专题16 导数大题解题模板（理）（原卷版）

1、专题16 导数大题解题模板模板一：函数的单调性、极值、最值问题第一步：确定定义域、求导数：求的定义域,求的导数；第二步：解方程：求方程的根；第三步：列表格：利用的根将定义域分成若干个小开区间,并列出表格；第四步：得结论：由在小开区间内的正、负值判断在小开区间内的单调性,从表格观察的单调性、极值、最值等；第五步：再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意,另外观察的间断点及步骤规范性。例1-1设函数。(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值；(3)若方程有实数解,求实数的范围。变式1-1设,求函数,的单调区间。变式1-2已知函数,讨论的单调性。变式1-3已知函数(),求函数的单调区间。变

2、式1-4设函数()在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线。(1)求、的值；(2)若函数,讨论的单调性。模板二：利用导数求函数的单调区间,判定函数的单调性,求参数的取值范围应用函数零点求参数值或取值范围的基本方法考虑分离参数的方法。然后转化为恒成立的问题或者求值域的问题来解决,能不能合理有效的分参,关键是看参数的系数及其参数的次数和独立性。第一步：求函数的定义域,求函数的导函数；第二步：分离参数,转化为恒成立问题,即大于最大,则大于所有；小于最小,则小于左右；对参数进行分类讨论；第三步：通过移项构造新的函数,讨论这个新的函数的单调性、最值,利用最值问题、恒成立关系等讨论参数或证明不等式；第四

3、步：反思检验,查找易错、易漏点,规范答题的严谨性。例2-1已知函数,若,求的取值范围。变式2-1已知函数,当和时取得极值。(1)求和的值；(2)若对于任意,恒成立,求的取值范围。变式2-2已知函数。(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)若当时,求的取值范围。变式2-3已知函数的最小值为,其中。(1)求的值；(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值。变式2-4已知函数()。(1)设函数,求函数的单调区间；(2)若,在上存在一点,使得成立,求的取值范围。模板三、导数的证明问题方法总结：(1)分析法：利用划归转化思想；(2)构造函数：转化为求函数最值问题；(3)利用均值不等式；(4)利用不等式：整

4、合函数解析式；几个常见不等式：()；()。例3-1已知函数。证明：。变式3-1已知函数,。证明：若,则对任意、,有。变式3-2已知函数,。(1)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式；(2)对(1)中的和任意的、,证明：。变式3-3设,且曲线在处的切线与轴平行。证明：当时,。课后练习1已知函数,曲线在点处的切线的方程为：,又当时有极值。(1)求、的值；(2)求在上的最大值和最小值。2已知函数。(1)求的最小值；(2)若对所有都有,求实数的取值范围。3已知函数,(),设。(1)求函数的单调区间；(2)若以函数,的图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值。4设函数在及时取得极值。(1)求、的值；(2)若对于任意的,都有成立,求的取值范围。5设函数。(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值；(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围。6已知,。(1)求函数的单调区间；(2)求函数在()上的最小值；(3)对一切的,恒成立,求实数的取值范围。7已知函数(且)。(1)若在定义域上为增函数,求实数的取值范围；(2)求函数在区间上的最小值。8设函数。(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围；(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值。9已知函数()。(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数的值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时,记函数的