饮酒与驾车的关系(04年国家数学建模一等奖)

1、饮酒与驾车的关系本文2004年获得国家数学建模一等奖，并且在工程数学核心期刊发表。摘要针对酒后驾车问题，本文从实际情况出发并结合题设作出了合理的假设，并考虑了影响体液中酒精含量变化的因素吸收过程和代谢过程的同时进行，建立了一般微分方程模型。进而考虑到饮酒的快慢的不同，于是在一般模型的基础上又得出了两个具体的模型。接下来用常数变易法对各个模型进行求解，而且由题得知题中所给的数据符合具体模型，于是我们用最小二乘法并借助于matlab软件，对模型所得的体液中酒精浓度关于时间的表达式进行拟合，得到了模型中吸收能力系数和代谢能力系数的值分别为2.0261和0.1842，到此时我们得到了可以用来解答题中问

2、题的模型的解。于是我们就根据已知条件分别判断各问题符合的模型，再逐步地采用mathematica软件来一一解答了各个问题。解答问题1时，得到下午6点的体液中酒精的含量为18.8198毫克/百毫升，小于国家标准规定的20毫克/百毫升，而凌晨2点的为20.3968毫克/百毫升，大于国家标准规定的20毫克/百毫升，如此通过定量的分析合理的解释了大李遇到的情况；在问题2中我们得到两种情况下分别在饮酒后11.6341小时、12.7169小时内驾车就会违反国家新标准，而通过对题中数据的分析比较可知此结果是很符合实际的；问题3中采用了作图的方法并结合了高等数学中关于求驻点及求极值的相关知识，在问题2的前提条

3、件下结合两种不同的情况来说明如何估计体液中酒精含量达到最大时的时间，如：在问题2中对两种饮酒方式求得分别在饮酒后1.35067小时和2.62436小时时体液中酒精含量达到最大值：124.638毫克/百毫升和116.682毫克/百毫升；对于第四个小问题，先根据模型求解出酒精被吸收的百分比，再由求无穷等比数列的极限得出体内酒精浓度的极限值，进一步算出每天酒精涉入量的极限安全值为8399.7毫克,相当于0.387瓶啤酒所含的酒精量。本文的最大特色在于运用合理的假设建立了一个针对酒后驾车问题的一般的微分方程模型，然后用常数变易法求出了其通解，这使得我们一开始就站在一个很高的理论高度，在这个理论的指导下

4、，各种具体问题都变得非常容易求解，这就极大的简化了计算。此外，我们还对一般的模型进行了误差和灵敏度分析，利用微分方程的稳定性理论严格的证明了微分方程对初值与非齐次项都是渐进稳定的，这表明我们的模型是完全可行的。一、问题的提出据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准。新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或

5、等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1） 酒是在很短时间内喝的；2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计

6、血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天饮酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据见附录。二、问题假设为了更简便的解决问题，我们在研究这个问题的过程中作出以下假设：1. 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和作剧烈性运动。2. 人的吸收速率和代谢速率是

7、恒定的。3. 血液与体液中酒精的浓度相同。4. 酒精代谢速率与当前血液中酒精浓度成正比。5. 人体体液对酒精吸收速率与当前肠胃中酒精含量成正比。6. 人体自身产生的酒精忽略不计。7. 忽略不同人对酒精代谢能力的差异。三、符号说明变 量含 义单 位备 注吸收能力系数1/小时代谢能力系数1/小时开始饮酒时人体体液中的酒精浓度毫克/百毫升人喝下酒精的总量毫克一瓶啤酒中酒精的量约为21700毫克5人体液所占的体积百毫升约为420百毫升4时间小时较长时间饮酒时的持续时间小时酒精由肠胃进入人体体液的速率毫克/小时酒精由口进入肠胃的速率毫克/小时t时刻体液中酒精的量毫克时刻肠胃中酒精的量毫克在t时刻人体体液

