线性代数32向量组的线性相关性PPT学习教案

1、会计学1 线性代数线性代数32向量组的线性相关性向量组的线性相关性 nn xxx +=L 则方程组可表示成 若记未知量为 n x x x x 骣 = 桫 M 第1页/共57页 线性方程组是否有解归结为上式是否有解。 即就是矩阵的列向量加权和等于零. 第2页/共57页 定义 mm L=+ ， 或称向量 可以由向量 线 性表出。 , m L 使如果存在一组常数 , m L 的线性组合. 则称向量是向量组, m L , m L m+ n ， 维向量 设 个是 第3页/共57页 零向量零向量 0 可被任一向量组可被任一向量组 , m L 线性表示线性表示. . 这是因这是因 为，为， m =+L .

2、第4页/共57页 i (,)im =L 都可由该向量组线性表示，即. iiiim -+ =+LL 一向量组 , m L 中的每一个向量 第5页/共57页 (,)T n a aa =L () () () , , , , , , , , ,. T n L L L L L L L L L T T ， ， ， = = = n 第6页/共57页 nn aaa =+L , n L n 第7页/共57页 线性表出呢？ , m L 线性表出，即 事实上，向量 能由向量组 , m L 维向量组 线性表出呢？线性表出呢？ n n n n 如何判断 维向量 可否由 第8页/共57页 定理1 向量 可以由向量组 线性

3、表示的充分必要条件是线性方程组 有解，且一个解就是一 个组合系数. mm xxx L+= 有解，亦即线性方程组 有解. n m Ax = , m L n m Ax = , m L n m Ax = , m L 定理1 向量 可以由向量组 线性表示的充分必要条件是线性方程组 有解，且一个解就是一 个组合系数. n m Ax = , m L mm xxx L+= 有解，亦即线性方程组 有解. n m Ax = 第9页/共57页 (), , T = - (), , T =- , (), , T =- , 例 4 判断向量 可否由向量 , 第10页/共57页 , xx x xx xx += - -=

4、- += - -= , , , 第11页/共57页 rr rr rr A + + 骣骣- 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢- 珑 鼢 珑鼢 =揪井 珑鼢 鼢 珑 - - 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢珑 -桫桫 第12页/共57页 rr r rr rr + - + - 骣骣- 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢- 珑 鼢 珑鼢 揪井揪井 珑鼢 鼢珑 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 第13页/共57页 x x 骣骣 = -桫桫 故 = - 所以，向量 可由向量组 线性表出. , 第14页/共57页 第15页/共57页 营养 成分 每100g食物所含营养（g ） 减 肥 所 要 求的每日营 养量 脱脂 牛奶 大豆粉乳清

5、 蛋白 质 36 51 13 33 碳 水 化 合物 52 34 45 45 脂肪 0 71.1 3 第16页/共57页 ,x x x (, ) , (, ) , (, . ) T T T = = = (, )T = 第17页/共57页 三种食物每日所需量的多少恰好为向量 由向量组 和 线性表示的系数，所以， , xxx += . x x x 骣骣骣 鼢?珑? 鼢? 珑? 鼢? 珑? 鼢?= 珑? 鼢? 珑?鼢? 珑?鼢? 琪?珑鼢?珑? 桫桫桫 即 , , 三种食物每日所需量的多少恰好为向量 由向量组 和 线性表示的系数，所以， , 第18页/共57页 (,)( ., ., .) TT x

6、xx = 由此可知每日所需三种食物的量分 别为脱脂牛奶27.72克，大豆粉39.19克， 乳清23.32克. 第19页/共57页 几何空间的两个非零向量几何空间的两个非零向量 与与 共线的共线的充分充分 必要必要条件是存在非零数条件是存在非零数k使得使得 k = ；也就是说；也就是说 存在不全为零的数存在不全为零的数 ,k l ，使得，使得 kl += ；换言；换言 之， 向量之， 向量 与与 不共线， 当且仅当不共线， 当且仅当 kl= 时，时， 才有才有 kl += . 第20页/共57页 几何空间的三个非零向量几何空间的三个非零向量 , 共面共面充分充分 必要必要条件是存在不全为零的数条

7、件是存在不全为零的数 , ,k l 使得使得 kl =+ 也就是存在不全为零的数也就是存在不全为零的数 ,k k k ，使得使得 kkk += ； 换言之，三个向量换言之，三个向量 , 不共面，当且不共面，当且 仅当仅当 kkk = 时，时， kkk += 才成立才成立. . 第21页/共57页 定义5 1122 0 mm kkkL 12 , m k kkL 如果存在不全为零的数 使 则称向量组 线性相关，否则 称它线性无关 12 , m L 设n维向量组 12 , m 第22页/共57页 12 1 1122 1. , 0 0 n n nn kk kkk 若若 成成立立 . . 线线性性无无关

