数形结合思想在一次函数解题中的应用

1、 数形结合思想在“一次函数”解题中的应用 摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决

2、数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.1. 以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，a（1，0），b(0，1），c(-1，0），过点c的直线绕c旋转，交y轴于点d，交线段ab于点e。（1）求oab的度数及直线 ab的解析式：（2）若ocd 与bde 的面积相等，求直线 ce 的解析式；

3、若 y 轴上的一点p 满足ape=45，请直接写出点p的坐标。解题思路：1. 由a，b两点的坐标知，laob为等腰直角三角形，所以zoab=452. ocd与bde的面积相等，等价于ace与aob面积相等，故可求e点坐标，从而得到ce的解析式；因为e为ab中点，故p为（0.0）时，ape=45 解析：（1） a(1,0),b(0.1）. oa=ob=1，aob为等腰直角三角形 oab=45 设直线ab的解析式为：y=kx+b,将a（1，0），b（0.1）代入， 1=b 0=k+b解得k=-1.b=1 直线ab的解析式为：y=x+1 （2) socd=sboe 即scea=saob 1/2 =1

4、/2ey=1/2,将其带入公式y=-x+1，可得e点坐标（1/2,1/2） 设直线ce为y=kx+b，将点c（-1.0），点e（1/2,1/2）代入 0=-k+b1/2=1/2k+b 解得k=b=1/3 直线ce的解析式：y=1/3x+1/3 点e为等腰直角三角形斜边的中点 当点p（0.0）时，ape=45在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到oa=ob=1，aob为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出aob

5、为等腰直角三角形就比较困难了。根据a、b两点的坐标求直线ab的解析式就非常简单了，只需要将坐标带入y=kx+b，就可轻松得出直线ab的解析式为：y=x+1。第二问中，已知ocd与bde的面积相等，考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题，因此等价于ace与aob面积相等，根据这个条件，我们可以求出点e的坐标，已知点e的坐标和点c的坐标，再求直线ce的解析式也非常简单了，只需要把两点坐标带入解析式，就可得出直线ce的解析式：y=1/3x+1/3；当点p（0.0）时，我们可以从图中看出，ape又是一个直角三角形，因此ape=45。在这道例题当中，我们充分利

6、用了图中三角形的特点直接看到了相关角度，并且根据补全三角形面积得方法找到相关电的坐标，从而求得解析式，这就是用数形结合的思路来解题，帮助同学们可以正面的直观的看到解题步骤，从而准确解出题目，在类似的题目当中，数形结合的方法都可以被应用，可以帮助学生更好地理解一次函数的含义，也能够提升解题速度和准确性，帮助学生理清解题思路。 （2）以数解形：要先充分挖掘出图形中的数量关系，使用代数式求解几何问题，根据图形建立方程或函数关系是常用的方法.例2： 函数y=kx+ （k 0）在直角坐标系中的图象可能是（）.解析思路：从一次函数的特性中我们知道，y=kx+b，其中b是图像与y轴相交的位置，这道选择题中，

7、因为给出了（k 0）的条件，那么 就一定是正数，一定与y轴的正半轴相交，根据这个条件，我们看abcd四个选项，只有b选项符合答案，因此，正确答案应该是b.通过简单的分析推理，正确答案就直接出来了，acd三个选项不需要考虑，可以直接排除掉，这样在选择题中，就可以节约大量的时间，还能够保证答题的准确率，因此，用数形结合的理念来解析一次函数是非常简单的。例3：一次函数y=x+2的大概图像是（）解析思路：首先，看到这道题目的时候，首先自己在草纸上画一个象限图，x前面的系数是正数，说明图像肯定会在一、三象限，b=2是正数，与y轴正半轴相交，因此会穿过第二象限，所以正确的选项应该是a选项，这个图像应该存在

8、于一、二、三象限。这样运用图形结合法解决一次函数的问题就非常的简便了。说到这里，我们在分析一下一次函数应用数形结合的方法的解题思路，当遇到一次函数相关的问题的时候，我们要先画一个象限图，然后根据描点法在图中找到这些点的坐标，根据两个点的坐标，用待定系数的方法，就可以确定一次函数的解析式了。还有一些的相关衍生问题，比如根据一次函数与x/y轴围成的三角形面积问的相关问题，遇到这种问题的时候，一定要结合图形，找到这个图形的一些特点，比如是直角三角形或者是等边三角形，就可以求出相关角的角度，或者根据等边三角形三个边相等的特点求出相关的坐标，然后根据点的左边，用待定系数发，就可解决一次函数的解析式了。总

9、 结在初中数学当中，一次函数是非常基础而且重要的问题，在解决这样的问题的时候，数形结合发是一种非常有效而且准确率高的方法，本文通过举例说明在一次函数解题过程中应用数形结合的方法，阐述了数形结合这一解题思路的重要性，希望日后在一次函数的教学过程中，教师要注意多应用这一方法帮助同学滤清解题思路，并且应用这样的方法节省选择题的时间。帮助同学们找对方法，爱上数学课，参考文献1浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用j. 宋端坤.数学学习与研究.2013(21)2用好数形结合思想 让高中数学解题“活”起来j. 王协民.中学数学教学参考.2015(12)3数形结合思想在高中数学解题中的运用j. 卢江啸.求知导刊.2015(13)