空间向量在量问题中的应用PPT学习教案

1、会计学1 空间向量在量问题中的应用空间向量在量问题中的应用 一、空间两条直线所成的角： ), 2 0( 所成角为所成角为与与设空间直线设空间直线ba ),( ),( 2222 1111 nmld nmld 和和 别别为为它它们们的的一一个个方方向向向向量量分分 ).0 21 （的夹角为的夹角为与与dd ). 2 ( ) 2 0( 则则 .coscos 于是于是 第1页/共31页 二、空间直线与平面所成的角。 ), 2 0 （为为 们们所所成成的的角角相相交交且且不不垂垂直直时时，设设它它与与平平面面当当直直线线l , 的的夹夹角角为为与与nd ). 2 ( 2 ) 2 0( 2 则则 .cos

2、sin l n d 的的一一个个法法向向量量，是是的的方方向向向向量量，是是 nld n d l l O P A A . ,coscos dd dd dd 或或 d 第2页/共31页 三、 用向量法求二面角的大小 1 n 2 n l 1 n 2 n l 如图，二面角-l-，平面的法向量为 ， 平面的法向量为 ， ，则二面 角-l-为 或 。 1 n 2 n 21 n,n 第3页/共31页 l A C B D ，则，则二面角的大小为二面角的大小为若若 ,lBDlAC .,coscos BDAC BDAC BDAC .从垂足出发的向量从垂足出发的向量 均为均为与与注：注：BDAC 第4页/共31页

3、 . , 1111 111 所成的角所成的角与平面与平面的中点，求：直线的中点，求：直线是棱是棱 的所有棱长都是的所有棱长都是例：已知正三棱柱例：已知正三棱柱 AMCBBBAM aCBAABC A1 B1 C1 A B C x y z M ),0 , 4 , 4 3 (),0 , 0(), 0 , 0(),0 , 0 , 0( 11 a aMaCaAA解：建系如图，则解：建系如图，则 ), 0 , 0(),0 , 4 3 , 4 3 (), 0( 1111 aAABB a aMCaaAC ),.( 1 zyxnAMC 的一个法向量的一个法向量设平面设平面 yz yx ayax azayACn

4、MCn ACn3 0 4 3 4 3 0 1 1 1 )1 ,1 ,3(,1,3,1 nzxy则则令令 ，则则所所成成角角为为与与平平面面直直线线 ，的的夹夹角角为为与与设设 11 1 )1 ,1 ,3(),0 ,0( AMCBB naBB . 5 5 5 cossin 1 1 a a nBB nBB . 5 5 arcsin 11 所所成成的的角角的的大大小小为为与与平平面面直直线线AMCBB 第5页/共31页 BA O B A D P X Y , P BBDA B 0 例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中, OO=4,OA=4,OB=3, AOB=90是侧 棱上的一点

5、, 为中点,若OPBD, 求OP与底面AOB所成角的大小. Z O 4 4 3 ),4 , 2 , 2 3 (),0 , 0 , 3(DB解解：建建系系如如图图，则则 ), 0 , 3(zP设设), 0 , 3(),4 , 2 , 2 3 (zOPBD 则则 , 8 9 04 2 9 zzOPBDOPBD 所成的角，所成的角，与底面与底面为为平面平面AOBOPPOBAOBBB , 8 3 tan OB PB POBPOBRt中，中， . 8 3 arctan所成的角为所成的角为与面与面AOBOP 第6页/共31页 11 00 11 1 11 2:(2002 , 60 ,90 ,2, 3.; (

6、2) OAB O A BOBBOOAB OOBAOBOBOO OAOABO A BAO 111 例年上海春季高考题)如图: 三棱柱-平面平面 且 求:(1)二面角的大小 异面直线与所成角的大小. 1 A A B 1 O X Y Z O B1 1 11 :(1), (0,0,0),(0,1, 3), ( 3,0,0) ( 3,1 3), (0,2,0),(3,1, 3),(3,2,0) OOAOBx y OAOBz OOA ABAOAB 解以 为 原 点 ,分 别 以所 在 的 直 线 为轴 , 过 点 且 与 平 面垂 直 的 直 线 为轴 ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .如 图 所

