向量运算与复数运算算法推理与证明

1、向量运算与复数运算、算法、推理与证明咼考考点考点解读平面向量的运算及运用1以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向 量的线性运算及几何意义2. 以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、 数量积 交汇命题3. 直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判 断向量的垂直关系复数的概念及运算1复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算程序框图1主要考查程序框图的应用及基本算法语句，尤其是含循环结 构的程序框图2.与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复 计算问题放在一起综合考查合情推理1主要考查合情推理和演绎推理，

2、重点考查归纳推理和类比推 理2.以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相 结合考查归纳推理备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1) 加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法.(2) 掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意 “分母实数化 ” 的运用(3) 关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度 重视(4) 掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到 归纳到位、 准确；对类比推理要找

3、到事物的相同点，做到类比合， 对演绎推理要做到过程严 密预测 2019 年命题热点为：(1) 利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、 共线等问题， 与三角函数、解析几何交汇命题(2) 单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查(3) 程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方 程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题(4) 推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一 起命题知识整合Zhi shi zhe ng he1.重要公式(1) 两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a = (

4、xi, yi), b= (X2, y2),则 a/ b? a= ?b(b丰0,入 R)? XW2 x2y1 = 0. a 丄 b? a b = 0? X1X2+ yiy2= 0.(2) 复数的四则运算法则(a + bi) & di) = (a) + (bl)i(a, b, c, d R).(a + bi)(c+ di) = (ac bd) + (bc+ ad)i(a, b, c, d R).ac+ bdbc ad(a + bi)弋& di)=卉 d2 + c2+ d2 i(a, b, c, d R ,c+ di 工 0).2.重要性质及结论(1)若a与b不共线，且 七+小=0，贝U匕尸0.已知

5、OA =Obf O(C入为常数)，则A, B, C三点共线的充要条件是?d 尸 1.(3)平面向量的三个性质则 |a|= , a a = x2 + y2.若 a= (x, y),若 A(X1, y1),B(x2, y2),则 |AB|= , X2 X1 2+ y2 y1 2b(a丰 0, b丰 0)的夹角，且 a = (X1, y1), b = (x2, y2)，则a bcos 0= |a|b|X1X2 + y1y2复数运算中常用的结论:1 I i1 i(1 2= 土 2j =i :=i ；b + ai = i(a+ bi): i4n= 1,1 i1 十 ii4n+14n+2i = i , i

6、=-1, i4n+3=- i,其中 n N3. 推理与证明（1）归纳推理的思维过程实验、观察概括、推广f猜测一般性结论（2）类比推理的思维过程实验、观察联想、类推f猜测新的结论（3）（理）数学归纳法证题的步骤 （归纳奠基）证明当n取第一个值n=叫门o N*）时，命题成立； （归纳递推）假设n= k（kno, k N*）时命题成立，证明当 n = k+ 1时，命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何nno的正整数都成立.易错警示Yi cuo jing shi1. 忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误.2. 不能准确把握循环次数解答循环

7、结构的程序框图（流程图）问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误.0不等价；两个向量夹角3. 忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于为钝角与向量的数量积小于 0不等价.1. (2018 全国卷I,1)设 z= * + 2i，则 |z|= ( C )C. 1解析1 + i 1-i2i眩盲+2i=i, |z|= 1.故选C.2. (2018全国卷n,1 + 2i1)= ( D )l)1 2i 丿4 34 3A.匚一二iB.： + ：i5 55 53 43 4C. 5一 4iD . 5 + 5i解析1+ 2i_1 + 2i 2_ 1 4 + 4i_ 3+ 4i1 2i= 1 2i

8、1 + 2i = 1 2i 2 =5 故选D .3. (2018 全国卷 n, 4)已知向量 a, b 满足 |a|= 1, a b= 1,贝U a - (2- b)= (B )A . 4B . 3C. 2D . 0解析a - (2- b)= 2a2 a b= 2|a|2 a b.T |a|= 1, a b = 1 ,原式=2 x 12+ 1 = 3.故选B .4. (2018全国卷I, 6)在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB = ( A )1 -T 3 -TB . -AB AC441 T 3 TD . -AB + -AC443 -1 -A . tAB -AC4 43