8、（或血液）中的酒精浓度毫克/百毫升四、问题分析及模型的建立1问题分析依常识，我们知道酒精无需经过消化系统即可被肠胃直接吸收，进入血管，在几分钟后迅速扩散到人体全身，且参与代谢，即吸收过程和代谢过程是同时进行的。由此我们可以知道血液中酒精浓度同时受吸收和代谢影响。而由假设和题目的条件可知，体液中酒精浓度和血液中的酒精浓度是一样的，所以我们只考虑体液中酒精浓度的变化。接下来我们将分别对吸收过程和代谢过程作分析和讨论：（1）吸收过程在此过程中我们考虑的是肠胃吸收酒精进入体液所引起的酒精量的增量，其中用代表时刻酒精由肠胃进入人体体液的速率（单位：毫克/小时），则时间段内体液中酒精量的增量可表示为：。再

9、以表示人喝下酒精的总量，以刚开始饮酒的时刻为记时的初始时刻，即=0，由于喝下的酒精在时间无穷长时总会被全部吸收，故有：（2）代谢过程在此过程中我们考虑的是机体代谢排出体液中酒精所引起的量的变化，这里我们认为酒精的代谢的速率与当前体液中含有的酒精量成正比关系，设比例系数为b，以表示t时刻体液中酒精的量，则时间段内体液中酒精量的减少量可表示为：。结合以上两个过程，依据量守恒定律，在时间段内有：体液中酒精量的变化量 = 吸收进入体液的酒精量 - 代谢了的酒精的量即得方程：两边同除后让取极限得微分方程：根据体液中酒精的量与体液中酒精浓度间的关系，在上式两边同时除以得酒精浓度满足的微分方程：2模型建立根

10、据以上分析，我们可以得出血液中酒精浓度关于时间变化的一般模型：一般模型： 由题中可知，酒可以在很短时间内喝完，也可以在一段较长的时间内喝完，这样将有两个不同的吸收速率，即可以得到两个不同的表达式，于是可以得到两个具体模型。第一个模型是考虑短时饮酒效应，第二个模型考虑的是长时饮酒效应。具体模型的建立：由于考虑的是短时的饮酒效应，可以认为人饮入的酒量在最初时间就全部存在于机体的肠胃中，以表示时刻肠胃中酒精的量，即有,从生物机体对酒精吸收的规律，可以知道肠胃中酒精的减少速率与剩余量成正比，设比例系数为，由此有微分方程：而又很容易想到酒精进入人体体液的速率与肠胃中酒精的减少速率是一个相当过程，这样便可

11、以得到：再结合一般模型，我们可以得出如下模型具体模型： 具体模型的建立：在这里研究的是长时饮酒效应，可近似认为在持续饮酒的过程中酒精是匀速进入肠胃的，参照模型可有，在此我们引入函数来表示酒精进入肠胃的速率（单位：毫克/小时），表示饮酒时的持续总时间，则酒精进入肠胃的速率与整个过程中喝入的酒精量有如下关系： 而肠胃里的酒精量的变化与机体对酒精的吸收和喝入机体的酒精量都有关系，而机体对酒精的吸收速率可以与模型一样用来表示，则时间段内有：肠胃里的酒精量的变化量 = 喝入机体的酒精量 - 机体对酒精的吸收量即得：两边同除后让取极限得：而与模型一样有： 再结合一般模型我们可以得到模型如下：具体模型： 五

12、、模型求解 对于本题的模型求解，我们分以下几个步骤进行： step1:对一般模型进行求解。 step2:根据step1求得的结果分别对具体模型和具体模型进行求解，得到两个模型的解的表达式。 step3:根据已有数据应用最小二乘法对具体模型进行数据拟合，分别获得参数与的值。从而得出具体模型和具体模型的解的具体表达式。 step4:利用step3的结果分别对题中的每一问进行解答。 1一般模型的求解 观察一般模型，这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程，其特征方程为：，故其特征根为：，于是此微分方程对应的齐次方程有通解：为任意常数 运用常数变易法，令代入原方程，得： （k为任意常数） 于是得原方程通解

