2015年高考真题——理科数学（新课标Ⅰ卷）

1、精品文档可下载编辑修改2015年高考真题理科数学（新课标卷） 设复数z满足=i，则|z|= （a）1 （b） （c） （d）2 【答案解析】 a 试题分析:由=i得，故，故选a. 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （a） （b） （c） （d） 【答案解析】 d 试题分析：原式=，故选d. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 设命题p：nn，则p为 （a）nn, （b） nn, （c）nn, （d） nn, = 【答案解析】 c 试题分析：:，故选c. 考点：特称命题的否定 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独

2、立，则该同学通过测试的概率为 （a）0.648 （b）0.432 （c）0.36 （d）0.312 【答案解析】 a 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选a. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 已知m（x0，y0）是双曲线c：上的一点，f1、f2是c上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是 （a）（-，） （b）（-，） （c）（，） （d）（，） 【答案解析】 a 试题分析:由题知， 所以， 解得，故选a. 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米

3、几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 a.14斛 b.22斛 c.36斛 d.66斛 【答案解析】 b 试题分析：设圆锥底面半径为，则，所以米堆的体积为，故堆放的米约为故选b. 考点：圆锥的体积公式 设d为abc所在平面内一点，则 （a） (b) （c） (d) 【答案解析】 a 试题分析：由题知，故选a. 考点：平面向量运算 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 (a)（）,k

4、(b)（）,k (c)（）,k (d)（）,k 【答案解析】 d 试题分析：由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选d. 考点：三角函数图像与性质 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （a）5 （b）6 （c）7 （d）8 【答案解析】 c 试题分析：执行第1次，t=0.01,s=1,n=0,m=0.5,s=s-m=0.5,=0.25,n=1,s=0.5t=0.01,是，循环， 执行第2次，s=s-m=0.25,=0.125,n=2,s=0.25t=0.01,是，循环， 执行第3次，s=s-m=0.125,=0.0625,n=3,s=0.125t=0

5、.01,是，循环， 执行第4次，s=s-m=0.0625,=0.03125,n=4,s=0.0625t=0.01,是，循环， 执行第5次，s=s-m=0.03125,=0.015625,n=5,s=0.03125t=0.01,是，循环， 执行第6次，s=s-m=0.015625,=0.0078125,n=6,s=0.015625t=0.01,是，循环， 执行第7次，s=s-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,s=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选c. 考点：程序框图 的展开式中，的系数为 （a）10 （b）20 （c）30 （d）60 【答案解析】 c 试

6、题分析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 c. 考点：排列组合；二项式定理 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （a）1 （b）2 （c）4 （d）8 【答案解析】 b 试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱体的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为，解得，故选b. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是

7、a.-，1） b. -，） c. ，） d. ，1） 【答案解析】 d 试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方. 因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=， 当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选d. 考点：导数的综合应用 若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= 【答案解析】 1 试题分析：由题知是奇函数，所以，解得. 考点：函数的奇偶性 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 【答案解析】 试题分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 若x,y满足约束条件，则的最大

8、值为 . 【答案解析】 3 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点a（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3. 考点：线性规划解法 在平面四边形abcd中，a=b=c=75，bc=2，则ab的取值范围是 【答案解析】 （，） 试题分析：如图所示，延长ba，cd交于e，平移ad，当a与d重合与e点时，ab最长，在bce中，b=c=75，e=30，bc=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移ad ，当d与c重合时，ab最短，此时与ab交于f，在bcf中，b=bfc=75，fcb=30，由正弦定理知，即，解得bf=，所以ab的取值范围

9、为（，）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 为数列的前n项和.已知0，=. （）求的通项公式： （）设 ,求数列的前n项和 【答案解析】 （）（） 试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列的递推公式，可以判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；（）根据（）数列的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和. 试题解析：（）当时，因为，所以=3， 当 时，=，即，因为，所以=2， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以=； （）由（）知，=， 所以数列前n项和为= =. 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 如图，四边形abc

10、d为菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be=2df，aeec。 （）证明：平面aec平面afc （）求直线ae与直线cf所成角的余弦值 【答案解析】 （）见解析（） 试题分析：（）连接bd，设，连接,在菱形abcd中，不妨设易证,通过计算可证,根据线面垂直判定定理可知平面,由面面垂直判定定理知平面平面;（）以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值. 试题解析：（）连接bd，设bdac=g，连接eg,fg,ef,在菱形abcd中，不妨设gb=1，由abc=120，可

11、得ag=gc=,由be平面abcd，ab=bc可知，ae=ec,又aeec,eg=,egac,在中，可得be=，故df=。在中，可得. 在直角梯形bdfe中，由bd=2，be=,df=可得 ，egfg， acfg=g，eg平面afc， eg面aec，平面afc平面aec. 6分 （）如图，以g为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，由（）可得a（0，0），e(1,0, )，f（1,0，），c（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分 故. 所以直线ae与cf所成的角的余弦值为. 12分 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能

12、力，推理论证能力 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中=, = （）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题： （i）

13、年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 【答案解析】 （）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（）（）（i）66.32（ii）46.24 试题分析：（）由散点图即所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数，（）令，先求出建立关于的线性回归方程，即关于的回归方程；（）（i）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率与的关系为即年利润的预报值；（ii）根据（）的结果可知，年利润的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值是的年

14、宣传费. 试题解析（）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. 2分 （）令，先建立关于的线性回归方程， 由于 关于的线性回归方程为 关于的回归方程为. 6分 （）（i）由（）知，当时，年销售量的预报值， 9分 （i） 根据（）的结果知，年利润的预报值 当，即时，取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 在直角坐标系xoy中，曲线c：y=与直线(0)交与m,n两点， （）当k=0时，分别求c在点m和n处的切线方程； （）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opm =

15、opn？说明理由。 【答案解析】 （）或（）存在 试题分析：（）先求出m,n的坐标，再利用导数求出m,n.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线c的方程整理成关于的一元二次方程，设出m,n的坐标和p点坐标，利用设而不求思想，将直线pm，pn的斜率之和用表示出来，利用直线pm，pn的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的p点坐标. 试题解析：（）由题设可得，或，. ，故在=处的导数值为，c在处的切线方程为 ，即. 故在=-处的到数值为-，c在处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为或. 5分 （）存在符合题意的点，证明如下： 设p（0，b）为复合题意得点，直线pm，pn的斜率分别为.

16、 将代入c得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补， 故opm=opn，所以符合题意. 12分 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 已知函数f（x）=. ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （）用表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数. 【答案解析】 （）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论. 试题解析：（）设曲线

17、与轴相切于点，则，即，解得. 因此，当时，轴是曲线的切线. 5分 （）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点. 当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数. ()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=. 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点. 10分 综上，当或时，

18、有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 选修4-1：几何证明选讲 如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于e （i） 若d为ac的中点，证明：de是o的切线； （）若，求acb的大小. 【答案解析】 （）见解析（）60 试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，,由直角三角形中线性质知,利用等量代换可证，即，所以是圆的切线；（）设,由得，设，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得,列出关于的方程，解出，即可求出的大小. 试题解析：（）连接，由已知得，, 在中，由已知得de=dc, 连接oe，, ,是圆的切线。 5分 （）设ce=1，ae=x,由已知得 由射影定理可得，, 解得 10分 考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三