9、t 1 tC .匚AB + ; AC4 4解析作出示意图如图所示.-t -t -t 1 -t 1 -tEB= ED + DB = qAD + qCB11 t t 1 t t =2 X 2（AB + AC） + 2（AB- AC）=3AB - 4ac.故选A .15. （2018北京卷，2）在复平面内，复数1i的共轭复数对应的点位于 （D ）B.第二象限D.第四象限A .第一象限C.第三象限1 1 i1 i解析 =7+ -，其共轭复数为1 -，对应点位于第四象限.1 i 2 22 2故选D .1 1 1 1 16. （2018全国卷n, 7）为计算 S= 1 2+ 3 4 + 99 而，设计了如

10、图所示的程序框图，则在空白框中应填入（B ）A.i = i + 1B.i = i + 2C.i = i + 3D. i = i + 4解析把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下循环次数（50）11 10+； +0+；+乍+11111 3N0+0 +1+31 11 1-+ -+ +3 559911 10+； +0+；+匚+11122 4T0+20+41 11 1-+ -+ . +4 66 1001 11 1 11 二+二一1二+二一-11 112 323 4S1 21 2+341 1 11 1_ + 一 二4 + 56+ 991001因为N = N+丄，由上表知i是15，所以i = i +

11、2.i故选B .7. （2018天津卷，3）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为（B ）A. 1B . 2C. 3D . 4解析输入N的值为20,第一次执行条件语句，N= 20十2, ? = 10是整数,T = 0 + 1 = 1, i = 35 ;第二次执行条件语句，N= 20, i = 3, N = 20不是整数,i 3 i = 4 5成立，输出 T = 2. 故选B .6+ 7i& （2018天津卷，9）i是虚数单位，复数 齐= 匕.解析6+ 7i = 6+ 7i 1 2i = 20 5i1+ 2i= 1+ 2i 1 2i =59. (2018 北京

12、卷，9)设向量 a= (1,0), b= ( 1, m).若 a丄(ma b),贝U m 解析a= (1,0), b= ( 1, m),则 ma b = (m+ 1, m).由 a丄(ma b)得 a -ma b)= 0,即 m+ 1 = 0,得 m= 1.10. (2018 全国卷川，13)已知向量 a = (1,2), b = (2, 2) , c= (1, 若 则入=11.c/ (2 a + b),1解析2a + b = (4,2),因为 c/ (2a + b),所以 4 入=2，得入=命题方向1平面向量的运算例1如图，正方形 ABCD中，M是BC的中点，若AC=入AW卩BD贝V入 +尸

13、(B )C.1584入=3， 解得尸3，解析方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2,则A(0,0) ,B(2,0),C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以 AC = (2,2), AM = (2,1), BD = (-2,2) 由 AC =入天腑Bd 得2 2 尸 2,(2,2) =)2刀，即(2,2) = (2-2打 2 讥所以 “ 2 尸 2,4入=3,=1尸3,方法二：因为 AC=入老腑 13D= XAB+ BM)+ p(EBA + AD) = ?(AB+ 2/d)+ p(-AB + AD)入一尸1,1 11十=(pAB +(2 H pAD,所以 1 2 h p=

14、 i,故选B .在平行四边形 ABCD中，M为BC的中点，若AB=入1WDb贝U入=|解析由图形可得：am = Ab+2aD,Db = Ab Ad , X2+得：2Am + DB = 3Ab，即 Ab = |aM + DB，所以入=|,尸 f，所以入=9.规律总结1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现.2正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用.提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向.跟踪训练Gen zong xun lia n1.过点P(

15、1,.3)作圆x2+ y2= 1的两条切线，切点分别为A, B，贝y PA PB一= 2解析圆心为 0(0,0)，则r- I ，：,3，/OPA =Z OPB =扌，则/ APB=n 所以心 cos/ APB=/3 3 - con=-3 322. 已知向量 a= (3,1), b = (x, 2), c= (0,2)，若 a丄(b c),则实数 x 的值为(A )3 一 4-CC4解析因为 b c= (x, 4)，又 a丄(b c)，所以 a (- c) = 3x 4= 0，所以 x = 3.命题方向2复数的概念与运算例2 (1)已知复数zi = 芒的实部为a, 复数z2 = i(2 + i)

