数学思想方法与新题型解析

1、数学思想方法与新题型解析一. 本周教学内容：数学思想方法与新题型解析二. 重点、难点：数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、 方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次 方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以

2、 我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程 或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。1. 方程思想的最基本观点一一几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本 思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。例1.已知：Xi、x2是关于x的方程x2 2x m2 = 0的两个实数根，且 x1-x；=2，求m的

3、值。分析：本题中涉及三个未知数 Xi、X2、m，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于Xi、X2的方程x2_x；=2，那么只需再找出两个关于 x1 x2和m的方程即可。A =4 -4m 0xi +x2 = -2解法1依题意，得xg = m x2 -x2 =2，得x1 - x2 = T3，得x1 - - 一23 1把x1一代入，得x2 = -一2 223m x1x24”,23又当 m - 时，.：-44m202说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。例2.如图，在直角三角形 ABC中，乙C = 90，AD是. ABC的角平分线，DE/CA，已知CD=12，BD=15，求AE、 BE的长。分析

4、：题目要求AE、关于BE、EA的一个方程。由条件易知，ABCBD15，得到12BEBE这两个未知数的值，由于 DE/CA，并且DC=12，BD=15，容易得到 EA而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE、EA的方程。和A EBD都是直角三角形，由 AD是角平分线和 DE/CA可以证明AE=ED，这样就把 AE、EBDC7集中在Rt.lEDB中，用勾股定理可再列一个方程。解：；AD是.-.BC的角平分线C A D DABDE /CA/ADECADADE DAE.DE =AE设AE为x，BE为y，那么DE = XDE / /CAAE CD BE BD(1)15 512C =90EDB =9

5、0BD2 DE2 = BE2即225 x2 =y2(2)解由(1)、(2)组成的方程组，得X1= 20X2 = -20y1 =25（舍去）|y? - -25AE =20,BE =252. 方程思想解题的核心一一构造方程，沟通已知与未知的联系用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得 到解决。例3.已知：如图， DB是半圆 0的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆 0相切于点 E，CB_AB，若AD =2 6, AE : EC =2: 1,求O 0 半径。分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB垂直直径DB，可知CB是O 0

6、的切线，于是有 CE=CB ;由切割线定理得AE2 =AD AB ；在Rt ABC中，由勾股定理得 ACAB2 BC2。题目又给出了两条线段的比 AE : EC =2 : 1,则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。若设CE二CB二x，则根据上面的等量关系易得 AE =2x, AC = 3x, AB =2.2x。以AE 2二AD AB为等量关 系构造方程：(2x)2 =2 6 2 .2x解得x =2-. 3.AB =4 6 DB =2 一6 O O半径为.6解略问：题目要求O O半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径 的长呢？1进一步分析可以看到，

7、由 CE二CB, AE : EC =2 : 1，可知CB : AC = 1: 3，即sinA 。连结OE (如图)，3则 OE_AC。设 OE =OD，贝V AO =2.6 mOE 1m1在Rt AEO中，si nA，把它作为等量关系构造方程：AO 32J6+m 3解得m =6，从而求出半径长为.6。说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量 关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系(线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例)等构 造方程。下面我们把此例的

8、已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。例4.如图，DB是半圆0的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆0相切于点E， CB_ AB 。若AE : EC =2: 1，DE BE =42 2，求 ABC 的面积。分析：要求 ABC的面积，只要求出 AB、BC的长即可。题目中给出了线段比，可利用比值设未知数，把其它线段 用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅举其中一种解法。简解：可证CB为半圆0的切线，CE=CB设CE 二 CB 二 x，贝y AE =2x由勾股定理得AB =2.2x，由切割线定理得 AD = 2xDB 二 2x2过E作EF_AB于F，可得EF x

9、3I2(2在Rt DEB中, DE BE 二 EF BDx23- BD2 二 DE2 BE2 =(DE BE)2 -2DE BE ( .2x)2 =(4 2 2)2 一2 x2解得x = 2 3 AB =4 6, BC=2 ：3, S ABC =12 2说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。由以上几例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。当所求的量不易直接求出时，要根据题 目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数，这样解题比较方便。例5.已知：在 ABC中，AD为.BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交 BC的延长线于点E,交AD于

10、点F,交 AE 于点 M，且.B= . CAE，FE： FD=4 : 3。（1）求证：AF=DF ；（2）求.AED的余弦值；（3）如果BD=10，求. ABC的面积。图1分析：（1）略；（2）要求.AED的余弦值，首先要使.AED为一个直角三角形的内角， 所以可连DM，构造RLDME， 也可过点A作AN _BE于点N，构造Rt =ANE。无论利用哪个直角三角形，都需知该直角三角形中两条边的长。题目给 出了线段比，可利用比例设未知数，再把其它线段用此未知数表示出来。这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系，构造方程。本题的解法很多，仅举其中四种解法。（3）利用BD=10，可求出所设未知数

