高一数学同角三角函数的基本关系式人教版知识精讲

1、用心 爱心 专心 高一数学高一数学同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 同角三角函数的基本关系式 二. 重点、难点： 本节重点是同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 1cossin 22 ， 22 sectan1， 22 csccot1 2. 商数关系： sin cos cot, cos sin tan 3. 倒数关系： 1cscsin，1seccos，1cottan 【典型例题典型例题】 例 1 已知mtan，求的其它三角函数值。 解：解：依题意不在 y 轴上，即 2 k，Zk ，若在 x 轴上，则 0sin,

2、 0tan，1cos，cot, 1sec与csc不存在。 若是第一或第四象限角，则 22 1tan1secm m m 1 tan 1 cot, 1 1 sec 1 cos 2 2 1 costansin m m m m21 csc 若是第二或第三象限角，则 22 1tan1secm 2 1 1 sec 1 cos m m 1 tan 1 cot 2 1 costansin m m m m21 csc 注：注：已知一个角的某一个三角函数值求该角其它三角函数值时，一般先以与已知角 有平方关系的函数为准将四个象限分成两大类，再利用商数关系和倒数关系求出该角的其 它三角函数值。 例 2 mcossin

3、，试求（1） 33 cossin；（2） 44 cossin；（3） 用心 爱心 专心 55 cossin；（4） 66 cossin；（5）设 nn nfcossin)(，试用 ) 1( nf和)(nf表示) 1( nf。 解：解：由mcossin，则 2 1 cossin 2 m （1） 33 cossin)cossincos)(sincos(sin 22 )3( 2 1 ) 2 1 1 ( 2 2 mm m m （2） 44 cossin )21 ( 2 1 ) 2 1 (21 )cos(sin21 cossin2)cos(sin 42 2 2 2 22222 mm m （3） 55 c

4、ossin )5( 4 1 ) 2 1 ()3( 2 1 )cos(sincossincossin cossincossin)cos)(sincos(sin 4 2 2 2 2233 23323322 mm m m mm （4） 66 cossin =)cossincos)(sincos(sin 224422 )361 ( 4 1 ) 2 1 (31 cossin31 42 2 2 22 mm m （5）由 nn nfcossin)(，则 )cos(sin)cos(sin) 1 ()( nn fnf ) 1( 2 1 ) 1( )cos(sincossincossin 2 1111 nf m

5、nf nnnn 故) 1( 2 1 )() 1( 2 nf m nmfnf 例 3 已知a 2 4 2 4 sin sin cos cos ，求证1 sin sin cos cos 2 4 2 4 。 证法一：设a 2 sin，) 1,0(sin 2 bab 于是ba1cos,1cos 22 用心 爱心 专心 由已知1 1 )1 ( 22 b a b a 即)1 ()1 ()21 ( 22 bbabaab 0)( 2 ba，得ba 于是 2 4 2 4 sin sin cos cos 1 1 )1 ( 1 )1 ( 2222 a a a a a b a b 证法二：证法二：由已知去分母得 22

6、2424 cossincossinsincos 222424 cos)cos1 (cossin)cos1 (cos 0coscos2coscos 0cos 1)cos1 (coscoscos coscos)sin(coscoscos 4224 422424 424424 0)cos(cos 222 22 coscos则 22 sinsin 故 2 4 2 4 2 4 2 4 sin sin cos cos sin sin cos cos 1sincos 22 证法三：证法三：将上式化简得 222424 sincoscossinsincos 即)cos(sinsincoscossinsincos

7、 22222424 )sin(sincossin)cos(cossincos 22222222 又由 2222 sinsincoscos，则 222424 sincoscossinsincos 1 sin sin cos cos 2 4 2 4 例 4 若CxBCxAsinsincos,sincoscos，求证； 2sinsinsin 222 CBA。 证法一：证法一：当0sinC时 0cosA，1sinA，1sin, 0cosBB 此时，2011sinsinsin 222 CBA 当0sinC时 C B x C A x sin cos sin, sin cos cos 于是1sincos s

8、in cos sin cos 22 2 2 2 2 xx C B C A 即CBA 222 sincoscos 2sinsinsin 222 CBA 证法二：证法二：将已知二式两边平方，有 CxA 222 sincoscos CxB 222 sinsincos CxA 222 sincossin1 CxB 222 sinsinsin1 用心 爱心 专心 故CxCxBA 222222 sinsinsincos)sin1 ()sin1 ( )sin(cossin 222 xxC C 2 sin 所以2sinsinsin 222 CBA 例 5 已知cos2sin，且 22 ,cot3tan ，0，

9、试求 和。 解：解： （1）当0tan时， 2 , 0 适合 （2）当0tan时 由已知两式相除，得 cot3 cos2 tan sin ，即sin 3 2 cos 故 2 cos3 sin ，又由 3 tan cot 由平方关系 2 22 sin 1 csccot1消去，得 2 2 cos3 2 3 tan 1即 )tan1 ( 3 2 3 tan 1 2 2 得1tan 又由 22 ，故 4 或 4 3 4 或 3 2 4 或 2 0 例 6 设kcossin，求使0cossin 33 成立时 k 的取值范围。 解：解：由kcossin，根据三角函数的定义，设xsin，ycos有 2 )(

10、 2 )(| | 22 2 22 2 22 yx yx yx yx yx yx k 故22k 又由)sincoscos)(sincos(sincossin 2233 )3( 2 1 2 kk 由0)3( 2 1 0cossin 233 kk 0)3)(3(kkk3 k或03k 又由22k，则02k 所以 k 的取值范围是)0,2 用心 爱心 专心 例 7 已知cos,sin是方程0) 12(525 22 aaxax的两个根，) 2 , 0( ， 求tan。 解：解：由韦达定理 5 12 cossin a ， 25 cossin 2 aa 由cossin21)cos(sin 2 ，则 25 21

11、 25 ) 12( 22 aaa 化简得012 2 aa 3a或4a 当3a时，原方程为0123525 2 xx 0)45)(35(xx 故两根分别为 5 3 和 5 4 ，即 4 3 tan或 3 4 当4a时，由 5 7 cossin，又) 2 , 0( 矛盾。 故4a不合题意舍去 综上，tan的值为 4 3 或 3 4 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 若 22 cot1 sin tan1 cos 1，则是第（ ）象限角。 A. 一B. 二C. 三D. 四 2. 如果 5 1 cossin，且0，则tan的值为（ ） A. 3 4 B. 3 4 或 4 3 C. 4 3 D.

12、3 4 或 4 3 3. 已知、为锐角，且7sin3tan2，1sin6tan，则sin的值为 （ ） A. 5 73 B. 7 73 C. 10 103 D. 3 1 4. 若1cossin，则*)(cossinNnxx nn 的值为（ ） A. 1B. 1C. 1 或1D. 不确定 二. 填空题： 1. 化简 66 44 cossin1 cossin1 的结果为 。 2. 若0cossin 2 axx有实根，则实数a的取值范围是 。 3. 若) 2 , 0( ，sin 8 7 sin，且tan 4 1 tan，则 。 4. 设 2 ，且 25 17 cossin 44 ，则cossin 。 用心 爱心 专心 三. 解答题： 设0，且 13 7 cossin，试求 tan1 tan1 的值。