方法最全的数列求和

1、数列的求和数列的求和 和风中学：蒋世华和风中学：蒋世华 考纲要求 掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不 是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决； 掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法， 并能灵活的运用这些方法解决相应问题. 知识梳理知识梳理 一.公式法： 等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式： 等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 n 即直接用求和公式，求数列的前n和S 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 1 11 (1) (1) (1) 11 n n n na q S aa qaq q qq 1 123(1) 2

2、 nn n 2222 1 123(1)(21) 6 nn nn 2 3333 (1) 123 2 n n n 2+4+6+2n= ； 1+3+5+（2n-1）= ； n2+n n2 二、错位相减法求和二、错位相减法求和 例如例如 是等差数列，是等差数列， 是等比数列，求是等比数列，求a1b1 a2b2anbn的和的和 三、分组求和三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或 等比数列，再求和等比数列，再求和 四、并项求和四、并项求和 例如求例如求10029929829722212的和的和 五、裂项相消法求和五、裂项相消法求和 把数列的通项拆

3、成两项之差、正负相消，剩下首把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首 尾若干项尾若干项 六。倒序相加法：六。倒序相加法： 如果一个数列如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等与首末两项等距的两项之和等 于首末两项之和（都相等，为定值），于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列 的和，这一求和的方法称为倒序相加法的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 七。归纳猜想法七。归纳猜想法 ： 先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法 等正面证明。

4、等正面证明。 八。奇偶法八。奇偶法 通过分组，对通过分组，对n分奇偶讨论求和分奇偶讨论求和 九。通项分析求和法九。通项分析求和法 十。十。周期转化法周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一 个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数 列的前列的前n项和进行转化合并项和进行转化合并 例例1 1：求和：求和： 2 3. n xxx 1. 468+2n+2 （） 23 1111 2 1 2 222 n . 1 10 0看通项，是什么数列，用哪个公式；看通项，是什么数列，用哪个公式

5、； 2 20 0注意项数注意项数 例例2 2、已知、已知lg(xy)2 n nn n- -1 11 1n n- -1 1n n S S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )+ +l lg gy y , , ( (x x 0 0, ,y y 0 0) )求求S S n nn n- -1 1n n S S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy y n nn n- -1 1 n n S S = =l lg g+ +l lg g( (x

6、x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy y x x n nn nn n 2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) ) = = 2 2n n( (n n + +1 1) ) S S = = n n( (n n + +1 1) ) 解：解： 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末两项等与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和距的两项之和等于首末两项之和 （都相等，为定值），（都相等，为定值），可采用把正可采用把正 着写和与倒着写和的两个

7、和式相加，着写和与倒着写和的两个和式相加， 就得到一个常数列的和，这一求和就得到一个常数列的和，这一求和 的方法称为倒序相加法的方法称为倒序相加法. . 类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1 n-1=a3 3+an-2n-2= 变式探究变式探究 0121 35(21)(21) nn nnnnn CCCnCnC 求和： 已知数列已知数列1,3a,5a2，(2n1)an 1(a0)， ， 求其前求其前n项和项和 例例3. 例例3.已知数列已知数列1,3a,5a2，(2n 1)an 1(a0)，求其前 ，求其前n项和项和 思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与 等比数列a0，

8、a，a2，an1对应项的积，可用错位相减法 求和 解析：设Sn13a5a2(2n1)an1 a得，aSna3a25a3(2n1)an ： (1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an. 当a1时，Snn2. 点评：若数列an，bn分别是等差、等比数列，则求 数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法 错位相减法：错位相减法： 如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法可采用错位相减法. . 既既an nbn n型型 等差等差 等比等比 2. 设数列设数列 满足满

9、足a13a232a3 3n 1an ，aN*. (1)求数列求数列 的通项；的通项； (2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn. 变式探究变式探究 2设数列设数列 满足满足a13a232a33n 1an ， aN*. (1)求数列求数列 的通项；的通项； (2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn. 解析解析：(1)a13a232a33n 1an ， (2) bnn3n，Sn13232333n3n， 3Sn132233334(n1)3nn3n1 两式相减，得2Sn332333nn3n1， 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，点，点(n， )(nN*)均在函

10、均在函 数数y=3x-2的图象上的图象上. （1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式； （2） ，Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn 对所有对所有nN*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m. n n S S n n 1 1n nn n n n a aa a 3 3 b b + = 2 20 0 m m 例例4. （1）依题意得）依题意得 =3n-2， 即即Sn=3n2-2n. 当当n2时，时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1) =6n-5； 当当n=1时，时，a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).

11、n n S Sn n （2）由）由(1)得得bn= 故故Tn=b1+b2+bn 因此，使得因此，使得 (nN*)成立的成立的m必必 须满足须满足 ,即即m10. 故满足要求的最小正整数故满足要求的最小正整数m为为10. 1 1n nn na a a a 3 3 + ) ). . 1 16 6n n 1 1 - - 5 5- -6 6n n 1 1 ( ( 2 2 1 1 5 5- -1 1) )6 6( (n n5 5) )- -( (6 6n n 3 3 + = + = 2 2 1 1 = ) ) 1 16 6n n 1 1 - - 5 5- -6 6n n 1 1 ( () ) 1 13

12、3 1 1 - - 7 7 1 1 ( () ) 7 7 1 1 - -1 1( ( + + ) ) 1 16 6n n 1 1 - -1 1( ( 2 2 1 1 + = 2 20 0 m m ) ) 1 1+ +6 6n n 1 1 - -( (1 1 2 2 1 1 2 20 0 m m 2 2 1 1 列项求和法：列项求和法： 把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消，差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前于是前n n项的和变成首尾若干少数项的和变成首尾若干少数 项之和，