11、的值，易求出 ABC的面积。（1）证明：；AD平分.BAC BAD = DAC B = CAEBADB = DACCAEADEBAD BADE DAE.EA = EDDE是半圆C的直径 DFE 二 90 AF =DE（2）解法一：连结 DM （如图2）-DE是半圆C的直径 DME = 90FE : FD =4 : 3-可设 FE =4x，贝V FD =3x由勾股定理，得DE =5xAE 二 DE 二 5x, AF 二 FD 二 3x由切割线定理的推论，得 AF AD二AM AE3x( 3x 3x) = AM 5xAM18x5ME 二 AE -AM= 5xx，x55在Rt . DME中cos.A

12、ED 勒DE7x_ 5_ 5x解法同解法25在Rt AMD和Rt EMD中(如图2)由勾股定理，得AD2 - AM 2 =DE2 -ME2.(3x 3x)2 - AM2 =(5x)2 - ME2(1)又AM ME 二 AE =5x (2)解(1)(2)联立的方程组，得ME =7x574 ,ME 5x 7在Rt DME 中，cos AEDDE 5x 25解法三：如图3,过A点作AN_BE于N在Rt DFE中FE: FD =4: 3.可设 FE =4x，贝U FD =3x由勾股定理，得DE =5xAE = DE = 5x， AF = FD = 3x- S ADE -1AD EF AN .AD EF

13、 =DE AN3x 3x) 4x = 5x ANAK1 24.AN x5由勾股定理，得EN = 7x5.cos AED 二列AE5x7图3解法四：同解法三，得AE=DE=5x ，AF=DF=3x11.ADN =/EDF.Rt ADN Rt EDFDN AD DF - EDDN 6x 3x 5xDN18EN =DE - DN =5x=7xENAE25(3)解法一：如图1-.CAE =/B, AEC BEA CAE ：ABE5xAE CE 21BE 一 AE 一 5x 一 2 BE =2AE =2DE3.BD 二DE, BC DE25x =10, x = 23 3 1S ABC S Adead E

14、F =18x2 =722 2 2解法二：如图3,在厶CAE和BE中CAE = B, AEC = BEACAE ABEAE _ CEBE 一 AE AE 2 二 BE CE25 5x)2 =(10 5x) x解得x =2AN2448x =5 55BC 二 BD DC =102 =1521 148-S abc BC AN 15722 25说明：此例是用方程思想解几何问题的典型题目。第（2）问中解法一是利用切割线定理为等量关系构造方程；解法二是利用勾股定理为等量关系构造方程组；解法三是利用同一三角形面积为等量关系构造方程；解法四是利用相似三角形对 应边成比例构造方程。可见，方程思想的运用是解本题的关

15、键。例6.如图，AB为半圆O的直径，C为OB上一点，且OC : CB=1 : 3，过C点作CD_AB交半圆于D点，过D点作半 圆O的切线交 AB延长线于E点，若BE=12（1）求OB的长；（2） 在弧BD上任取一点P（ P与B、D不重合），连结 EP并延长与弧 AD交于点F，设PC=x，EF=y，求y与x之 间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。分析：第（1）问是求线段的长，由于题目中给出了两条线段长度的比，所以可以设未知数，利用图形的几何性质构造 方程来求解。第（2）问涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等 量关系，列出方程后，再化为函数解

16、析式。实质上还是构造方程，利用方程思想解题。解：（1）连结 OD，设 OC=a，贝U BC=3a，OD=OB=4aDE为半圆O的切线.OD_DE又 DC_AB.Rt OCD Rt ODE 可得 OD2 =OC OE即(4a)2 二 a (4a12)解得a1 = 1, a2 =0 (舍去)-OB = 4a = 4(2)连结OFRt DCE Rt ODEDE CE2，即 DE2 =OE CEOE DE由切割线定理可得 DE2 =PE EFPE EF =OE CE,即PE OECE 一 FE又CEP FEOlCEP FEOOF 一 EFPC _ EC4 y60讨二一31当P取B点时，PC最短，此时P

17、C =3当P取D点时，PC最长，此时PC=-；15.x的取值范围是3 ：x八门5说明：此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，列出方程后，再化为函数解析式的。特别要注意用图 形的几何性质来确定自变量的取值范围。方程思想也可解决某些证明题。我们来看下面的例题。例7.如图，O 0i、。O2交于A、B两点，DT切O。2于T，交O于D、M，且M为DT的中点。BA的延长线交 DT 于C。求证：CT=2CM。证明：设 CM=a，CT=xCT是O O2的切线，CAB是O O2的割线2.CT =CA CBCAB、CMD是OO,的割线 CM CD 二 CA CB CT2 二 CM CD M是DT的中点

18、 CD =CM DM =CM CM CT =2CM CT.CT2 二 CM（2CM CT）即x2 二 a（2a x）得x - ax - 2a =0.x =2a, x = a （不合题意，舍去）.CT =2CM可以看到，方程思想是初中数学中的一个重要的数学思想，在解题中有广泛的应用。利用方程思想解题，要善于从题 目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，注意保证方程的个数与未知数的个数相同。（二）数形结合思想数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中 都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描

