1990考研数二真题及解析

1、佃90年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)3nt =点处的法线方程是6X = cos t t ,宀十曲线2上对应于点3y = sin t1 tan_1(2)设 y = e X sin ，贝y yr=X1 (3) x .1-xdx = .-J3-13 下列两个积分的大小关系是：c e dx f ex dx.J_2 J_21 Ixl兰1 设函数f(x),则函数ff(x) =0, |x1二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知(A)(C)

2、x2lim Flx+1a =1,b = 1axb =0,其中a,b是常数，则Ja = 1,b - -1(B)(D)a 1,b = -1设函数f(x)在(-：，=)上连续，则d f(x)dx等于(A) f(x)(B)f(x)dx(C) f(x) C(D)f (x)dx2 已知函数f (x)具有任意阶导数，且f(X)二f(x),则当n为大于2的正整数时，f(X)的n阶导数f(x)是()(A) n!f(x)n1(B)nf(x)n1(C) f(x)2n(D)n !f(x)2n设f (x)是连续函数，且F(x)e=iXf(t)dt，则 F (x)等于()(A) -e f(e) - f (x)(B)-ef

3、(e) f(x)(C) ef(er_ f(x)(D)e f (e) f(x)设F(x)=号f(o).x = 0,其中 f(x)在 x=0 处可导，f (0) =0, f (0) =0,则 x = 0x =0是F(x)的(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1)已知lim(匚空)x =9 ,求常数a.x a 求由方程2yx =(xy)l n(xy)所确定的函数y = y(x)的微分dy .1求曲线y2(x 0)的拐点1 +x(4)计算為dx.(5)求微分方程xlnxdy+(ylnx)dx=0满足条件yx=e=1的特解四、

4、(本题满分9分)x2y2在椭圆二2 =1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所a b围图形面积为最小(其中a 0,b0).五、(本题满分9分)1 応 证明：当x 0 ,有不等式arctan x -.x 2六、(本题满分9分)x In t1设 f (x)dt,其中 x 0,求 f(x) f()1 1 +tx七、(本题满分9分)过点P(1,0)作抛物线y=寸厂2的切线，该切线与上述抛物线及 x轴围成一平面图形 求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程y 4y 4 eax之通解，其中a为实数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、

5、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1（1）【答案】y-丄8【解析】将t在代入参数方程得宀在匕处的函数值：7 得切点为（3J3,）8 8过已知点（xo,y）的法线方程为y-y = k（x-冷），当函数在点（心丫。）处的导数”1兀y x和时，k所以需求曲线在点t处的导数.x Ky （xo）6由复合函数求导法则，可得dy =dy dx dtdtdydx3sin21 cost,2tant,dxdtdt-3cos tsintyx法线斜率为k3.所以过已知点的法线方程为y 一 1 h：j3(x - 3 3)8 8【相关知识点】复合函数求导法则:如果u =g(x)在点x可导，而y = f (x

6、)在点u = g(x)可导，则复合函数 y = f lg(x)l在点x可导,且其导数为【答案】1 tan e x2 1 sec xdydx= f (u) g (x)或齐册-1-2x/ 11 tan sin e xxcos1 Jx x2【解析】原函数对x求导，有【相关知识点】1.y= eX丿I )xIX丿(1 丫1tan11 ( V.tan sin-+eAcos- l 一I x丿xxlx丿sin1tan)e x+ 1 tanx二 e1tan丄sin e xtan!1x sinf + 1彳 八tan；2 1 -1=e sec 2lx x丿两函数乘积的求导公式：sin1 extan：xf(x) g(

7、x) - f (x) g(x) f(x) g (x).2.复合函数的求导法则：如果u = g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u二g(x)可导，则复合函数y二f lg(x) 1在点x可导,且其导数为齐 f(u) g(x)或dydxdy du=Tdu dx4【答案】15【解析】对于原定积分，有换元法或拆项法可选择 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果,不管是何种方法，最终的目的都是去方法1:换元法，令、1 - x二t,原积分区间为0岂X乞1,则0乞1 - X乞1,进而0乞、一 1 - X乞1,新积分区间为0乞t乞1 ；当x=0时,t =1,当x=1时，t=0,故新积分上限为

8、0,下限为1. _ 1_1d , 1 - x = dt = dtdx dx,则 dx 二-2tdt.2 J1 x2t0 2原式二(1-t2) t (-2tdt)1方法2:拆项法,2t2-t4 dtft51515XhX-11,原式二1 .川X-11 、1-xdx1 1 31 -xdx I i1-x 2 dx2 2 _ J-3 5 一 15【答案】【解析】由于3 .x e3ex在-2,-1连续且3卜,根据比较定理得到广e3dxn f-2-2ex dx.【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下:若f(x)与g(x)在区间a,b( a,b为常数,a：b)上连续且可积,且f(x)_

