精指标与误差传播PPT学习教案

1、会计学1 精指标与误差传播精指标与误差传播 第一节第一节 概述概述 第1页/共82页 观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示表示 。 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正 大小的数值，一般用大小的数值，一般用 表示。表示。 L 一、几个概念一、几个概念 真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -Li 表示。表示。 L L 第2页/共82页 观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2Ln可表示为： n n L L L L 2 1 1 , n n L L L L 2 1 1 ,

2、n n n L L L L L L 2 1 2 1 1 , 注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的 向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表 示，如： 等。 TTT BAL、 TTT BAL、 TTT LL、 则有： 111 nnn LL 第3页/共82页 i n i i pxXE 1 )( dxxxfXE)()( 期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权, 取加权平均值的概念理解.表示出现在小区间的概率。 （离散）（连续） 第4页/共82页 误差 区间 + 个数K频率K/n(K/n)/d 个数K频率K/n(K/n)/d 0.000.2 0 450.1260.630460

3、.1280.640 0.200.4 0 400.1120.560410.1150.575 0.400.6 0 330.0920.460330.0920.460 0.600.8 0 230.0640.320210.0590.295 0.801.0 0 170.0470.235160.0450.225 1.001.2 0 130.0360.180130.0360.180 1.201.4 0 60.0170.08550.0140.070 1.401.6 0 40.0110.05520.0060.030 1.60 000000 和1810.5051770.495 第5页/共82页 l例2：在相同的条件

4、下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三 角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度， 计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差 区间 + 个数K频率K/n (K/n)/d 个数K频率K/n(K/n)/d 0.000.2 0 400.0950.475460.0880.440 0.200.4 0 340.0810.405410.0850.425 0.400.6 0 310.0740.370330.0690.345 0.600.8 0 250.0590.295210.0640.320 0.801.0 0 200.0480.240160.0430.21

5、5 1.001.2 0 160.0380.190130.0400.200 . 2.402.6 0 10.0020.01020.0050.0025 2.60 000000 和2100.4992110.501 第6页/共82页 (K/n)/d 00.40.60.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 概率密度函数曲线 用直方图表示: 面积= (K/n)/d* d= K/n 所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1 （闭合差是理论值与 观测值之差，故是真 误差）。注意：统计 规律只有当有较多的 观测量时，才能得出 正确结论。 第7页/共82页 i i nd V i i nd V 第8页/共82页 0d

6、第9页/共82页 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 0.630 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 0.475 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。 2 2 2 2 1 )( ef 第10页/共82页 1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限；有界 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次

7、数多（概率大）； 3、绝对值相等的正负误差出现的次数（概率）大 致相等； 对称 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值（期 望）趋近于零 Lim n n =0 偶然误差的特性： 第11页/共82页 1、是制定测量限差的依据； 2、是判断系统误差或粗差的依据； 3、测量平差的主要研究对象 偶然误差的意义： 极限误差（限差） 第12页/共82页 第三节 衡量精度的指标 （本小节阐述误差概念及几种精度指标） 精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程 度。度。 在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它 们对应着

8、同一种误差分布，因此，对于这一组中们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中 的每一个观测值，都称为是的每一个观测值，都称为是同精度观测同精度观测值。值。 提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然一组观测值具有相同的分布，但偶然 误差各不相同。如前面测角例子误差各不相同。如前面测角例子 （回顾上节） 第13页/共82页 如何衡量精度？ l能否只用一个数字表示简单 精度指标 第14页/共82页 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 0

9、0.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且且陡峭陡峭，精度，精度高高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且且平缓平缓，精度，精度低低 第15页/共82页 一、方差一、方差/中误差中误差 f() 00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4 闭合差 1 1 2 2 面积为1 2 2 2 2 1 )( ef 几种常见的精度指标几种常见的精度指标 提示：提示： 越小，误差越小，误差 曲线越陡峭，误差分曲线越陡峭，误差分 布越密集，精度越高。布越密集，精度越高。 相反，精度越低。相反，精度越低。 第16页/共82页 l此外，

10、根据方差的定义，可见方差实际上 是偶然误差平方的数学期望? 第17页/共82页 222 ( )( ) ( )( )DEEEfd 222 ( )()( )DEfd 偶然误差，E()=0 等精度观测 22 , n n 第18页/共82页 二、平均误二、平均误 差差 n dfE n lim)()( 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数 学期望。学期望。 与中误差的关系：与中误差的关系： 5 4 n 第19页/共82页 22 2 2 1 2)(2)( 0 2 0 22 00 2 2 2 2 2 2 e dededfdf 第20页/共82页 三