19、述，所以数形结合也就成为研究数学 问题的重要思想方法。数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”与“形”相 互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。1.以形助数一一通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径例1.在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1，2）、（ -2, 1）、（ -1, -2），求点D的坐标。分析：依题意画图，可看到点 A、点C关于原点0成中心对称，所以 0应是正方形ABCD的中心。根据正方形性质 可知，点D应与点B关于原点0对称，已知点B坐标为（-2，1），利用关于坐标原点对称的两点坐

20、标之间关系，可确定 点D坐标（2，-1）。解略。说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合创造了条件。本题就是利用 直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。例2.选择题：若 A为锐角，则sinA+cosA的值（）A.大于1B.等于1C.小于1D.不能确定分析：可构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义及三角形中边之间的关系进行判断。构造Rt ABC , . C =90 (如图)，则有sin A cosA 二.si nA cosA 1应选A说明：本题是把数量关系通过构造的直角三角形使之明显化，从而得到解题途径。

21、例3.二次函数y! = ax? - 2bx c和y2 = (a T)x2 - 2(b - 2)x - c - 3在同一坐标系中的图象如图。(1)哪个函数的图象过 B、C、D三点？若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3,求这两个函数的解析式。分析：借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法。观察图象，过A、B、C三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大于零即可。因为a+1a，易得出y2经过B、C、D三点。利用抛物线的对称性确定 y1的对称轴为x

22、=0，y2的对称轴经过 C点，则可推出D点坐标。再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值。解：(1) * a 1 a，又由图象可知a 1与a异号a 10-y2 =(a 1)x -2(b 2)x c 3的图象开口向上.y2的图象经过B、C、D三点(2) |BO|=|AO|.y 1的对称轴02a.b = 0B (1, 0)、C (3, y)又 |BC|=|DC|.y2的对称轴经过点，且D ( 5, 0)将 B (1, 0)代入 y1，得 a c = 0(1)将D (5, 0)代入y2，得 25a c 8 = 0a 解(1)、(2)得*y2 =2x2 _4x

23、 313 3说明：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。 这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。2例4.设二次函数y =x -（k - 3）x k 4的图象与x轴交于点A （ x1, 0 ）、B（ x2, 0） （ x1 ： x2）, P点在y 轴上（非原点），已知 乙PAB与乂 PBA都是锐角。（1）求k的取值范围；（2）比较线段PA、PB的长度的大小；（3）当乙PAB+ /PBA=90时，求P点的坐标（用含 k的式子表示）分析：（1）解决本题的关键是依据题目的已知条件正确地绘制草图，确定A、B两点的大致位置。由 P点在y轴上，

24、且.PAB、 PBA都是锐角，确定抛物线与 x轴的两个交点 A、B必须在原点的两侧（如图），转化为与函数相应的二次 方程的两根异号，则 C = k 4 OE。（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC中点，判断点（8，-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明理由。OCOE，解：（1） : OC、OE的长是关于x的方程x2（m-1）xT2=0的两个根,.OC OE =12(1)在Rt COE中，由勾股定理得OC2 -OE2二CE2又 CE =52 2.OC OE -25(2)OC OE 0OC =4.解(1)、(2)得OE =3k当OC=4，OE=3时，m =-6，符合题意：；C = 4， OE

25、 = 3ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D过D点作DG_x轴于G，DH_y轴于HBCA =/ACD矩形OABC中, CB/OA BCA = CAECAE = ACD .EC 二 EA可证 Rt COE 三 Rt ADEED = 3， AD = 4， EA = 5 在Rt ADE 中, DG AE 二 ED ADDGED ADAE125在 CHD 中，OE/HDCECDOEHDHD24由已知条件可知D点是第四象限的点.点D的坐标是245（2） F点是AC的中点.点F的坐标是（4, 2）设过D、F两点的直线的解析式为 y = kx bNk +b =22412-k +b =-.55: 11k 一解

26、得2Jo = 24.过D、F两点的直线的解析式为- 11x 242x =8，y = -20满足上述解析式点（8， -20）在D、F两点确定的直线上（答题时间：40分钟）一.填空1. 一个角的外角是它的三倍，则这个角的度数为 。2. 一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是 4cm，则腰长为 。BC上,BCED 的3. BC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在其余两顶点分别在 AB、AC上，则这个正方形的边长为 mm。4. 已知：ABC中AB=5，AC=6，BC=7，点D、E分别在AB、AC上，DE/BC，且 ADE的周长与四边

27、形周长相等，则DE的长为。5. 矩形ABCD的对角线BD=10，iABC的内切圆半径为2,则矩形两边长为 。6. 在直角坐标系xoy中，点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为 。7. 已知a、b互为相反数，且ab，那么a的倒数与b的倒数的大小关系为 。8. 已知a0，b0，且a+b0，那么实数a,b,-a,|b|的大小关系为 （用“ ”号连接）。29. 如图y二ax bx c（ a=0）的图象，则下列各式：b2 -4ac0,abc0, a b +c0,a + b +c0,2a -b0, 9a 4b0。y仁勺110. 若点（-2 , Yi ） , （ -1, Y2），（ 1, Y3）在反比例函数y的图象上，则Yi , Y2 ,月3的大小关系是 x（用“ ”