9、g(x),则bb有.f (x)dx 亠：g(x)dx.aa【答案】1【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域 函数的所有可能的解析式.,不能遗漏，求出复合后根据f (x)的定义知,当|xQ时,有f(x)=1.代入ff(x),又f(1)=1.于是当|x1时,复合函数ff(x) =1 ；当 |x| 1 时,有 f(x) =0.代入 ff(x),又 f (0) =1,即当 |x| 1 时,也有 ff(x)=1 因此,对任意的X (：，=),有ff(X)三1.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】C本题考查多项式之比当X：时的极限.由题设条件，有X2IX +1Pm

10、(1 一a)x2 -(a b)x-b-0,a=，否则lim(1_a)x2 _(a + b)x_b、a+b=O,FX+1丿严0.分析应有所以解以上方程组，可得a =1,b二-1.所以此题应选 C.【答案】B【解析】由函数的不定积分公式：若 F (x)是 f (x)的一个原函数,f (x)dx = F (x) C , dF (x) = f (x)dx,有d f(x)dx = f (x)dx dx = f (x)dx.所以本题应该选(B).【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法为方便记y=f(x).由y#y2,逐次求导得324y =2yy =2y ,y =3!y y =3!y，由第一归纳法，可归纳

11、证明y(n)二n!yn 1.假设n =k成立，即y(k)=k!yk1,则y(f = y(订珂k!yk* = (k+1)!yk V二 k 1 !yk1 d,所以n二k1亦成立，原假设成立.【答案】A_xe 【解析】对F(x)f (t)dt两边求导数得LxF (x) = f (e(ej - f (x)(x)(ej - f (x).故本题选A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 F(t)一. f (x)dx,(t) , ：(t)均一阶可导，则F (t)二 1 (t) f：(t)丨(t) f(t)l.2.复合函数求导法则：如果u =g(x)在点x可导，而y= f (x)在点u =g(x)

12、可导，则复合函数y = fg(x) 1在点x可导,且其导数为= f (u) g (x)或dy = y .dxdx du dx【答案】B【解析】由于lim F(x) =lim f (x) =lim f (x) - f(0),XQx 0 xx0x_0由函数在一点处导数的定义f(Xo)=limm = lim f(x rx) f(x)Ax 心T得 lim F (x)=厂(0)式 0 = f (0) = F (0),【相关知识点】所以函数不连续，且极限存在但不等于函数值，故为第一类(可去)间断点，故本题选B.1. 函数y二f (x)在点连续：设函数f(x)在点的某一邻域内有定义如果lf(xHf(x0),

13、则称函数f(x)在点x0连续.2. 函数f(X)的间断点或者不连续点的定义：设函数 f (x)在点x0的某去心邻域内有定义 只要满足一下三种情况之一即是间断点(1) 在X=x0没有定义；(2) 虽在= x0有定义，但lim f (x)不存在；(3) 虽在 = x0 有定义，且 lim f (x)存在，但 lim f(x)=f(x0);通常把间断点分成两类：如果怡是函数f (x)的间断点，但左极限f(x)及右极限f (x)都存在，那么x0称为函数f (x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点 三、(每小题5分，满分25分.)1(1)【解析】此题考查重要极限：lim(1)

14、x =巳或由x = lim(1 -)xx(xa(1 a)a=limxxx厂 a三7(1 )xae2a -a =e =9, e= xim：2ax 一 a2a同理可得a =ln3.(2)【解析】方程两边求微分，得2dy -dx = ln(x - y) d (x - y) (x - y) d ln( x - y)二(dx -dy)ln( xy) (xy)dxd x y整理得dy=gdx.(3)【解析】对分式求导数,有公式U 丿u v ；uv,所以v-2x, 2(3x2-1)y毛，y(1 + x )(1 + x)11 1令y“=0得x：，y 在此变号,即是x时，yO；x：. 时,.0;3 -,3-73

15、13故拐点为(，一).43 4【相关知识点】1.拐点的定义：设函数f(x)在点x的某一邻域连续，函数f (x)的图形在点 xo处的左右侧凹凸性相反，则称(xo, f (xo)为曲线f (x)的拐点.2.拐点判别定理：(1) 设函数f(X)在(xo-：,Xo，)连续，在去心邻域(xo-：,xo r) 对,就是区间 (x0-6,+6)内不包括点x0二阶可导，且f(x)(x-x0)在Ocx-xo C6上不变号，则 (xo, f(X。)为拐点(2) 设函数 f (x)在(xo -X。、)二阶可导,f(X。)=0,又 f (Xo) = O,则(Xo,f(X。)为拐点本题利用第一个判别定理就足够判定所求点

