专题30 数列（同步练习）（理）（解析版）

1、专题30 数列（同步练习）一、数列的递推公式(一)数列的递推公式与通项公式1、数列的递推公式：如果已知数列的第项(或前几项),且从第项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。2、数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项。数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示。通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这

2、个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项。但如果已知一个数列的递推公式及其首项,不一定能写出这个数列的任何一项,如,就无法写出。3、数列通项公式和递推公式的特点：(1)有些数列的通项公式和通项公式均可以有不同形式,即不唯一性。(2)并不是所有数列都能写出其通项公式或递推公式。有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列、)。有些数列没有递推公式(同上)。(3)有递推公式不一定有通项公式。最著名的应该是数学史上的“斐波那契数列”,也就是母兔生小兔问题所衍生的数列,就是典型的只能用递推公式而不能用通项公式表示的例子。在这里简单介绍一下：年,意大利数学家斐波那契在他的著作算盘全书中提出了一个关

3、于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,个月后会有多少对兔子？结果发现组成的数列是：、只能用递推公式表示(每一项等于前两项之和),至今数学家们也没有找到其通项公式。(二)列方程组法求通项公式明确指出设等差或等比数列后：1、设等差数列的首项为,公差为(),形成关于和的方程组,解和；2、设等比数列的首项为,公比为(且),形成关于和的方程组,解和；例1-1已知为等差数列,且,求数列的通项公式。【解析】设数列的公差为,由题意可知,解得, 。例1-2已知等差数列的前项和为,且满足

4、：,求数列的通项公式。【解析】设数列的公差为,由题意可知,解得, 。例1-3已知等比数列的前项和为,若,且、成等差数列,求的通项公式。【解析】设数列的公比为,、成等差数列,则,即,又,即,又,则,从而,故,从而。例1-4已知等比数列的前项和为,公比不为,若,则对任意的,都有,求的通项公式。【解析】设数列的公比为,当时,设公比为,则,则,解得(取)或(舍去),则。(三)由递推公式求通项公式1、用数学归纳法求根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前几项,并求通项公式。例1-5根据各数列的首项和递推公式写出它的前项,并用数学归纳法求通项公式。(1),；(2),；(3),。【解析】(1),；(2),；

5、(3),。2、递推式为及(且为常数)时,转化成等差数列或等比数列问题。例1-6已知满足,而且,求。【解析】为常数,是首项为,公差为的等差数列,。例1-7已知满足,而,求。【解析】为常数,是首项为,公比为的等差数列,。3、做差法：由与(即)的关系求,。已知数列的前项和,求数列的通项公式,其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新关系,利用()可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写；如果不符合则应该分与两段来写。例1-8已知数列的前项和求它们的通项。(1)；(2)。【解析】(1)当时,当时,检验当时,；(2)当时

6、,当时,检验：当时,故。例1-9已知数列的前项和满足,求数列的通项公式。【解析】当时,当时, ,检验：当时满足,。4、做商法：由求,。例1-10数列中,对所有都有,则 。【解析】当时,当时,检验：当时无意义,。5、累加法：由求通项,则()。例1-11已知数列中,求。【解析】,当时,检验：当时符合,。例1-12已知数列满足,求。【解析】,当时,检验,当时符合,。例1-13已知数列中,求。【解析】,当时,检验,当时符合,。6、累乘法：已知求通项,()。例1-14已知数列满足,求。【解析】,当时,检验,当时符合,。例1-15已知数列满足,求。【解析】,当时,检验,当时符合,。(四)由构造法求1、已知

7、与或与的关系式,用构造法(构造等差、等比数列)：形如,只需构造数列,消去带来的差异,其中有多种不同形式：(1)为常数,即递推公式为(其中、均为常数且)。解法是先设参转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例1-16已知数列中,求。【解析】组成等比数列,公比为,则,即,即数列为等比数列,首项为,公比为,。例1-17已知数列中,对于有,求。【解析】组成等比数列,公比为,则当时,即,即数列为等比数列,首项为,公比为,。(2)为一次多项式,即递推公式为。例1-18设数列中,(),求。【解析】当时,组成等比数列,公比为,则,即,即,即数列为等比数列,首项为,公比为,。(3)为的二次式,则可设。2、

8、递推公式为(其中、为常数且)或(其中、为常数)。一般地要先在原递推公式两边同除以,得：,引入辅助数列(其中),得：,再应用类型(1)的方法解决。例1-19已知数列中,求。【解析】两边乘以得：,令,则,组成等比数列,公比为,则,即,即数列为等比数列,首项为,公比为,。例1-20已知数列的前项和,求。【解析】,当时,上式两边同乘以得,即,则是首项为、公差为的等差数列,。3、递推公式为(其中、均为常数)。先把原递推公式转化为,其中、满足,解出、,于是是公比为的等比数列,就转化为前面的类型。例1-21已知数列中,求。【解析】,或,则当,时,则是以首项为,公比为的等比数列,则当,时,则是以首项为,公比为

9、的等比数列,设,解得,数列等比,首项为,公比为,。4、形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。例1-22已知数列中,求。【解析】取倒数,是等差数列,。5、形如型,等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求通项。两边取对数,设,原等式变为即变为基本型。例1-23已知数列中,求。【解析】由题意可知,且,将等式两边取对数得,即,为等比数列,其首项为,公比为,。二、数列求和(一)公式法：如已知或求出等差和等比数列,则可直接套用其求和公式求和。如出现一些特殊的常用应直接应用公式求和。1、等差数列求和公式：；。2、等比数列求和公式：； 。3、一些常用的求和公式： 例2-1已知,

10、求的值。【解析】, 。例2-2已知等差数列中,求等差数列的前项和为。又令,求等比数列的前项和。【解析】等差数列,前项和为；等比数列,前项和为。例2-3等比数列的前项和,则 。【解析】当时,；当时,数列为等比数列,数列为首项为,公比为的等比数列,故等比数列为首项为,公比为的等比数列,。(二)分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列,再求和。例2-4求数列的前项和：,【解析】设,将其每一项拆开再重新组合得：,当时；当时。例2-5已知等差数列的首项为,前项的和为,求的值。【解析】,则, 。例2-6求之和。【解析】由于,原式 。(三)倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列,与原数列两

11、式相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。例2-7求的值。【解析】设,将其右边反序得,又,。例2-8若,则 。【解析】, 。(四)裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,只余有限几项,就可以化简后求和。适用条件：其中是各项不为的等差数列,为常数,可拆解为；部分无理数列。一些常用的裂项公式：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)()；(6)。常见放缩公式：(1)； (2)；(3)。例2-9求数列,的前项和。【解析】设,则。例2-10数列中,又,求数列的前项和。【解析】 ,。例2-11求数列,()的前项和。【解析】, 。例2-12求数

12、列,()的前项和。【解析】, 。(五)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。此法即为等比数列求和公式的推导方法。例2-13求数列的前项和。【解析】,两式相减得：,。例2-14求和：。【解析】设,则即,。例2-15求数列,的前项和。【解析】设,。(六)分类讨论法：1、分奇偶讨论：当数列的通项公式中出现或时,需要分为奇数或者为偶数进行讨论。例2-16已知数列中,求数列的前项和。【解析】当为偶数时, , 当为奇数时, ,综上()。2、分正负讨论：当数列的通项公式中出现绝对值求前项和的问题时,需要分正负值进行讨论。(1)数列为等差数列,前项和为, 则数列的前项和为；(2)数列为等差数列,前项和为, 则数列的前项和为。例2-17在等差数列中,若此数列的前项和,前项和,则数列的前项和的值是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,故,故选