13、： 由初始条件得：，故特解为：2具体模型的求解由及得：，又，于是有如下结论：（此时也是满足的。）将其代入一般模型的特解中并化简得：3具体模型的求解根据题设，我们取 。由及可得：又，可得：将其代入特解中并化简得：4参数估计及具体解根据题中所给数据以及所给的条件可知所给数据符合依据具体模型求得的酒精浓度关于时间变化的表达式，这里我们通过资料搜集得到信息人体中含有体液的总体积约为420百毫升4，由于常识我们很容易的知道了一瓶啤酒含有的酒精量为21700毫克。接下来我们运用最小二乘法结合matlab软件拟合出、的值分别为：于是具体模型的解为：图像为：（其中点为题中已知的数据点，曲线为拟合的曲线。）具体

14、模型的解为：图像为：5问题1的解答在此问题中，大李是在下午6点时接受检查的， 首先考虑到他喝啤酒的时间很短，则我们将此处理为具体模型的情景。在求解过程中我们以喝啤酒时刻为计算的初始时刻，而根据假设5，可以知道，又，把数据代入具体模型的解中求出第一次他在喝一瓶后6小时的血液中酒精浓度为：（毫克/百毫升）小于20毫克/百毫升,即通过检查。7小时后血液中酒浓度为15.654毫克/百毫升。此时再喝下一瓶啤酒，我们以此刻为初始时刻，初始浓度为15.654毫克/百毫升，即：（毫克/百毫升）将此代入模型的解，依然借用mathematica软件得出凌晨2点时血液中酒精浓度为：（毫克/百毫升）大于20毫克/百毫

15、升，即未通过检查。6问题2的解答1）从题可知此小题的情况符合模型，且由题可知：将此代入模型的具体解，并计算出的临界值，也就是当时的值。可解如下方程：应用mathematica软件解得（小时）即短时间喝完3瓶啤酒后11.3641小时内驾车出行就会违反标准。2）从题可知此小题的情况符合模型，且由题可知：将此代入模型的解，并计算出的临界值，也就是当时的值。这里我们同样假设t=2，由图像观察可知人体内酒精浓度的降低在大于2的区域，于是可解如下方程：应用mathematica软件解得：（小时）即用2小时喝完3瓶啤酒的方式，在开始饮酒后12.7169小时内驾车出行就会违反标准。7问题3的解答我们首先假设只

16、喝3瓶啤酒，用作图的方式发现无论啤酒是在短时间内喝的还是在较长一段时间内喝的，在时只存在一个极值点并且当不断增大时曲线逐渐趋近于轴。于是我们可以用求的驻点的方法来求的最大值点即酒精含量最高的点。在模型中，我们运用mathematica软件求解方程得：（小时）此时最大浓度（毫克/百毫升）。我们在模型的图像中发现最大值出现在的区域内，我们运用mathematica软件求解方程，得（小时）此时最大浓度（毫克/百毫升）。8问题4的解答在本问中我们假设每天喝进啤酒的量是，每天只喝一次，是短时间进酒，两次间隔24小时。一般地讲，如果天天饮酒，他们都喜欢短时间饮酒，因此采用模型的结果：将的值代入上式得到当第

17、一天血液中酒的浓度为时24小时之后血液中还有未被代谢。进而第二天血液中酒的浓度为：第三天血液中酒的浓度为：第n天血液中酒的浓度为：当时血液中酒的浓度为：若司机还能开车，就要使，即，又，进而计算出毫克。因为一瓶啤酒中酒精的量约为21700毫克，由此计算出每天最多可喝0.387瓶。六、误差与灵敏度分析首先，根据微分方程解的存在唯一性定理可知，只要在上连续，则对于任意实数及，方程在上存在唯一解满足初始条件。其次，由于用微分方程描述的实际问题，其特解密切依赖于初始值和非齐次项，如本文中开始饮酒时人体体液中的酒精浓度和人饮酒的速率的快慢的度量，而初始值往往不能准确得到，于是我们必须考虑其会不会很严重的影