16、的虚部为b,复数z= b+ ai的共轭复数在复平面内的对应点在(D )A 第一象限B 第二象限C.第三象限D 第四象限分析先计算Z1、Z2求出a、b，再由共轭复数的定义求得 z ,最后写出对应点的坐标.解析3+ i 3 + i 1 + i ,Z1 1 + 2i,1-i 1 i 1 + iz2= i(2 + i) = - 1 + 2i,. a= 1, b = 2, a z= 2 + i,z = 2-i在复平面内的对应点(2, - 1)在第四象限.设(1 + i)x= 1 + yi，其中 x, y 是实数，则 |x+ yi| = ( B )A. 1B.2C.3D. 2解析B.因为(1 + i)x

17、x+ xi 1 + yi,所以 x y 1, |x+ yi| |1 + i| . 12+ 12 2,故选(2018郑州质检二)设i是虚数单位，复数z= 总，则|z|= ( B )A. 1B.2C.3D . 2解析2i2厂|Z| 1 + i 匚2.规律总结1.解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解一般是先变形分离出实部和虚部， 把复数的非代数形式化为代数形式.然后再根据条件,列方程或方程组.2 熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义 是解决复数问题的关键.跟踪训练Gen zong xun lia n1 + z1 设复数z满足 =

18、i，则|z|= ( A )1 zA 1B 2C.3D 2解析1 -k z因为i，所以z=1+ i 1 i故 |z|= 1.z2若复数z满足 =1，其中i为虚数单位，则z= ( A )1 iA 1 iB 1+ iC. 1 iD 1 + iz一解析由 =i，得 z = i(1 i) = 1 + i, z= 1 i.1 i3. 已知z= (m+ 3) + (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数(A )A ( 3,1)B ( 1,3)C (1 ,+ )D ( a, 3)m的取值范围是解析由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+ 3,mm+ 301)所以 m 10解得3m36,输出x,

19、 y,满足C选项.(2)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是 (C )A. sw 311C. sW 巨解析第一次:k= 2,1s= 2;5sw 625sw 24311第二次： k= 4, s=2；第三次：k= 6, s= 乜；第四次:112511k= 8, s= 24；输出 k = 8, sw 袒规律总结解答程序框图问题的关注点(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如 累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构.(2) 准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清 循环体和输入条

20、件、输出结果.(3) 对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环 结果，找出规律.易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误.G 跟踪训练Gen zong xun lian1 根据如图所示的框图，对大于 2的整数N，输出的数列的通项公式是 (C )A. an= 2nC. an= 2nB . an = 2( n 1)D . an= 2n 1解析 当 S=1， i=1 时，执行循环体，a1= 2， S= 2， i= 2，iN，执行循环体，a2= 4，iN，执行循环体，a3= 8，iN，执行循环体，a4= 16，若不

21、满足条件S= 4， i = 3，若不满足条件S= 8， i = 4，若不满足条件S= 16， i = 5.所以 an= 2n.2执行如图所示的程序框图如果输入n= 3，则输出的 S= ( B )6-7 8- 93一7 4- 9解析由题意得,1输出的S为数列 2n 1 2n+ 1的前三项和，而1 = 1 2n 1 2n+ 1 = =21(2n 11 1越)，所以3 = 2(1 1 _2n + 1)=n2n+ 13所以S3= 3.命题方向4合情推理例4观察下列等式: nsin3sin亍2= fx 1X 2；.nsin52+ si nF54 n 42+ sinf2= 3x 2x 3；nsin?sin

22、27n2+ sin2+-+sin 2 =3X 4;2 +n - 2丄sin9 +n -3 n -8n4sing2+ sin2+sin2 = -x 4X 5;照此规律,. nSin2n + 12+ sin二2+ sin-+- + + sin-2- -2=冷叶 1).2n + 12n+ 12n + 13 4解析每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和因此答案为勺n（n+ 1）.规律总结1. 在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.2 在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质.3归纳推理关键

23、是找规律，类比推理关键是看共性.跟踪训练Gen zong xun lia n（2018湖北八校联考）祖暅（公元前56世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异.”这里的“幕”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆 乍+ = 1（ab0）所围成的平面图形绕 y轴旋转一周后，得一 橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于b2a.解析椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为b,现构造两个底面半径为