7、示 .则 2 2 3 第7页/共31页 1 12 212 12 212 12 1 (0,0,1). ( , , ). 0,0. 3230 :,3,2,1 320 12 (2, 3,1).cos, 4| |2 2 , OZAOBn OABnx y z nAOnAB xyz yxz xy nn nn n nn n 显然为平面的法向量取 设平面的法向量为 则 即令 21 22 arccos.arccos. 44 nOAB O 故二面角的大小为 1 A A B 1 O X Y Z O B1 法1：法向量 第8页/共31页 1 A A B 1 O X Y Z O B1 法2 ： E F . , 1 11

8、 的的大大小小所所成成的的角角即即为为二二面面角角 与与则则向向量量于于于于作作 OABO FOEOFABFOEABOE 3 2 O A B E 3 2 . 7 32 AB OBOA OEAOBRt中，中， . 7 34 7 2 7 32 coscos ABOOEAOEOExE . 7 6 7 3 7 32 sin AOEOEyE ).0 , 7 6 , 7 34 (E )3, 1 , 0( )0 , 0 ,3( )0 , 2 , 0( 第9页/共31页 )0 ,(yxF令令 ),0 , 2 ,3(),3, 1,( 1 AByxFO 1 A A B 1 O Z O B1 E F 3 2 )3,

9、 1 , 0( )0 , 0 ,3( )0 , 2 , 0( )1(0)1(23 11 yxABFOABFO )0 ,3(yxAF )2( 23 3 yx ABAF )0 , 7 10 , 7 32 ()2)(1(F可知：可知：由由 ),3, 7 3 , 7 32 ( 1 FO).0 , 7 6 , 7 34 ( EO 第10页/共31页 . 4 2 7 6 7 34 )3( 7 3 7 32 03) 7 6 () 7 3 () 7 34 ( 7 32 cos 2 2 2 2 2 1 1 1 FOEO FOEO FOEO ，则，则的夹角为的夹角为与与设设 . 4 2 arccos故所求二面角的

10、大小为故所求二面角的大小为 第11页/共31页 1 A A B 1 O O B1 2 3 D M 法3: OBABOOOBB交线为交线为面面面面, 11 , 11 AOBDODOBDO面面则则于于作作 , 11 ABMOMOMABDMD 则则连连于于作作过过 . 11 的平面角的平面角是二面角是二面角OABOMDO 2 0 60 , 1,360sin2 0 11 ODDODOORt中，中， O A B D M 3 1 1 , 7 3 sin OBABDDMAOBRt中，中， 7 7 3 3 tan 1 11 DM DO MDODMORt中，中， .7arctan 1的大小为 的大小为故二面角故

11、二面角OABO 第12页/共31页 1 A A B 1 O X Y Z O B1 2 2 )3, 1 ,3( )0 , 2 , 0( )3, 1 , 0( )0 , 0 ,3( 7 1 cos 11 11 AOBA AOBA )3, 1 ,3(),3, 1 ,3(A 11 AOB则则 . 7 1 arccosAOA 11 所成的角为所成的角为与与异面直线异面直线B ,AOA)2( 11 所成的角为所成的角为与与设异面直线设异面直线B 第13页/共31页 A B C D M 1 A 1 C X Y Z :( ), C解如图以 为原点建立空间直角坐标系. 11 1 1 1 1 2 1 1 ,0,0

12、), ( 2,1,0), (0,1,1), (, , ), 2 2 2 22 1 1 (,1,0),(, , ),( 2, 1, 1) 22 2 2 11 (0, ,),0,0. 22 ,. , . BBAD MCDAB DMCD ABCD DM CDABCDDM AB DMBDM CDBDM ( 2 则 为平面内的两条相交直线 平面 0 111 111 11 1 2.(2004,90 , 1,2,1, .( ); ( ). ABCABCACB ACCBAAAAB BD BCMCDBDM B BDCBD 年高考题)如图 直三棱柱中 侧棱侧面的两条对角线交点为 的中点为求证平面 求面与面所成二面

13、角的大小 B1 )0 , 0 ,2( )0 , 1 ,2( )1 , 1 , 0( ) 2 1 , 2 1 , 2 2 ( )0 , 1 , 2 2 ( 第14页/共31页 1 1 11 1 1 1 3 2 1 1 ( ),(, , ). 44 4 2 1 123 1 (, , ),(, ) 2 2 244 4 0,. , 3 cos. 3| | c BDGBGG BDBG BD BGBDBG CDBDCD BG CD BG CDBG arc 设的中点为 ,连结则 又与的夹角 等于 所求二面角的平面角. 所求二面角的大小等于 - 3 os. 3 A B C D M 1 A 1 C G X Y