18、响微分方程的解。这就是我们要考虑的方程的稳定性问题，实际上我们有下面的两个定理： 定理1：微分方程的解对于初值是渐进稳定的。证明：上述微分方程的解为，给初值一个微小的扰动，即，则解为：于是，。由于，故 ，取，有 。（证毕）定理1表明方程的解对初值并不敏感，因此我们不考虑人体内的酒精含量0.003%是完全可行的。定理2：微分方程的解对于非齐次项是渐进稳定的。证明：上述微分方程的解为考虑不同的非齐次项和，且，有 ，则：因此只要取， 那么，有。（证毕）由定理2可知非齐次项对解的影响不大，即可以知道由一般模型推得具体模型和具体模型是可行的。七、短文酒是人们常用的饮品，从古至今它都与人们的生活息息相关。

19、酒文化是古文化，也是现代文化，其历史悠久，在人类文明乃发展中起了一定的作用。饮酒不但能够驱寒，而且有节制的、有规律的喝少量的酒可加速机体代谢，对机体有益；但是饮酒过量可引起中毒，并引发多种疾病。而对于驾驶人员，这又要另当别论。据报载03年全国交通事故死亡率中由饮酒驾车造成的占有相当的比例。那么，为了避免不发生事故，驾驶人员就不能饮酒吗？其实不然，04年颁布的关于饮酒驾车的新标准中规定驾驶人员体液中含有的酒精量大于20毫克/百毫升才算为饮酒驾车。所以只要驾驶人员控制好饮酒的时间和喝的量，就可以享受酒带来的乐趣。我们考虑机体对酒精的吸收和代谢的过程得到了体液中酒精含量关于时间变化的大致情况，可以帮

20、助驾驶人员解决此问题。现给出以下建议：（1） 如果是经常要出车的驾驶人员，饮酒的频率应该要小，每次的量也不应该太多。而且在喝完酒的短时间内不要出车。（2） 如果并不是经常出车，这样的驾驶人员要注意在出车前的一段较长时间内不要饮酒，至少是不要喝太多的酒。而考虑到酒对机体的作用，饮酒频率不要过多，饮酒量也不要过大。爱好饮酒的驾驶朋友们，不要为了一时的乐趣而放开自己的职责，请结合自己的出车时间和频率，好好的安排自己饮酒的时间和饮酒的量，让自己喝得安心，在出车过程中很容易的就能符合新的驾车标准。八、模型的评价与推广评价：对于我们所建立的酒精血液浓度模型，能够很好的为司机提供建议。我们在一般模型的基础上

21、根据饮酒所持续的时间对问题进行分别考虑，酒精进入肠胃的速率随着饮酒所持续的时间会取不同的值，建立了两个具体模型，提高了针对性。在模型的情况下对于类似大李这种咋一看似乎难以理解的现象能很好的做出解释，消除疑问。但我们所建立的模型也有一些不足之处，例如在对体液的体积进行假设时,为了使计算出的数据更符合题所给的数据,取了一定的主观值,比如说我们特定的取人体体液的体积为420百毫升，导致在精确度方面稍有欠缺。推广：此模型主要解决的问题在数学上可归结为解一个微分方程的问题。我们在进行理论计算和分析时，要对其条件进行适当的取舍，得出较为合理的答案。在实际中我们经常遇到与此问题类似的一些问题，模型不止是对研究酒精的血液浓度适用，对一些药物在体内的吸收、分布与排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系也能有较合理的解释。在此模型中，假设人的新陈代谢速度是恒定的，可以加以推广考虑到涉入影响代谢的药类物质和作剧烈性运动而引起的新陈代谢的变化，也就可能得出更优的模型。利用此模型解决问题时，只要设整体过程中新陈代谢的速度是恒定的,在大致了解其它因素，参照我们所建立的模型就可以得出大致的优化结论。九、参考文献1 费培之，数学模型实用教程，成都，四川大学出版社，1998年。129页2 张志让等，数学实验，科学出版社，1999年。88页。3 云舟工作室，mat