24、b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理n4 n得出椭球的体积 V= 2（V圆柱一V圆锥）=2（ nX b2x a 3x b2a） = -3x b2a.3+ i1. (2017 全国卷 n,1)1+厂(D )A . 1 + 2iB . 1 2iC. 2 + iD . 2 i解析3+ i =1+ i =3 3i + i + 12=2 i.故选D .2. （文）已知i为虚数单位，则复数牙=（ C ）C. 2D.6C.- 1-2iD . - 1 + 2i解析1 + i = 3- =- , 1 1 65+和-亦)=五4. 设向量 a, b 满足

25、 |a + b| = 20, a = 4,贝U |a-b|= ( C )A. 2B . 2.3 - 2i,故选 C.(理)若(1 + 2ai)i = 1 bi，其中 a、b R，则 |a + bi| = ( C )A. 2+ i解析/ (1 + 2ai)i =- 2a + i = 1-bi,a=-2, b =- 1,|a + bi| = * i | = . -1 2+ - 1 2=25.a1 = 1, d= 2, k3. （2018济南二模）已知数列an，观察如图所示的程序框图，若输入=7,则输出的结果为（C ）4一 9A613c.111 11 11解析由题中程序框图知，输出S=仁+芮+5不+

26、2x （1 -1+3-解析向量的数量积.|a + b|=20, a b= 4,|a + bp - |a - b|2= 4a b= 16,. |a - b|= 2,故选 C.5. 设 x R，向量 a = (x,1), b= (1, - 2)，且 a丄 b，则 |a + b|= ( B )A.,5B.10C. 2 5D. 10解析/ a丄b,. a b= 0, x-2= 0,. x= 2, a+ b= (3, - 1), |a+ b|= 10.6. (2018大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(D )A. 21B .

27、 34C. 52D. 55解析由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是2,5= 2+ 3,即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第=55.故选D .1,1,2,3,5,则 2= 1+ 1,3= 1 +10年树的分枝数是21 + 347下面框图所给的程序运行结果为S= 28,那么判断框中应填入的关于 k的条件是A . k= 8?B . kw 7?C. k7?解析 开始tk= 10, S= 1,满足条件 tS= 1 + 10= 11, k= 10 1= 9,满足条件 tS =11 + 9= 20, k= 9 1 = 8,满足条件 tS= 20+ 8= 28, k= 8 1= 7由于输出 S 的

28、值为 28, 故k= 7不再满足条件，故选 D.8.设D , E, F分别为 ABC的三边BC、CA、AB的中点，贝U EB+ FC = （ A ）T1 tt1 tA. ADB . 2AD C. BC D . qBC解析如图，EB+ FC1 -tt 1 -tt=2（BA+ BC） 2（CB + CA）1 - -1 - -=-2(BA+ CA) = 2(AB + AC) = AD.选A.9对任意向量a, b,下列关系式中不恒成立的是(B )A. |ab|w|a|b|B |a-b|w|a|-|b|C. (a+ b)2= |a + b|2D. (a+ b) -a( b)= a2- b2解析由|a b

29、|= |a| b| cOs因为一1 w cosBW 1,所以 |ab|w|a|b|恒成立；|a b| Ha|- |b|,故B选项不成立;36 = 22 X 32,所以36的所有正约数由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得 根据向量数量积的运算律C, D选项恒成立.10. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 之和为(1 + 3 + 32)+ (2 + 2 X 3 + 2 X 32) + (22 + 22 x 3 + 22 x 32) = (1 + 2 + 22)(1 + 3 + 32) = 91, 参 照上述方法，可求得 200的所有正约数之和为(C )A. 201B. 411 C

30、. 465 D. 565解析200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200 = 23 X 52,所以200的所有正约数之和为(1 + 2 + 22+ 23) 申5+ 52)= 465，所以200的所有正约数之和为 465.11. 设a R，若复数(1 + i)(a+ i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=-J.解析(1 + i)(a+ i) = (a 1) + (a+ 1)i,所以 a+ 1= 0, a =- 1.12. 已知 a = (1,2), b= ( 2, m)，若 a / b,则 |2a+ 3b|等于 4.5.解析由 a / b? m+ 4= 0,解得 m=- 4,故 2a +

31、 3b= 2(1,2) + 3( 2, - 4) = ( 4,-8),因此 |2a + 3b|= . 4 2+ 8 2= 4 5.2 _13 .已知 ABC的面积为2爲，且B = 23n则ABBC = 4.解析设厶ABC的三角A, B, C的对边分别为a, b, c,1yj38 X = 4.则 S= qacsinB=ac= 2 .3,即 ac= 8,AB BC = |AB | |BC | cos EB) = cacos=14. 执行下边的程序框图，若输入的x的值为1,则输出的y的值为13.1A2B1解析第一次执行程序，满足条件XV 2, x= 1+ 1 = 2;第二次执行程序，不满足条件XV2

