FIR滤波器PPT课件

1、FIR滤波器 第四章 FIR滤波器的设计方法 线性相位FIR数字滤波器的特性 窗口设计法 IIR与FIR数字滤器的比较 FIR滤波器 学习要求：掌握线性相位的条件；熟练 掌握FIR线性相位滤波器的幅频特性；会 用窗口法设计FIR滤波器。 FIR滤波器 1、FIR数字滤波器数字滤波器 FIR数字滤波器的差分方程描述 对应的系统函数为： FIR滤波器 FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点优点 （1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号 处理、数据传输等系统中非常重要； （2）永远稳定，如果它的有限长单位脉冲响应是非因 果的

2、，总能够通过适当的移位得到因果的，所以不存在 是否可实现的问题； FIR滤波器 FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同， 对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而 FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。 FIR滤波器 4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 4.1.1 4.1.1 线性相位特性线性相位特性 1、线性相位特性、线性相位特性 相位特性是系统的一个特性，要研究系统的相 位特性可求其傅立叶变换。 FIR滤波器 例：对于一个系统要实现无失真传输则系统响应 y(t)与激励f(t)的关系如下图。 f(t) y(t)=Af(t-t0) 求其

3、傅立叶变换得： 0 ()() j t Y jAF je 0 () () ()( ) () j tj Y j H jAeHe F j 而： FIR滤波器 系统的幅频特性为： | |()| 0| c c A H j 相频特性： 0 ( )| c t c c A |()|H j 图一：幅频特性 c c ( ) 图二：相位特性 FIR滤波器 线性相位线性相位：指 是w的线性函数， 即群时延是一个常数。 ( ) 0 ( )d t d （常数） 线性相 位类别： 第一类线性相位： 第二类线性相位： ( ) 0 ( ) FIR滤波器 2、FIR滤波器满足第一类线性相位的条件滤波器满足第一类线性相位的条件 条

4、件条件：h(k)是实数序列且对N/2点偶对称，即 h(k)=h(N-1-k)。 1 1 2 0 1 ()( )cos() 2 N N j j k N H eeh kk 计算其频率响应得（计算过程见板书）： FIR滤波器 因为：h(k)是实函数，正弦函数也是实函数 1 2 ()( ) N j j g H eHe 幅度函数 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk 相位函数 1N-1 ( ) 22 N 即 所以，只要h(k)是实序列，且h(k)为N/2点偶对 称，则该滤波器就一定具有第一类线性相位。 FIR滤波器 3、FIR滤波器满足第二类线性相位的条件滤波器满足第二类线

5、性相位的条件 条件条件：h(k)是实数序列且对N/2点奇对称，即 h(k)=-h(N-1-k)。 1 1 () 22 0 1 ()( )sin() 2 N N j j k N H eeh kk 其频率 响应为： 1 0 1 ( )( )sin() 2 N g k N Hh kk 1 ( ) 22 N 幅度函数 相位函数 FIR滤波器 综上，线性相位的条件： 即如果单位脉冲响应h(k)为实数，且具有偶对称 或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相 位特性。 FIR滤波器 4 4、线性相位、线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性 1 2 0 1 ( )( )sin() 2 N g k

6、 N Hh kk 1 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk N为奇数 N为偶数 偶对称的幅度函数： 奇对称的幅度函数： FIR滤波器 FIR滤波器 图三：线性相位FIR滤波器幅度特性 FIR滤波器 1、h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数 w=0,2w=0,2偶对称，因此偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。对这些频率也呈偶对称。 2 2、h(n)h(n)偶对称，偶对称，N N为偶数为偶数 w= ,H(w)=0,H(w)=0，不能用这种情况设计高通、带阻滤 波器。 3 、h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数 w=0,2w=0,2时时H(w)=0H(w)=0，不能

7、用作低通、高通或带不能用作低通、高通或带 阻，只能设计带通。阻，只能设计带通。 4 4、h(n)h(n)奇对称，奇对称，N N为偶数为偶数 w=0,2w=0,2时时H(w)=0H(w)=0，不能设计低通和带阻，可设计不能设计低通和带阻，可设计 高通和带通。高通和带通。 FIR滤波器 表表4.1 4.1 四种线性相位四种线性相位FIRFIR滤波器特性滤波器特性 第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设 计； 第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤 波器不能设计高通和带阻； 第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波 器，其它滤波器都不能设计； 第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带

8、通滤 波器，不能设计低通和带阻。 FIR滤波器 总结：总结： 可见，四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关，其幅度特性取 决于h(n)，所以，设计FIR数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。 FIR滤波器 4.2 窗口设计法（时间窗口法）窗口设计法（时间窗口法） FIR滤波器的一般设计过程总是先给定一理想频率 响应为 ，然后设计一FIR滤波器用它的频率响 应 去逼近 。 在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入 手，这就是本节要讲的时间窗口设计法，另一种从频 域入手，即下节讲的频率采样法。 FIR滤波器 时间窗口设计法

9、是从单位脉冲响应序列着 手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。 我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获 得。 FIR滤波器 线性相位理想低通滤波器的频率响应： ,| () 0, j a jc d cc e He 相应的理想单位抽样响应为： sin()1 ( ) 2() c j aj n cc d cc na h need na sin() ( ) () c d na h n na 即： 1、FIR低通滤波器的设计低通滤波器的设计 FIR滤波器 图四：理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)波形 FIR滤波器 由上图可见，得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往 都是无限长序列