14、Z B1 )0 , 0 ,2( )0 , 1 ,2( )1 , 1 , 0( ) 2 1 , 2 1 , 2 2 ( )0 , 1 , 2 2 ( 第15页/共31页 例4:在四面体P-ABC中,APC=900,APB=600, PB=BC=4,PC=3,求二面角B-PA-C的大小. A B C P 0 60 4 4 3 D ,DAPBD于于解：作解：作 . 所成角所成角与与大小为向量大小为向量 的的二面角二面角 PCDB CPABAPCP ,3260sin4sin 0 BPAPBBDPBDRt中，中，在在 , 260cos 0 BPDP PCDPBDBC ,222 2222 PCBDPCDP

15、DPBDPCDPBDBC ),cos(332232)32(4 2222 . 4 3 arccos, 4 3 cos 二面角B-PA-C的大小为arccos . 4 3 第16页/共31页 如图，已知点P（x0,y0,z0）, A（x1,y1,z1），平面 一个法向量 。 n cosAPnAPn AP,n ，其中 ， , AP cosAP n n 的距离。的距离。到平面到平面就是点就是点绝对值绝对值的的 PcosAP P A n 三、求点到平面的距离 第17页/共31页 eAP n nAP d P A n 三、求点P到 平面的距离 的的单单位位法法向向量量为为平平面面 e 第18页/共31页 例

16、5、已知正方形ABCD的边长为4，CG平 面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求 点B到平面GEF的距离。 E D AB C G F x y z 解:建系如图 ,则G(0,0,2),B(0,4,0),A(4,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0),F(4,2,0) ),2, 2 , 4(),2, 4 , 2( GFGE 则：则：的法向量的法向量设平面设平面),(zyxnEFG 0224 0242 zyxGFn zyxGEn xz xy 3 )3 , 1 , 1(n 取取),2, 4 , 0( GB又又 .11 11 2 n nGB d.11 11 2 的距离为的距离为

17、到平面到平面故点故点EFGB 第19页/共31页 四、求异面直线的距离 n nEF d n a b E F 求两异面直线的距离公式： 求两异面直线的距离，先求公垂线的方向向量 , 再求两异面直线上两点的连结线段在 的射影长。 n n 第20页/共31页 X Y Z A B C D 1 A 1 B 1 D 1 C M N . , 2 , 3, 4:6 1 11 1111 的距离的距离与与求异面直线求异面直线 的中点，的中点，、为为、 中，中，在长方体在长方体例例 BAMN BBDCNMAA ADABDCBAABCD ).2, 4 , 0(),1 , 2 , 3( )1 , 4 , 0(),0 ,

18、 2 , 3( 1 BAMN NM解解：建建系系如如图图，则则 ),( 1 zyxnBAMN 公公垂垂线线的的方方向向向向量量、设设 024 023 0 0 1 zy zyx BAn MNn 则则 )2,1 , 3 4 ( 3 4 ,2,1 nxzy则则令令 3 61 n 的射影的长度为：的射影的长度为：在在又又nMA)2 , 2, 3( 1 . 61 616 3 61 4241 n nMA d . 61 616 1 的距离为的距离为与与异面直线异面直线BAMN 第21页/共31页 A B C A1 B1 C1 D E G Y X Z .)2( .)1( .ABD , 2,90 . 7 1 1

19、 111 0 111 的距离的距离到平面到平面点点 所成角的大小所成角的大小与平面与平面求：求： 的重心的重心上的射影是上的射影是在平面在平面点点 的中点，的中点，与与分别是分别是、侧棱侧棱 角形，角形，中，底面是等腰直角三中，底面是等腰直角三在直三棱柱在直三棱柱例例 AEDA ABDBA GABDE BACCEDAAACB CBAABC 2.ABDABGA BG,(1) 11 所成的角所成的角与平面与平面是是则则 连连解：解： B A(,2CA则则建系如图，设建系如图，设a )0 , 0 ,2a)0 ,2 , 0(,aB )2 , 0 ,2(),1 , 0 , 0( 1 aAD(),1 ,(