32、, y= 3X22+ 1 = 13,输出 y= 13,结束答案为13.121233123415. （2018 聊城一模）观察等式:f（3）+ f（3）= 1 ； f（4）+f（4）+f（4）= 2； f（5）+f（5）+f（5 + f（5） =2 ； f（1）+f（|） + f（|） + f（4）+f（5）=5 ；由以上几个等式的规律可猜想“ 1232 018f(2 019)+ f(2 019)+ f(2 019)+ f(2 019)= 1_009.3 52345解析从所给四个等式看：等式右边依次为1, ?, 2,彳 将其变为2 3, 2, 2，可以1 得到右边是一个分数，分母为2,分子与左边

33、最后一项中自变量的分子相同，所以f（ut9）.232 0182 018+ f（2 019） + f（2 019） + f（2 019）=2= 1 009.B组721 设复数71= 1 + i, Z2= 2 + bi，若7；为实数，则实数b等于（D ）B. - 1 C. 1 D. 2解析72= 2+ bi =Z11 + i1 -i 2+ bi22 + b + b 2 i= 2 ，b 2若其为实数，则有 亍 =0，解得b = 2.2.（文）（2018石景山检测）已知复数z= （a2 1）+ （a+ 1）i,若z是纯虚数，则实数 a等于C. 0D . 1a21=0,解析/ z为纯虚数，. a= 1.

34、a + 1工 0,（理）已知复数 z1=1i,Z2= a + i，若Z1 Z2为纯虚数，则实数 a的值为（B ）A. 1B. 1C. 2D . 2解析t zi Z2 = (a 1) + (a+ 1)i 为纯虚数,a 1 = 0 ,. a = 1.a+ 1 工 03. (2017全国卷n.4）设非零向量 a,b 满足 |a + b|= |a b|,则(A )A . a 丄 bB.|a|= |b|C. a / bD.|a|b|解析方法一：|ab|= |a b|, |ab|2= |a b|2. a2 + b2 + 2a = a2+ b2 2a b.a b= 0. a 丄 b.故选 A 方法二：利用向

35、量加法的平行四边形法则在？ABCD 中，设 AB= a, AD = b, 由 |a + b= a b|知 |AC|= |DB|,a |AC|= |DB|从而四边形 ABCD为矩形，即AB丄AD，故a丄b.故选 A 4执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（B ）A. 1B . 2=-2,5.=-1,1则z等于(DC._2解析因为复数z= m(m 1) + (m 1)m(- 2)i 是纯虚数，所以 m(m 1) = 0 且(m- 1)(m-2)丰0,所以m= 0,则1=丄一丄z 2i 2C. 31 1 1解析输入a = 1，则b= 1,第一次循环，a =, k= 1;第二次循环

36、，a= 彳 1 _1 2k= 2;第三次循环，a= 1-2 = 1,此时a= b,结束循环，输出 k= 2故选B.1 2(2018潍坊一模)若复数z= m(m- 1) + (m- 1)(m-2)i是纯虚数，其中 m是实数，i26.设向量 a, b 满足 |a|=|b|=|a+ b|= 1，则 |a tb|(t R)的最小值为(A ) A .宁C. 1D . 2解析由于 |a|= |b|= |a+ b|= 1,于是 |a+ b|2= 1,即 a2 + 2a b+ b2= 1, 即 a b = - 2.3 -J3|a tb|2= a2 2ta b + t2b2= (1 +12) 2ta b= t2

37、+1 + 1 4,故 |a tb|的最小值为 2.7.如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1 , n N)个点,相应的图案中总的点数记为an,则令+磊+越999 +9= （ C ）a2 018a2 0192 015 AA - 2 0162 016B- 2 017C皿2 0182 018D - 2 019解析每条边有n个点，所以三条边有 3n个点,三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减93个顶点，即an= 3n 3,那么1anan+1 3n 3 x 3n n 1 n n 1 n9贝y +a2a3a3a4a4a5999,11111111+ +=（厂 2）+（2 3） +（34）+（贡翫=1 12 017 2 018= 2 0