13、这一求和方法称为分裂通项之和，这一求和方法称为分裂通 项法项法. .（见到分式型的要往这种方见到分式型的要往这种方 法联想法联想） 1特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项 相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan 1 an) 常见的拆项公式有：常见的拆项公式有： 1 11 ) 1( 1 . 1 nnnn ) 11 ( 1 )( 1 .2 knnkknn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 . 3 nnnn )2)(1( 1 )1( 1 2 1 )2)(1( 1 .5 nnnnnnn )( 11

14、. 4ba baba 常见的裂项公式有：常见的裂项公式有： 1 6.1 1 nn nn 1 1 2 1 12 1 121 1 2 2 nnnn n 7 nn！=（n+1）！）！-n！；！； 8 9 所给数列为倒数构成的数列所给数列为倒数构成的数列,故应研究通故应研究通 项项,看能否拆为两项之差的形式看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法以便使用裂项相消法. 求数列求数列 ,的前的前n项和项和. 8 84 4 1 1 , , 6 63 3 1 1 , , 4 42 2 1 1 , , 2 21 1 1 1 2 22 22 22 2 + ) ) 2 2+ +n n 1 1 - - n n 1

15、 1 ( ( 2 2 1 1 = = 2n2n+ +n n 1 1 = =a a 2 2n n 2 2 1 1 ) ) 2 2+ +n n 1 1 - - n n 1 1 ( (+ +) ) 1 1+ +n n 1 1 - - 1 1- -n n 1 1 ( + +) ) 4 4 1 1 - - 2 2 1 1 ( (+ +) ) 3 3 1 1 - -(1(1 2)2)1)(n1)(n2(n2(n 3 32n2n - - 4 4 3 3 ) ) 2 2n n 1 1 - - 1 1n n 1 1 - - 2 2 1 1 1 1( ( 2 2 1 1 + + = + += 变式探究：变式探究：

16、 例例5.求下面数列的前求下面数列的前n项和项和 1 1111 2,4,6,2 48162n n 解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 1 1 2 2 n n an 1 1111 246(2) 4816 2 n n sn 1 111 (2462 )() 482 n n 11 1 ( 22)42 1 2 1 2 n nn 1 11 (1 ) 22 n nn cn=an+bn (an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。） 项的特征项的特征 反思与小结：反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一一 个等比个等比22n n

17、，另外要特别观察通项公式，如果通项公，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题律解题. . 分组求和法分组求和法 , + n 1 练习练习1.求数列求数列 + 2 3 , + 的前的前n项和项和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解：解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23 = n(n+1) 2 2(2 -1) 2-1 n + = n(n+1) 2 +2 -2 n+1 分组求

18、和法分组求和法 2求数列1,34,567,78910，前n项和Sn. 2ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1) Sna1a2an 点评：运用分组求和法分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考 虑通项公式 解析 例例6 6： 1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？ 局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列 并项求和并项求和 练习：练习： 已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1), 1)1)求求S S20 20,S ,S21 21 2)2

19、)求求S Sn n S20 20=-1+3+(-5)+7+（ （-37）+39 S21 21=-1+3+(-5)+7+（ （-9）+39+（-41） =20=20 =-21 例例7 7：已知数列：已知数列 5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条项条 件的数列的通项公式及前件的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。 练习：求和练习：求和 S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+ +(+(1+2+21+2+22 2+ +2+2n-1 n-1) ) 通项分析求

20、和通项分析求和 通项通项 =2n n-1-1 练 习 求 和： 1 11 11 11 1 + + + +. . . . . . + + 1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n 先求通项先求通项 再处理通再处理通 项项 1 123 n a n 解： 2 (1)n n 11 2() 1nn 11111 2(1)()() 2231 n S nn 1 2(1) 1n 2 1 n n 1 22212 8.: 1.1234( 1) 2,1357.( 1)(21) n n n Sn Sn 例 求和 23()

21、9.(1), 31() nn n nn nn aa n anS 为奇数 例数列中 为偶数 求的前 项和 。 (2) 数列数列an中中，an2n(1)n， 求求Sn. 4m22m2(n1)2(n1)2n2n2. 解析（2）an2n2(1)n，若n2m， 则SnS2m2(1232m)2 (1)k 2(1232m)(2m1)2mn(n1) 若n2m1，则SnS2m1S2ma2m (2m1)2m22m(1)2m (2m1)2m2(2m1) 练习：练习： 变式探究变式探究 1已知等差数列已知等差数列 的首项为的首项为1，前，前 10项的和为项的和为145，求，求a2a4. 解析解析：首先由首先由S101

22、0a1 145d3， 则则ana1(n1)d3n2a2n32n2， a2a4a2n3(2222n)2n 3 2n32n 1 2n6. n a 2 2求数列求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和的各项的和 3.在等差数列在等差数列 中，中，a13，d 2，Sn是其前是其前n项的和，求：项的和，求： S . 在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项 的和，求：S . 解析： 4.(2010年广州一模年广州一模)已知数列已知数列an满足对任意的满足对任意的 nN*，都有，都有an0，且，且 (a1a2an)2. (1)求求a1，a2的值；的值； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式an； (3)设数列设数列 的前的前n项和为项和为Sn，不等，不等 式式Sn loga(1a)对任意的正整数对任意的正整数n恒成立，恒成立， 求实数求实数a的取值范围的取值范围 解析：(1)当n1时，有 ， 由于an0，所以a11. 由于a2a11，即当n1时都有an1