20、,GaaE ) 3 1 , 3 2 , 3 2aa )1 ,2, 0(), 3 1 , 3 , 3 (aBD aa GE 0 3 2 3 2 GE 2 aBD由由 1 a ) 3 1 , 3 4 , 3 2 (),2 , 2, 2( 1 BGBA BGBA BGBA BGA 1 1 1 cos 3 7 . 3 7 arccosABD 1 所成的角为所成的角为与平面与平面BA 第22页/共31页 A B C A1 B1 C1 D E X Y Z ),1 , 1 , 1(),1 , 0 , 2()2( AEAD (2,0,0) (0,0,1) (1,1,1) 则则的的法法向向量量为为设设面面),(

21、zyxnADE 的距离为：的距离为：到平面到平面点点ADEA1 )2 , 0 , 0( 1 AA 0 02 zyx zx AEn ADn xy xz2 )2 , 1, 1(n1x 得得取取 n nAA d 1 3 62 第23页/共31页 A B C 1 A 1 B 1 C F E D X Y Z 1 :(1),BBA BC BBxyz 解以 为原点分别为 轴轴 轴, 建立空间直角坐标系, )2, 2 2 , 2 2 ()2,2,0()2,0,2( )1 , 2 2 ,0()0,2,0()2,0,0()0,0,0( 11 1 DCA ECBB 、 、则则 )2, 2 2 , 2 2 (),1

22、, 2 2 , 0( DCBE , 10 30 5 2 3 2 2 1 ,cos DCBE . 10 30 arccos成角为成角为与与直线直线DCBE .BCAAF(3) AFDF,BCFF,AA(2) DCBE(1)BEA, 2BB2,AC ABCA-ABC8 11 11 1111 111 的距离的距离到面到面的中点，求的中点，求为为若若说明理由；说明理由； 的长，若不存在，的长，若不存在，若存在，求出若存在，求出面面使使上是否存在点上是否存在点在线段在线段 所成的角；所成的角；与与求直线求直线的中点，的中点，为为的中点，的中点，为为 形，形，为直角的等腰直角三角为直角的等腰直角三角中，底

23、面是以中，底面是以：如图直三棱柱：如图直三棱柱例例 FD CCD CB 2 2 第24页/共31页 A B C 1 A 1 B 1 C F E D X Y Z 则则的的法法向向量量为为设设面面 的的中中点点为为 ),( )0 , 2 2 , 2 2 ()1 ,2,2( ),1 , 0 ,2()2( 1 1 zyxnFDB BDCF FAAF )2, 1, 1(2, 1, 1 nzyx取取 . 2 23 1 n nCF dDFBC的的距距离离到到平平面面点点 )0 ,2, 0( ), 0 ,2F(,BCF)2( 1 zDF 令令面面假设存在使假设存在使 ),2, 0 ,2(),2,2( 1 zF

24、BzCF 0220CF 2 1 zzFB由由 .0方方程程无无实实根根，故故不不存存在在 02 0 2 2 2 2 1 1 zxFBn yxDBn 第25页/共31页 例9:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形, O为下底面的中心，且A1在 底面ABC上的射影是O. (1)若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1,问点F在何处时，EFAD？ (2)若A1AB=600,求二面角C-AA1-B的大小. A1 A B C D B1 C1 D1 O E F )(),( )(),(),(),( ,1)1( 1 1 EA DCBA aOAAB则则建建系系如如图图，设设解解： x

25、 y z 0 , 0 , 2 2 0 , 2 2 , 00 , 0 , 2 2 0 , 2 2 , 0 3 2 , 0 , 6 2a a, 0 , 0 )0 , 1 1 2 2 , 12 2 (, FFCBF则则令令 ) 3 2 , 1 1 2 2 , 6 2 12 2 ( a EF )0 , 2 2 , 2 2 ( AD . 2 1 0 1 1 2 1 6 1 12 1 0 ADEFADEF .ADEFBBCF 点）时，点）时，的三等分点（靠近的三等分点（靠近为为点点 第26页/共31页 A1 A B CD B1 C1 D1 O E F (2)若A1AB=600,求二面角C-AA1-B的大小. 0 60 H , 11 BDOAABCBDABCOA 面面面面 BDACABCD 中，中，又正方形又正方形 , 1AC ABD面面 , , 1 1 AABH BHHAAOHO 则则 连连于于作作过过 . 1 的平面角的平面角为二面角为二面角BAACOHB , 2 3 60sin, 2 2 B 0