10、，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有 限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限 长的hd(n)。 最直接简单的办法是直接截取其一段得到可实现的 有限长因果序列。 为了构造线性相位滤波器，应使截取的一段对N/2 对称，如： h(n)= hd(n)RN(n) 其中RN(n)为矩形序列，也称为窗函数。见下图。 FIR滤波器 图五：理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 FIR滤波器 所以，实际可实现的滤波器为： 1 0 ( )( ) N n n H Zh n z 我们用一个有限长序列h(n)来代替hd(n)，肯定会引起 误差。对实际得到的h(n)取频率响应得其幅频图如下： FIR滤波器 Hd(w)

11、 1 w -wcwc 图七：理想的幅频特性曲线 图六：实际滤波器的幅频特性曲线图 FIR滤波器 从实际滤波器的幅频图和理想的滤波器幅频曲线比 较，可见加窗对理想频响的影响： 1、在w=wc附近形成过渡带，其宽度取决于窗函数 的主瓣宽度。 2、通带内增加了波动，阻带内产生了余震并减少 了阻带的衰减。这是由窗函数旁瓣的作用引起的。 这种误差表现在频域上，称为吉布斯效应。 FIR滤波器 如何减少吉布斯效应？ 加大N，只能使过渡带变窄； 要减少带内波动以及加大阻带衰减，就需要选 择合适的窗函数。 FIR滤波器 为了改善滤波器的特性，必须改变窗函数的形 状，窗函数要满足以下两点要求： 窗谱主瓣宽度要窄，

12、以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集 中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带 衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。 FIR滤波器 2、几种典型的窗函数 1）矩形窗 窗函数为： 1 0 ( )1( ) N N k W nRn FIR滤波器 FIR滤波器 2）汉宁窗（升余弦窗） 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函数为： FIR滤波器 FIR滤波器 3）哈明窗（改进的升余弦窗） 2 ( )(0.540.46cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函数为： FIR滤

13、波器 它是对汉宁窗 的改进，在主瓣宽 度（对应第一零点 的宽度）相同的情 况下，旁瓣进一步 减小，可使99.96% 的能量集中在主瓣 内。 FIR滤波器 4）布莱克曼窗 24 ( )(0.420.5cos0.08cos)( ) 11 N nn W nRn NN 窗函数为： FIR滤波器 增加一个二 次谐波余弦分量， 可进一步降低旁 瓣，但主瓣宽度 进一步增加，增 加N可减少过渡 带。 FIR滤波器 5）凯塞窗 以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来 降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减, 如图。 FIR滤波器 窗函数为： 2 0 0 2 1 (1) 1 ( ) n I N W n

14、 I 2 0 1 ( / 2) ( )1 ! j j x Ix j 其中 FIR滤波器 FIR滤波器 FIR滤波器 四种窗函数的比较四种窗函数的比较 四种窗函数的时域波形如图4.6，幅度谱如图4.7，用四 种窗函数所设计的滤波器的频响特性如图4.8。 FIR滤波器 从(a)(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。 FIR滤波器 （N=51， =0.8） FIR滤波器 图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最 窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克 曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过 渡带最宽，约为矩形窗的三倍。 FIR滤波器 3、用窗函数法设计FIR滤波器步骤 1) 根

15、据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应hd(n); 2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式， 并估算窗口的长度N； 3) 计算滤波器的单位脉冲响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如 果要求是线性相位，则hd(n) 和w(n)均对N/2点对称。 对于FIR滤波器，得h(n)就设计好了，当然要验证 指标的话，还应求出频率响应。 FIR滤波器 FIR滤波器 另一个FIR滤波器参数表 FIR滤波器 (模拟指标) FIR滤波器 优点：1. 无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器； 4. 方法特别简单。 缺点：1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频

16、性能不理想； 3. 较长；( )h n 改进：1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。 FIR DF 设计的窗函数法的特点： FIR滤波器 v 窗口法设计FIR高通带通带阻滤波器 1、线性相位FIR高通滤波器的设计 (第一类线性相位)理想高通的频率响应为： |N-1 () 20 j cj d e He 其中 其他 第二类线性相位（有相移）(略) FIR滤波器 其单位抽样响应为： ()() 1 h ( ) 2 sin ()sin() () c jkjk d c c keded kk k 相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器 （实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在c 处的低通滤波器。

17、 FIR滤波器 例例2:根据下列技术指标，设计一个FIR数字高通滤波器： wp=0.6 ,ws=0.4 ,Ap=0.25dB,As=40dB。选择一个合适 的窗函数，确定单位冲激响应。（ex4_hp.m） 窗函数主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减 矩形4/N1.8/N-21 汉宁8/N6.2/N-44 汉明8/N6.6/N-53 布莱克曼12/N11/N-74 课本P150 表4.2 几种窗函数的性能 FIR滤波器 解：wp=0.6;ws=0.4 tr_width=wp-ws=0.2 N=6.2 /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5; sin ()sin() h ( ) ()

18、c d kk k k 理想高通 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 选择汉宁窗 汉明窗函数为 所以，h(n)=hd(n)w(n) 注意与上次课例子做比较 FIR滤波器 2、线性相位FIR带通滤波器的设计 理想带通的频率响应为： 12 0|N-1 () 20 j j d e He 其中 其他 FIR滤波器 其单位抽样响应为： 12 ()() 21 21 1 h ( ) 2 sin()sin() () jkjk d keded kk k 可见，带通滤波器可见，带通滤波器(w1,w2)=低通低通(w2)-低通低通(w1) FIR滤波器 习题1：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带 通