153定积分的概念

1、 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，

2、注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面

3、积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 求由连续曲线求由连续曲线y=

4、=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用 高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积 f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的 面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯 形面积形面积S的近似值：的近似值： xi y=f(x) x y Oba xi+1xi xD 1 lim( ) n i n i Sfxx = =D 1 ( ) n i i Sfxx = D

5、 (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成 n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x ba n - = 11211 , iin a xx xxxxb - 一、定积分的定义一、定积分的定义 11 ( )( ) nn ii ii ba fxf n xx = - D = 小矩形面积和S= 如果当n时，S 的无限接近某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 b a (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步 曲

6、曲”: 分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决. 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 O ab x y )(x

7、fy = = = = b a Idxxf)( ii n i xfD D = = )(lim 1 0 x x 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 积分下限积分下限 积分上限积分上限 S= b a f (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间 a, b内运动的距离s为 s= b a v(t)dt。 定积分的定义： O ab ( )vv t= t v 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = -

8、= b a 即 11 2 00 1 ( ) 3 Sf x dxx dx= 根据定积分的定义右边图形的面积为 1x y O f(x)=x2 1 3 S = 1 SD 2 SD 2 ( )2v tt= -+ O O v t t 1 2g gg g g g 3 SD j SD n SD 1 n 2 n 3 n j n 1n n - 4 SD 11 2 00 5 ( )(2) 3 Sv t dttdt=-= 根据定积分的定义左边图形的面积为 b a f(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及

9、积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即 （2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b b a a f f( (x x) )dxdx = = b b a af f ( (x x) )dx dx - -(3)(3) (2)定积分的几何意义： Ox y ab y=f (x) b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxf b a )( 在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=b 时，有 b a f (x)dx=0。 当f(x)0时

10、，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方， x y O dxxfS b a )(-= =- ， dxxf b a )( ab y=f (x) y=-f (x) dxxfS b a )(-= b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S 上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义： 积分 b a f (x)dx 在几何上表示 b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S ab y=f (x) Ox y ( )yg x= 探究探究: 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分

11、表示图中阴影部分的 面积面积? a b y=f (x) Ox y 1 () b a Sfx dx= ( )yg x= 12 ( )( ) bb aa S S Sf xdxg xdx= -=- 2 ( ) b a Sg x dx= 三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(f b a = = b a b a dx)x(gdx)x(f 性质性质2. 2. b a dx)x(kf = = b a dx)x(fk 三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 = = b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = = 2 12 1 c c b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f Ox y ab y=f (x) 性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有 ab y=f(x) b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dx b c f (x)dx。 cOx y b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 例例1：利用定积分的定