数学同步优化指导(湘教选修22)练习：4.1.3导数的概念和几何意义活页作业2Word含解析

1、活页作业（二）导数的概念和几何意义1.已知函数f(x) = .X,则f1a.4(1)=( )1C. 2解析：沿七一(寸 1+ Ax 1 (寸 1 + Ax+ 1 =Ax(#1+ Ax + 1 J当Ax趋于0时，趋于 Ax 2所以 f (1) = 1.答案：B1.1+ Ax+ 12.设曲线y= x2+ x 2在点M处的切线斜率为则点M的坐标为（）A. (0, 2)(1,0)C. (0,0)解析：设皿(心y0).y (x0+ Ax 2+ 他+& 2(爲+ x0 2) =_00= 2x0+ Ax+ 1,AxAx(1,1)当Ax趋于0时，趋于2x0 + 1,即2x0 + 1 = 3，解得X0= 1.则

2、yo= 0.点M的坐标为（1,0）.故选B.答案：B3做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s= 3t t2, t 0，+），则其初速度为（）C. 22 2解析：字色4二冒一3 = 3 2t- ,D . 3 2t当At趋于0时，At趋于3 2t,该物体在t = 0时的瞬时速度 v= 3 2 X 0 = 3故选B.答案：B4设曲线y= ax2在点(1, a)处的切线与直线2x- y 6= o平行，则a的值是()解析：卷2a1 +& a = 2a+ a Ax.Ax当&趋于o时，多趋于2a，由题意得2a=空a= 1.答案：An5.曲线y= f(x)在点(xo, f(xo)处的切线倾斜角是4，

3、贝V f (xo)=()nA.4C- 1n解析：由题意知f (xo)=tan n= 1.答案：D6.若曲线f(x) = x2上某点的切线的倾斜角为34,则此点的坐标是解析：设所求点的坐标为(xo,爲).由题意，得f (xo) = - 1.利用导数的定义，求得f (xo)= 2xo.1故 2xo=- 1, 即卩 xo=- 2.则所求点的坐标为答案:7.已知函数f(x)的图象在点M(1, f(1)处的切线方程是2x- 3y+ 1 = 0,贝U f (1) + f (1)解析：由题意,2 得 f (1) = 3.故 f(1) = 1,则5 f(1) + f (1) = 5.答案：5&已知函数y= a

4、x2 + b在(1,3)处切线斜率为2,则-ay a1+Ax2+ b ax 12- b解析：当x=1时，煦=zxA . f (xo) = 0B . f (xo)V 02a Ax+ a Ax=2a+ a Ax,Ax当Axi 0时，号7 2a.由题意知2a = 2,a= 1.又 3 = a+ b,b= 2. b= 2.答案：219. 求函数y= f(x) = x -在x= 1处的导数. X解:/ Ay= (1 + Ax) 11 + AxAx+Ax1 + Ax， AyAxAx+Ax1+ AxAx当Axi 0时，単宀2.Ax10. 已知曲线 C: y= f(x)= x3.(1) 求曲线C上横坐标为1的

5、点处的切线的方程.第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解：将x= 1代入曲线C的方程得y= 1,切点P的坐标为(1,1).:也=1+ Ax 1 = Ax2+ 3Ax+ 3,AxAx当Axi 0时，斗13.Ax曲线在点P的切线方程为y 1 = 3(x 1),即 3x y 2= 0.y= 3 x 1 + 1,2(2) 由 3得(x 1) (x+ 2)= 0.Iy= x , - X1 = 1 , X2= 2.公共点为(1,1)和(2, 8).说明切线与曲线 C的公共点除了切点外，还有另外的点.憐力提升11. 已知曲线y= f(x)在点P(X0, f(x。)处的切线方程为2x+ y+ 1

6、 = 0,那么()C. f (xo) 0D. f (xo)不确定解析：f (xo)的几何意义为y= f(x)在点P(xo, f(xo)处的切线斜率.由题意，得切线斜率为k=-2.f (xo) = 2 v o.答案：B12. 已知曲线y= 2x2- 2上一点pH,- 2 则过点P的切线的倾斜角为 解析：T y=gx2 2,12 c 2 八今=2X+&2-2护-2丿=X+ 2 Ax,当Ax o时，令宀x,当x= 1时，y = 1.过点P 1, 3的切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45答案：4513. 已知曲线y= 2x2 + 4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标为. 解析：设 P(xo,2

7、x2+ 4xo),.空 f(xo + Ax f(Xo )Ax =Ax=2 Ax + 4xo4 Ax=Ax=2 Ax+ 4xo+ 4,当 Axto 时，-Ax4xo+ 4,. f (xo) = 4xo + 4.又 T f (xo) = 16 , - 4xo+ 4= 16,. xo= 3. P(3,3。).答案：(3,3。)14. 设函数f(x)= x3 + ax2 9x 1(av o)，若曲线y= f(x)的斜率最小的切线与直线12x + y= 6平行，求a的值.解：T Ay= f(Xo+ Ax) f(xo)= (xo+ Ax)3 + a(xo+ Ax)2 9(x+ Ax) 1 龙+ axo 9

8、xo 1) =(3x2 + 2ax 9) Ax+ (3x + a)( Ax)?+ (Ax),X = 3x0 + 2axg 9+ (3xq+ a) & + (Ax)?. 当Ax趋近于0时，孕趋近于3Xd + 2ax 9.Ax0故 f(冷)=3x0+ 2ax 9,2 即 f (xo) = 3 xo+ 3 J 9 y.2aa当Xo= 3时，f (Xo)有最小值9 .斜率最小的切线与 12x + y= 6平行，该切线的斜率为12.2a 9 3 = 12.解得a= 3.又 a v 0, a = 3.1 3415. 已知曲线y= x + 3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)

9、的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有， 请求出 其坐标；若没有，请说明理由.解：由导数的定义，求得y x= 2 = 4.由导数的几何意义，得点P(2,4)处的切线的斜率为4.故所求的曲线的切线方程为y 4 = 4(x 2),即 4x y 4= 0;设曲线y= 3x3 +扌与过点P(2,4)的切线相切于点 A X0, x0+ 4，利用导数的定义和几 何意义，得切线的斜率为k= y |x= x= x2，故切线方程为y ,0+ 3 = xxx。).点P(2,4)在切线上.二 4 3x0 + 3 = x2(2 X0).解得 x0= 2 或 x0= 1.故所求的切线方程为 4x y 4 =

10、 0或x y+ 2 = 0.|4x y 4 = 0,由S 1 34消去y并整理，得|y=03 12x+ 16= 0,即卩 x3 4x 8x+ 16= 0. + 4，2(x 2)(x2 + 2x 8) = 0,即(x 2)2(x+ 4) = 0. x= 2 或 x= 4.故切线4x y 4 = 0与曲线y= *x3+ 除有公共点(切点)P(2,4)外，还有一个公共点为(4- 3+3X1- 3=y由3.意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 C /h的速率下降.X3 3x 2= 0,即即 x(x+ 1)(x 1) - 2(x + 1) = 0. 故(x+ 1)2(x 2) = O. x= 1 或 x = 2.14故切线x y+ 2= 0与曲线y= -x3 + 3,除有公共点 佼点)P(2,4)外，还有一个公共点即切33点(1,1).16. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如 果第x h时，原油的温度(单位：C )为f(x)= x2 7x+ 15(0 w xw 8).(1) 求f(x)的二阶导数f (x).(2) 计算第2 h时原油温度的瞬间变化率，并说明它的意义.解：(1)fx+ d -fxd22(