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1、均值定理的运用摘要：均值定理的用处广泛，在高中数学里有 着摘要的地位，但是很多学生都不能灵运用，提高学生的解题能力和技巧是老师在数学 教学中得首要任务。关键词：均值定理 最大值 求证 均值定理在高中数学中占有重要一席，它有比较 广泛和灵活的运用，在使用均值定理时，需要注意其 成立的条件和各项演变。 下面以具体的实例加以展示， 以便与大家共勉。例 1 求证 lg9.lg110,lg110lg9. Ig11 （ ） 2=（ ） 2（ ） 2=1即 lg9.lg110, y0，且xy=x+y+1，求x+y的最 小值。分析：由 xy= x+y+1 得（x-1） （y-1） =2,而 x0,y0因此 x

2、-10，y-10 求最小值不妨用均值定理。解：由 xy= x+y+1 得(x-1) (y-1) =2,而 x0, y0 x-10, y-10则 x+y= (x-1) + (y-1) +2 2+2 =2+2 , 即当 x=y=1+ 时， x+y 的最小值为 2+2 。例 3 设 x、y、z0,且 x+3y+4z=6，求 x2y3z 的 最大值。分析：x, y, z0,求最大值问题易联想到构造使 用均值定理。解： x, y, z0, x+3y+4z=66= x+3y+4z= + + y+ y+ y+4z 6x2y3zW 1(当 =y=4z 时,取“ =”号)即 x=2, y=1 , z= 时, x

3、2y3z 取得最大值 1 。例 4 已知 x1, y2,且 x+ y=15,求(x-1) 2( y-2) 的最大值。分析： x1 ，y2 求最大值联系到 x-10，y-20 构造并使用均值定理即可。解：由 x+y=15 得( x-1 ) +( y-2) =12即 12=(x-1) +(x-1) + (y-2) 3.则(x-1) 2 (y-2)w 44=256(当 (x-1)=y-2 时取“ =”号)256 9a0，即当x=9, y=6时,(x-1) 2 (y-2)的最大值为例 5 设 x0， y0 且 x+y=1 ，求证( 1+ )( 1+ )分析：因为 x0， y0， x+y=1 ，不妨设

4、x= ， y= ，b0,然后代入展开使用均值定理。证明：设 x= ， y= ( a0， b0)则( 1+ )( 1+ )=1+ + +=1+ + + =3+ + +3+2 + =3+2+4=9即(1+ ) (1+ ) 9例 6 已知 a0, b0, a+ b=1,求证(a+ ) (b+ )证明：要证(a+ )(b+ )只需证(a2+1) (b2+1) ab即 a2+ b2+ a2 b2+1 ab只需证明：1-2ab+ a2 b2+1 ab即 8-8ab+4 a2 b2 25ab也即要证 4 (ab) 2-33ab+8 0(4ab-1) (ab-8) 0(1)t abw，贝U 4abw 1，又 ab-8 成立作者简介：姓名：朱正容， 男，

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