8、关, ,则则只只有当有当 时时, ,才才有有 对对于于任任一一向向量量组组, ,不不是是线线性性无无关关 就就是是线线性性相相关关. . 2. 向量组的线性相关和线性无关是一对相互对 立的概念， 第23页/共57页 3. = 0 0, 向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量时时, ,若若则则说说 线线性性相相关关, ,若若 则则说说线线性性无无关关. . .4. 组是线性相关的组是线性相关的包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量 5.对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向量量组组, ,它它线线性性相相关关的的 充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分量量对对应应成成比比例例，几几何何意意

9、义义 是是两两向向量量共共线线；三三个个向向量量线线性性相相关关的的几几何何意意义义是是 三三向向量量共共面面. . 第24页/共57页 ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 . 21321 的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解 .2 , 21 321 321 即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（ ），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵 ），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例6 分析 第25页/共57页 751 421 201 ),( 321 23 2 5 rr ， 000

10、 220 201 ., 2),( ,2),( 2121 321321 线性无关线性无关向量组向量组 线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 R R 751 220 201 12 rr 550 220 201 31 rr 第26页/共57页 . , , , 321133322 211321 线性无关试证 线性无关已知向量组 bbbbb b 例7 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使设有设有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即 线性无关，故有线性无关，故有，因因 321 . 0 , 0 , 0 3

11、2 21 31 xx xx xx 证 第27页/共57页 02 110 011 101 列式列式由于此方程组的系数行由于此方程组的系数行 ., 0 321 321 线性无关线性无关 向量组向量组，所以，所以故方程组只有零解故方程组只有零解 bbb xxx 第28页/共57页 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表出. m a 即有 112211 mmm a m , 21 定理1 维向量组 （ ）线性 相关的充分必要条件是 中至少有一 个向量可由其余 个向量线性表出1 m m , 21 2 m m , 21 n m , 21 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表出.

12、m a m , 21 第29页/共57页 故 01 112211 mmm a 故 线性相关. m , 21 必要性 设 线性相关， m , 21 则有不全为0的数使 , 21m kkk . 0 2211 mm kkk 因 这 个数不全为0， m 1, 121 m 第30页/共57页 因 中至少有一个不为0， m kkk, 21 . 1 3 1 3 2 1 2 1m m k k k k k k 证毕. 因 中至少有一个不为0， m kkk, 21 不妨设则有 , 0 1 k 即 能由其余向量线性表出. 1 第31页/共57页 对照线性方程组的向量形式，可知对照线性方程组的向量形式，可知 使得向量

13、线性相关的不全为零的使得向量线性相关的不全为零的 数数 , s k kk L 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 ss xxx +=L ，即，即 第32页/共57页 定理定理 2 2 向量组向量组 , m L 线性相关线性相关 的充分必要条件是的充分必要条件是 (,) m =A L 为系数阵的齐次线性方程组为系数阵的齐次线性方程组 Ax=0Ax=0 有非有非 零解零解. .且且其其任一非零解就是不全为零的任一非零解就是不全为零的 组合系数组合系数. .也就是说，向量组线性无关也就是说，向量组线性无关 的充分必要条件是齐次方程组只有零解的充分必要条件是齐次方程组只有零解. . 第33页/共57页

14、推论1. 个 维向量 线性 相关充要条件是 ，或 其中 。 (,) n =A L , n Ln A =( )Rn 推论1. 个 维向量 线性 相关充要条件是 ，或 其中 。 , n Ln A =( )Rn 第34页/共57页 例例 8 8 讨论下列向量组的线性相关性：讨论下列向量组的线性相关性： （1 1） ()(), , , , TT =-=- ()(), , , , , TT = -= - ； （2 2） ()()(), , , , TTT = . . 第35页/共57页 (,) =A rr A + 骣骣 - 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢- 珑 鼢 珑鼢 =揪井 珑鼢 鼢珑 鼢珑 鼢 珑 鼢

15、珑 鼢珑 -桫桫 (,) =A 解（1）法1 构造矩阵 ，利用 初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有 (,) =A 第36页/共57页 rr rr - + 揪井 骣- 桫 rr r 骣 - 揪井 桫 ()rr rr + - + 骣 - 揪揪? 桫 rr rr - + 揪井 骣- 桫 第37页/共57页 因为 ，所以向量组线性相关. 若要找出一组不全为零的数 ， 使得 ( ) R=A ,k kkk kkkk += 可解齐次线性方程组的同解方程 kk kk kk = - = = 第38页/共57页 k= ,kkk = -= 令 则得 =?+ 所以 =?+ 所以 =?+ =?+ 所以 =?+ 所以 =