11、、或然误差（三、或然误差（ 2 1 )()( dfP 显然：对于陡峭的误差曲线，给定概率值为1/2的条件 下， 较小，反之则较大。 所以： 也能较好地反映精度的高低。 第21页/共82页 , t dtdt, dtede t 22 2 2 2 2 1 2 1 t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率 积分表可得： 3 2 6750. 0 第22页/共82页 f() 0 闭合差 1 1 50% %50)(p 3 2 由此可见：或然误差与中误差 也存在固定的比例关系,所以作 为衡量精度的指标,理论上是等 价的。 同样地,由于观测值数量有限,不可能求得或然误差. 实用上：将偶然误差按绝对

12、值大小排序,n为奇数时 取中间值，n为偶数时取中间两个的平均值作为的 估值。 第23页/共82页 由于当由于当n不大时，中误不大时，中误 差比平均误差能更灵敏的反映差比平均误差能更灵敏的反映 大的真误差的影响，同时，在大的真误差的影响，同时，在 计算或然误差时，往往先计算计算或然误差时，往往先计算 中误差，因此，世界各国通常中误差，因此，世界各国通常 都采用中误差作为精度指标，都采用中误差作为精度指标， 我国统一采用中误差作为衡量我国统一采用中误差作为衡量 精度的指标精度的指标 第24页/共82页 四、极限误差四、极限误差 32 或 限 %7 .99)33( %5 .95)22( %3 .68

13、)( p p p 由此可见：出现绝对值大于23倍中误差的偶然误差属于小 概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生 的 意义：在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而 以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为 不合格。 例：三角测量时以三角形闭合差超过一定限值视为不合格等 第25页/共82页 五、相对误差五、相对误差 提出：一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数值， 单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用相对 误差。 相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用 表示。对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对 误差。 N 1 第26页/共82页 精度：描

14、述观测值与真值（仅含偶然误差时即为期望） 接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。精度的概 念也可以用于多维分布（随机向量） 方差-协方差阵 准确度：又叫准度，是衡量系统误差大小程度的指标 精确度：是精度和准确度的合成，反映了偶然误差和系 统误差联合影响的大小程度，用均方误差表示 MSE(X)=E(X-X)2 第27页/共82页 11121 12222 12 (),det( ) ( ,1,2, ). ( ) () 1242 3431 ijn nijij n def n nnnn AaAAa i jn AAA AAA adj A AAA AA adj 对于设为中元素 的代数余 子式则称 (2.8

15、) 为 的伴随矩阵 记为 如 第28页/共82页 111,11,11 1,11,11,11, 1,11,11,11, 1,1,1 ,: ij ijij jjn iijijin ij iijijin nn jn jnn a aM aaaa aaaa M aaaa aaaa 在n阶行列式中划去所在的第i行和第j列的 元素,剩下的元素按原来排列的位置不变,这样形成 的n-1阶行列式,称为元素 的余子式 用表示 (2.6) ( 1)i j ijijij AMa 为元素的代数余子式 第29页/共82页 第30页/共82页 请判断是否存在粗差？ 求其中误差、极限误差（无粗差） 步骤： 求真值（期望值，即平

16、均值） 得到各真误差 求方差、中误差 按3倍中误差得到极限误差， 检查真误差是否有超限，如有，剔除，重复以上步骤，直至无超限 第31页/共82页 第32页/共82页 12 1,n , n Kk kk 观测值向量： 12 ,1 , , T nXX n XXXXD协方差阵为 11220 k nn ZXk Xk Xk即： 系数： 0 1,11,1n n ZK Xk Z是关于X的线性函数： 第33页/共82页 12 2222222 12 12121313 1n1n-1n1, kkk 2k k2k k 2k k2kk ZZZnn nnn D 即： 2T ZZZXX DKDK 则 当各观测量Xi相互独立时

17、，他们之间的 协方差 ，所以 12 2222222 12 kkk ZZZnn D 第34页/共82页 对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、协，将其元素间的方差、协 方差阵表示为：方差阵表示为： 2 21 2 2 221 112 2 1 2 1 21 nnn n n n n x x x xxx 矩阵表示为：矩阵表示为： 2 21 2 2 221 112 2 1 nnn n n XX D 方差协方差阵方差协方差阵 第35页/共82页 第36页/共82页 例：在测站A上，已知BAC=a， 设无误差，而观测a1,a2的中误 差 1212 1.4,=-1 2 协方差（秒） 求角x的

