第三章静态场及其边值问题的解

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ； (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 (4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差； (5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法

2、二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。 计算电导的方法三计算电导的方法三： 静电比拟法：静电比拟法： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 40 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为

3、求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b， 长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。 解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法 电导电导 绝缘电阻绝缘电阻 则则 设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 41 本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量

4、磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 42 微分形式微分形式: : 1. 基本方程基本方程 2. 边界条件边界条件 本构关系：本构关系： 或或 若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则 积分形式积分形式: : 或或 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 第3章 电磁场与电磁波电

5、磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 43 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标 量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 由由 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度 造成的。为了得到

6、确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁 场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 44 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程 在无源区：在无源区： 矢量泊松方程矢量泊松方程 矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢

7、位的表达式磁矢位的表达式 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 45 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件 对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量： 细线电流细线电流：面电流面电流： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 46 例例 3.3.1 求求小圆环电流回路的远区

8、矢量磁位与磁场。小圆形回小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回 路的半径为路的半径为a ，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性， 矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平 面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。 小圆环电流小圆环电流 a I x z y r R I P O 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 47 对于远区，有对于远区，有r

9、 a ，所以，所以 由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成 于是得到于是得到 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 48 式中式中S =a 2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 49 解解：先求长度为：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距离的

10、距离 。则。则 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。 与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流 的磁矢位的磁矢位 x y z L -L 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 50 2. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导 电流（

11、电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有 即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来 描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程 将将 代入代入 等效磁荷体密度等效磁荷体密度 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 51 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件 在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各

12、向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式 和和 和和 式中：式中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度 或或 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 52 1. 磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 C I 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成

13、的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 i C I o 粗回路粗回路 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 53 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链 为为 ，则磁链，则磁链

14、与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值 称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感 2. 自感自感 内自感；内自感； 粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与 电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 54 解解：先求内导体的内自感。

15、设同轴：先求内导体的内自感。设同轴 线中的电流为线中的电流为I ，由安培环路定理，由安培环路定理 穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS = d 的磁通为的磁通为 例例3.3.3求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体，外导体 厚度可忽略不计，其半径为厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。 得得 与与di 交链的电流为交链的电流为 则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版

16、社出版社 出版出版 55 因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为 故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为 再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。 则则 故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为 单位长度的总自感为单位长度的总自感为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 56 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路 C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过 电流电流 I1 时，时， I1产生的磁场不仅与产生的磁场不仅

17、与 回路回路 C1 本身相交链，而且与回路本身相交链，而且与回路 C2 交链，交链的磁链交链，交链的磁链 21 也与也与 I1 成正比，其比例系数成正比，其比例系数 称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。 3. 互感互感 同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为 C1 C2 I1 I2 R o 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 57 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与

18、回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 58 由图中可知由图中可知 长直导线与三角形回路长直导线与三角形

19、回路 穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I ，根据根据 安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.4 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角 形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 59 因此因此 故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿

20、业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 60 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的 能量，就全部转化成磁场能量。能量，就全部转化成磁场能量。 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场具有能量。 磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回

21、路中的感应电动势要阻止电流的增加，因零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。射损耗。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 61 设回路从零开始充电，最终的电流为设回路从零开始充电，最终的

22、电流为 I 、交链的磁链为、交链的磁链为 。 在时刻在时刻 t 的电流为的电流为i =I 、磁链为、磁链为 = 。 (01) 根据能量守恒定律，此功也就是电流根据能量守恒定律，此功也就是电流为为 I 的载流回路具有的的载流回路具有的 磁场能量磁场能量Wm ，即，即 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 外加电压应为外加电压应为 所做的功所做的功 当当增加为增加为(+ d)时，回路中的感应电动势时，回路中的感应电动势: 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电

23、子音像出版社出版社 出版出版 62 2. 磁场能量密度磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。 磁场能量密度：磁场能量密度： 磁场的总能量：磁场的总能量： 积分区域为电场积分区域为电场 所在的整个空间所在的整个空间 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 63 例例3.3.8 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a ，外导体的内、外半径

24、外导体的内、外半径 分别为分别为 b 和和 c ，如图所示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆，试求同轴电缆 中单位长度储存的磁场能量。中单位长度储存的磁场能量。 解解：由安培环路定理，得：由安培环路定理，得 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 64 三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子

25、音像电子音像出版社出版社 出版出版 65 单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 66 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容本节内容 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理 边值问题边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中

26、国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 67 3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数值，即上的位函数值，即 第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面已知场域一部分边界面S1 上的上的位函数值，而另一部分边界位函数值，而另一部分边界 面面S2 上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（或混合边值问题）第三

27、类边值问题（或混合边值问题） 第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题） 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 68 自然边界条件自然边界条件 （无界空间）（无界空间） 周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 69 例：例： （第一类

28、边值问题）（第一类边值问题） （第三类边值问题）（第三类边值问题） 例：例： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 70 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的的 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具 有惟一值。有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理 惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据

29、为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 71 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 反证法反证法：假设解不惟一，则有两个位函数：假设解不惟一，则有两个位函数 和和 在场域在场域V内满足同样的方程，即内满足同样的方程，即 且在边界面且在边界面S 上有上有 令令 ，则则在场域在场域V内内 且在边界面且在边界面S 上满足同样的边界条件。上满足同样的

30、边界条件。 或或 或或 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 72 由格林第一恒等式由格林第一恒等式 可得到可得到 对于第一类边界条件：对于第一类边界条件： 对于第二类边界条件：若对于第二类边界条件：若 和和 取同一点取同一点Q为参考点为参考点 ，则，则 对于第三类边界条件：对于第三类边界条件： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 73 本节内容本