16、?+ =?+ （2）构造矩阵 并施行行初等变 换有 (,) B = (,) B = rr rr B - - 骣骣 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢=揪井- 珑 鼢 珑鼢 珑鼢 鼢珑 -桫桫 (,) B = （2）构造矩阵 并施行行初等变 换有 (,) B = 第39页/共57页 ()r rr - + 骣 揪井 桫 ( ) rB = , 因为 =未知量的个数， 所以方程组只有零解， 故 向量组线性无关. ( ) R=B , 第40页/共57页 性质1 向量组 线性无关，而 向量组 ， 线性相关，则 可以由 线性表出，且表示法 惟一. , m L , m L 证 因为 ， 线性相关，则存 在不全为零的数

17、使得 , m k kkl L , m L , m L , m L , m L , m L , m L , m k kkl L , m L , m k kkl L , m L , m k kkl L , m L 证 因为 ， 线性相关，则存 在不全为零的数 使得 , m k kkl L , m L , m L 性质1 向量组 线性无关，而 向量组 ， 线性相关，则 可以由 线性表出，且表示法 惟一. , m L , m L , m L 第41页/共57页 mm kkkl0 L+= mm kkk +=L , m L 因此， l m m kkk lll 骣骣骣 鼢珑 = -鼢 珑 鼢珑 桫桫桫 L

18、故 若 则 不全为零 , m k kk L l= , m L 线性相关矛盾， 因此， l 故 这与 , m L 这与 线性无关矛盾， , m L 这与 第42页/共57页 , mm klklkl -=-=-=L , mm kl klkl =L 即 所以 故 可由唯一线性表出 , m L 性质 2 若向量组的一部分向量线性相关 ，则整个向量组线性相关; 也就是说， 线性无关的向量组的任何部分向量组必 线性无关. 第43页/共57页 , m L 即 可 由线性表示. , m L 即 可 由线性表示. , m L 设 有两种表示式， mm kkk =+L mm lll =+L 两式相减得 ()()(

19、) mmm klklkl -+-+-=L , m L 线性无关因为 第44页/共57页 这时，有这时，有 因为系数 不全为零，所以，向 量组 线性相关. sssm kkk LL + += , , s k kk LL , ssm + LL , , s k kk LL , ssm + LL , , s k kk LL 因为系数 不全为零，所以，向 量组 线性相关. , ssm + LL , , s k kk LL 证 不失一般性，设向量组 , ssm+ LL , s L , s k kk L则存在不全为零的数 使得 ss kkk +=L 证 不失一般性，设向量组 , ssm+ LL , s k k

20、k L则存在不全为零的数 , s k kk L 中部分向量 组 线性相关，, s L 第45页/共57页 性质4 如果 个 维向量 线性无关，那么在每一个向量上添加 个分量后所得的 个 维向量, m n m n (, ,)im =L (,)T iiiin aaa =Lmn s ns+m 也线性无关. (, ,)im =L(,) T iiiininins aaaaa LL + = mnmnmnm m m m(,)T iiiin aaa =Lnm 性质4 如果 个 维向量 线性无关，那么在每一个向量上添加 个分量后所得的 个 维向量, (, ,)im =L ns+m (,)T iiiin aaa

21、=Lnm 第46页/共57页 (,) m A =L (,) m B =L ( )( )RRAB , m L 而向量组 所以 ( )( )RRmBA? ()RmB = , m L 故 显然 ( )( )RRAB , m L 线性无关而向量组 , m L ( )RmA = 所以 又 ( )RmB ( )( )RRmBA? 所以 ()RmB = 线性无关 , m L 故 第47页/共57页 但不能由向量 线性表出， , 例10 设向量 可由向量组 线性表出， , 试证向量 不能由 线性表 出， , 而可由向量组 , , 线性表出. , 若向量组线性相关，去掉几个分量后所得 的向量组仍然线性相关（留给

22、读者自己证明）. 第48页/共57页 先证 不能由 线性表出. 设存在数 ，使 ,k kk , kkk =+ =+ 又 可由向量组 线性表出 , , 即存在数 ，使 第49页/共57页 ()()() k k k =+ 即 可由向量组 线性表示，矛盾. , 代入 得 即 可由向量组 线性表示，矛盾. , 即 可由向量组 线性表示，矛盾. , 再证 能由向量组 ， 线性表出 , 依题意，得否则 与 不能由 线性表示矛盾. , 依题意，得否则 再证 能由向量组 ， 线性表出 , 故 能由向量组 ， 线性表出. , 4112233 4 1 第50页/共57页 为满秩矩阵 ， 试判断两直线 的关系. abc abc abc A 骣 = 桫 :L 111 232323 x-ay -bz -c = a -ab -bc -c :L 222 131313 x-ay -bz -c = a -ab -bc -c abc abc abc A 骣 = 桫 为满秩矩阵 ， abc abc abc A 骣 = 桫 第51页/共57页 将将 ( , , ) (, , ) T iiii a b ci = 看作空间中的三点看作空间中的