18、中误差 222 ( 1) *1.96( 1) *1.96 2*( 1)*( 1)*( 1)1.92 x 1.4 x 12xaaa 第37页/共82页 第38页/共82页 应用1：算数平均值的中误差 12 111 N L xLLL NNNN 同精度观测N次，每次观测的中误差为 2 2222 2 222 111 x NNNN x N 所以，多次测量取平均值能提高精度 第39页/共82页 应用2：水准测量的误差传播律 12ABn hhhh两水准点间高差 2 += hAB hAB N N 2222 站站站站 站 AB h S s 站 各测站高差是等精度的独立观测值，中误差均为 站 1 s 公里站 两水

19、准点间的距离 测站间的距离 AB h S 公里 注意比例关系及适用范围 第40页/共82页 应用3：方位角误差传播律 012 *180 NN n 。 支导线测量中，同精度独立观测N个转折角，中误差均为 则 第N条边的方位角 N N 22 N N 所以，支站越多， 误差越大 第41页/共82页 应用4：极坐标误差传播律 P点的点位方差 2 222 2 S P S 纵向方差 横向方差 180 206265 常数（或表示为 ） 第42页/共82页 第43页/共82页 Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn) i n i i pxXE 1 )( ()( )E Xxf x dx 第44页/共82页 应用5

20、：三角高程测量误差传播律 三角高程测量高差tanhDiv 水平距离 竖直角仪高 镜高 （非线性函数） 全微分 （对D、 ） 2 tansec D dhdDd 则 222222 tan(sec) hD D 第45页/共82页 例题 已知某台经纬仪一测回的测角中误差为6,如 果要使各测回的平均值的中误差不超过2,则至少 应测多少测回？ 解：由公式得 22 22 6 2 x NN 22 22 6 9 2 x N 答：至少应测9测回 第46页/共82页 例题 水准测量中，设每站观测高差的中误差均 为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差 不大于5cm，问可以设多少站？ 解： 2 5 x N 站

21、25N 第47页/共82页 例题 若要在两已知高程点间布设一条符合水准 路线，如下图，已知每公里观测中误差等于5mm， 欲使平差后线路中点C点高程中误差不大于10mm， 问该线路长度最多可达几千米？ 16 （提示，Hc=HA+h1,Hc”=HB-h2,HC=(Hc+Hc”)/2） 第48页/共82页 例题 由已知点A丈量距离S并测量方位角a，从 而计算P点坐标，观测值及中误差为 设A点坐标无误差，试求P的点位中误差 解： 0.097 p 127.000.03 ,30 00 2.5Scmm a 2 222 2 S P S 第49页/共82页 例题 测量矩形面积S,设长宽A、B测量精度 为 求面积

22、S的中误差？ 解： 600.006 ,400.004Amm Bmm 22222 sBA sBA SAB dA dB d AB 第50页/共82页 学生上台板书公式，并解释含义 （有点名效果） 第51页/共82页 第六节第六节 权与定权的常用方法权与定权的常用方法 第52页/共82页 第53页/共82页 权的定义: 2 2 0 0 2 : ,),.,2 , 1( i i ii p niL ，则定义如选定任一常数 它们的方差为设 称为观测值Li的权。权与方差成反比。 22 2 2 1 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 21 1 : 1 : 1 : nn n ppp 第54页/共82页 1

23、2 345 = 1.0= 2.0 = 3.0= 4.0= 5.0 公里公里 公里公里公里 ， ， 例: 某水准网中，各条线路的距离为S1=1.0km， S2=2.0km，S3=3.0km，S4=4.0km ，S5=5.0km 各线路观测高差的中误差为 05 =令求各线路高差对应的权 01 =令求各线路高差对应的权 第55页/共82页 生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一 2 0 )( ，即对应一组权。选定了二 2 0 )( （三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 权的特点: 第56页/共82页 因此，权的

24、意义，不在于权本身数值的因此，权的意义，不在于权本身数值的 大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系 第57页/共82页 单位权中误差单位权中误差: 0 00 0 2 0 一经选定，凡是中误差等于的观测值， 其权必然等于1， 或者说，权为1的观测值的中误差必然等于， 因此称为单位权中误差，称为单位权方差，或方差因子 2 0 2 i i p 由权的定义 第58页/共82页 例题：例题： 0 11 42 =8 AB BA ABPP A 以相同精度观测和，其权分别为， 已知，试求单位权中误差和的中误差 第59页/共82页 上节重点上节重点 权的定义 权的特点