16、是否是拐点了【解析】由一d(1 _X)二d 有(1X)2(1X)2(1X)腭dxxd亡)分部法黑e七dxC为任意常数,如果选择不当可能引起更繁杂的计,积累经验xln xIn |1 - x | C ,1 -x注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 算,最后甚至算不出结果来在做题的时候应该好好总结【相关知识点】分部积分公式：假定u二u(x)与v = v(x)均具有连续的导函数，则uv dx = uv - u vdx,或者 udv 二 uvvdu.（5）【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程，其标准形式为* 11y y =xln xx由于exlnx =i积分得y ln x =ln x通解为y

17、 =2代入初始条件yx圭=四、（本题满分9分）In x x |,两边乘以Inx得(yln x)xln x dx C ,xC+ .ln x11可得C ,所求特解为y =ln x 1 +22ln x【解析】对椭圆方程进行微分,有 xd2x -ab2dx a y过曲线上已知点（xo,y。）的切线方程为y y。= k(x - Xo),当 y (xo)存在时,k = y (xo).所以点（x, y）处的切线方程为 Y - y二孚（X -x）,化简得到a y21 a2SJx -1 二 ab,x (0, a). y 4a,b为常数，欲使得S的最小，则应使得xy最大；从而问题化为求 u =xy（ y由椭圆方程

18、所确定）当x（0, a）时的最大值点令 u = xy,u = xy y = 0 ,得 y=2 2,再对x2 y? = 1两边求导得x a ba合可得x （唯一驻点）,即在此点u-xy取得最大，S取得最小值.2分别令X =0与Y = 0,得切线在x, y上的截距分别为 x,故所求面积为又由椭圆的面积计算公式二ab,其中a,b为半长轴和半短轴a,x 必为最小由于xin4S(xxlirn_0S(xHc,所以S(x)在(0, a)上存在最小值点,所求P点为五、(本题满分9分)【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边，令其为f(x),另一边剩下0,再在给定区间内讨论f (x)的单调性即可证

19、明原不等式4 H11令 f (x) = arctanx,则 f (x) 22 ： 0 (x 0).因此，f (x)在x 21+x xn (0, ：)上单调减；又有lim arctanx,所以j枫2兀 1 兀1lim f(x) = lim () = lim 0,xJj 2 x 2 x 厂：x故0 ： x ： :时，f (x) lim._ f (x) =0 ,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)1【解析】方法1： f(-)xdt ,由换元积分t1 t1 -1 1,dt 二飞 du , t :1u :1 ； x ；xu2所以x lnt1 tdtIn uu(u 1)du .由区间相同的积分式的可加性

20、 ，有x In tdt1 t(t 1)晋dtI n2x.21方法 2：令 F(x)二 f(x) f (一)，则xF(x)In1x-1In x由牛顿-莱布尼兹公式，有x In x1F (x) - F (1)dx In x,而 F(1 11Inx刃x2112：dx = 0,故 F (x)二 f (x) f ( ) In x . xx 2F(x)为 f (x)在a,b上【相关知识点】 牛顿-莱布尼兹公式：设函数f(x)在a,b上连续, 的任意一个原函数，则有bbL f(x)dx = F(x)a = F(b)-F(a).此切线过点P(1,0),所以把点P(1,0)代入切线方程得xo = 3,再X。二3

21、代入抛物线方程得1 1y0 =1, y (3) =丄 由此，与抛物线相切于2、3-221(3,1)斜率为-的切线方程为2x -2y =1.旋转体是由曲线 y =f(x)，直线x-2y=1与x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的，求旋转体体积V :方法1：曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差，套用已有公式得1 】(x_1)34 3Hx2-2x)3JI方法2:曲线表成x是y的函数，并作水平分割，相应于y, y dy 1小横条的体积微元，如上图所示，dV =2二 y|_(y22) -(2y 1) dy，是，旋转体体积V = 2和1 (y3 -2y2 + y)dy = 2沢卩 y- y

22、- y20432 .丿 06【相关知识点】1.由连续曲线y = f(x)、直线x =a，x =b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴b 2旋转一周所得的旋转体体积为：Vf 2(x)dx.La2.设f (x)在a,b连续，非负，a 0,则曲线y二f(x),直线x二a, x二b及x轴围成的平b面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：V =2二xf(x)dx(可用微元法导出).八、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程，特征方程r2 4r 0的根为r1 = r2 - -2 ,原方程右端ex =e*中的=a .-2时,可设非齐次方程的特解1Y=Ae ,代入万程可得A = . 2)2 ,=-2时

23、,可设非齐次方程的特解2 axY =x Ae ，代入方程可得所以通解为ax_2xey = (Ggx)e2(a+2)2(a = -2),2_2x/丄2x丄X ey =(C| qx)e2(a 一2).【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y (x)是二阶线性非齐次方程 P(x)y Q(x)y = f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y P(x)y Q(x)y = 0的通解，则y = Y(x) y*(x)是非齐次方程的通解2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y： Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程 变为y py qy =o.其特征方程写为r2 pr 0,在复数域内解出两个特征根 *, ； 分三种情况：(1)