现一些端倪。 （2）“数学建模”只是依据数学的本性（波利亚的解题学说），因而，如果作为一个数学教育方式，显得“底气”（理论依据）不足；数学建模活动，只是数学教学某一个或几个教学环节的改革，而不能用于全方位的数学教学（比如，它不适用于双基的系统教学）改革。这是应当清醒地认识到的。因此，应尽可能把它融入