25、单位权中误差 第60页/共82页 测量上定权的常用方法：测量上定权的常用方法： 1、水准测量的权、水准测量的权 设各水准线路的测站数为设各水准线路的测站数为N1、N2、Nn，各，各 线路的长度为线路的长度为S1、S2、Sn， 第第i条水准线路的权为条水准线路的权为Pi i i N c p 若每一测站观测高差的精度相同若每一测站观测高差的精度相同，则，则 i i s c p 若每公里观测高差的精度相同若每公里观测高差的精度相同，则，则 () ABAB hh NS 站公里 ； 2 0 2 i i p 第61页/共82页 2、三角高程测量的权、三角高程测量的权 地势较平坦时（地势较平坦时（竖直角不大

26、于竖直角不大于5度度，D为两为两 点间水平距离）点间水平距离） 2 2 h c p D 注意：与水准测量的权的区别注意：与水准测量的权的区别 思考：若竖直角较大，如何定权？思考：若竖直角较大，如何定权？ 由权的定义由权的定义 222222 (tan(sec) hD D 2 0 2 i i p 第62页/共82页 3、算术平均值的权、算术平均值的权 i i N P C 设有设有L1、L2、Ln，分别是，分别是N1、 N2、Nn次次等精度观测等精度观测值的平均值的平均 值，则观测值值，则观测值Li的权为的权为 () x N 2 0 2 i i p 第63页/共82页 例题例题 已知：已知： 各水准

27、线路的长度为各水准线路的长度为S1=3.0km， S2=6.0km， S3=2.0km， S4=1.5km， 设每公里观测高差的精度相同，第设每公里观测高差的精度相同，第4条线路条线路S4观观 测高差的权为测高差的权为3， 试求其他各线路观测高差的权。试求其他各线路观测高差的权。 第64页/共82页 例如：例如： 水准测量中，究竟用水准线路的距离水准测量中，究竟用水准线路的距离 S定权，还是用测站数定权，还是用测站数N定权，要视具体定权，要视具体 情况而定。一般，起伏不大的地区，每公情况而定。一般，起伏不大的地区，每公 里的测站数大致相同，则可按水准线路距里的测站数大致相同，则可按水准线路距

28、离定权；而在起伏较大的地区，每公里的离定权；而在起伏较大的地区，每公里的 测站数相差较大，则按测站数定权测站数相差较大，则按测站数定权 应用定权方法时，注意前提条件！应用定权方法时，注意前提条件！ 第65页/共82页 第66页/共82页 第67页/共82页 如图所示 ： 1、2、3三点为 已知高等级水准点 ，误差不计，为求 P点高程，独立观 测了三段水准路线 的高差 求P点高程及其中 误差（设每测站高 差观测中误差 ） 站 （提示：分别求算术平均值、加权平均值，并比较分析） 第68页/共82页 在不同精度独立观测情况下，加 权平均值是最可靠值。也就是说，不同 精度独立观测量的加权平均值的中误差

29、 最小。 算术平均值是加权平均值在各观 测量的权相等时的特例（即等精度） 第69页/共82页 123n 123n 1 12 2n 12n 0 0 , , , =() w n w l l l ll P PP llll l PP P 设观测量其权分别 为P则加权平均值 PPPP PP 其中误差为 为单位权中误差 第70页/共82页 第七节第七节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 一、协因数与协因数阵一、协因数与协因数阵 22 2 2 0 2 2 0 2 0 , : 1 1 1 ijijij i ii i j jj j ji ij i L L Q p Q p Q p 设的方差为协方差为 令

30、iii QL为 的协因数(权倒数)。 的协因数。为 jjj LQ 或相关权倒数。 的协因数关于为 jiij LLQ 第71页/共82页 ijji jjj iii Q Q Q 2 0 2 0 2 2 0 2 变换形式为： nnnn n n nnn n n XX QQQ QQQ QQQ D 21 22221 11211 2 0 2 21 2 2 221 112 2 1 不难得出： QXX为协因数阵为协因数阵 XXXX QD 2 0 第72页/共82页 特点：特点：I 对称对称 II 各观测量互不相关时，为对角矩阵。各观测量互不相关时，为对角矩阵。 1 11121 21222 2 12 1 00 1 00 1 00 n n XX nnnn n P QQQ QQQ PQ QQQ P 协因数阵 （独立观测时) 第73页/共82页 二、权阵二、权阵 1 LLLL LLLL PQP QI （互为逆矩阵） 特别注意：当X中元素不独立时， 、 就不再是对角阵，虽然 对角线元素仍 为X