31、节内容 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 74 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或

32、介质表面附近时，导体和介质表面 会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场 的分布。的分布。 非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代 1. 问题的提出问题的提出 几个实例几个实例 q q 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 接地导体板附近有接地导体板附近有 一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所 示。示。 qq 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 等效电荷等效电荷 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版

33、社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 75 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。 非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。 q q 非均匀感应电荷非均匀感应电荷 qq 等效电荷等效电荷 结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷

34、的作用。 问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？ 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 76 2. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均 匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无

35、限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程 得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不 变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一 泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且 是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多 种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求

36、解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。 3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 77 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。 4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点 5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则 等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。 镜像电荷的确定镜像电荷的确定 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电

37、荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 78 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 镜像电荷镜像电荷 电位函数电位函数 因

38、因 z = 0 时，时， 有效区域有效区域q q q q 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 79 上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数 q q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 80 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线

39、电荷对无限大接地导体平面的镜像 镜像线电荷：镜像线电荷： 满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。 电位函数电位函数 原问题原问题 当当z = 0 时，时， 有效区域有效区域 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 81 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷电荷q 位于位于(d1

40、, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及 q2 对平对平 面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 ) 对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一 镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能 得到满足。得到满足。 电位函数电位函数 d1 1 q d2 2 RR1 R2R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿

41、业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 82 例例3.5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它 移至无穷远处，需要做多少功？移至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电时，外力需要克服电 场力做功，而电荷场力做功，而电荷q受的电场力来源于导受的电场力来源于导 体板上的感应电荷。可以先求电荷体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至移至 无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。 q q x = 0 d -d 由镜像法，感应电荷可以

42、用像电荷由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷替代。当电荷q 移移 至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 83 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷不影响原方程）

43、，且在点电荷q与球与球 心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径 为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。 方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。 问题问题： P q a r R d q P a q r R R d d 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 84 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零， 即即 0，得，得 此式应在整个球面上

44、都成立。此式应在整个球面上都成立。 条件条件：若：若 像电荷的位置像电荷的位置 像电荷的电量像电荷的电量 常数常数 q P q a R R d d O 由于由于 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 85 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。 球外的电位函数为球外的电位函数为 导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为 球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为 第3章 电磁场与电磁波电磁

45、场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 86 点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电 荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？） a q d o b q rR R a q

46、 d O d 与点荷位于接地导体球外同与点荷位于接地导体球外同 样的分析，可得到样的分析，可得到 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 87 球壳内的电位球壳内的电位 感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为 导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为 可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波

47、中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 88 2 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应的感应 电荷分布，则电荷分布，则 导体球不接地时的特点导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。电荷为零。 采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来

48、确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不 接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。 P q a r R d O 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 89 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电 荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用一个位 于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即 球外任意点的电

49、位为球外任意点的电位为 q P a q r R R d d q O 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 90 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度 为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的 轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d 。 图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱 图图2 线电荷与导体圆柱

50、的线电荷与导体圆柱的 镜像镜像 特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。同产生。 分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。 1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 91 由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当

51、 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数 由于上式对任意的由于上式对任意的 都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 92 导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数： 由由 时，时， 故故 导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为

52、 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 93 2. 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体 图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 特点特点：由于两圆柱带电导体的电场互由于两圆柱带电导体的电场互 相影响，使导体表面的电荷分布不均相影响，使导体

53、表面的电荷分布不均 匀，相对的一侧电荷密度大，而相背匀，相对的一侧电荷密度大，而相背 的一侧电荷密度较小。的一侧电荷密度较小。 分析方法分析方法：将导体表面上的电荷用线将导体表面上的电荷用线 密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根的两根 无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如图 2 所示。所示。 问题问题：如图如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的 半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单 位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高

54、等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 94 图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。种方法又称为电轴法。 由由 利用线电荷与接地导体圆柱面利用线电荷与接地导体圆柱面 的镜像确定的镜像确定b 。 思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？ 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音

55、像电子音像出版社出版社 出版出版 95 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质 分界平面分界平面 特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产 生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分 布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷 与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。 图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷 问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同

56、电介质的分界面是无限 大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q ， 距分界平面为距分界平面为h 。 分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用 位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电 常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 96 介质介质1中的电

57、位为中的电位为 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位 于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充 满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为 图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 97 可得到可得到 说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行

58、于分界面对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面 的无限长线电荷（单位长度带的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为 利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 98 图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质 分界平面分界平面 图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线 电流电流 特点特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，产生的磁场作用下， 磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流磁介质被磁化，在分

59、界面上有磁化电流 分布，空间中的磁场由线电流和磁化电分布，空间中的磁场由线电流和磁化电 流共同产生。流共同产生。 问题：问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为 和和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面， 在磁介质在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于中有一根无限长直线电流平行于 分界平面，且与分界平面相距为分界平面，且与分界平面相距为h。 分析方法分析方法：在计算磁介质在计算磁介质1中的磁场时，中的磁场时， 用置于介质用置于介质2中的镜像线电流来代替分界中的镜像线电流来代替分界 面上的磁化电流，并把整个空间看作充满面上的磁化电流，并把整个空

60、间看作充满 磁导率为磁导率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。 3.5.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 中国矿业大学中国矿业大学编写编写 高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 99 因为电流沿因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢轴方向流动，所以矢 量磁位只有量磁位只有y 分量，则磁介质分量，则磁介质1和磁介质和磁介质 2中任一点的矢量磁位分别为中任一点的矢量磁位分别为 图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像的镜像 线电流线电流 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场