几何学习与教学研究

1、几何学习与教学研究学院：数统院 姓名：严媛 学号：222009314011018教育家陶行知说过：“要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。”的确，学是教的前提，只有教师设身处地的进行了学习，才会在教学中了解学生是如何学习的、学习的过程中会出现哪些问题以及如何去诊断解决这些困难，才能有效地进行教学。因此应该从教师自身的学习出发去构建教学中的知识结构和设定教学方法，从而更好的进行适合学生的教学。具体怎样进行“学”和“教”的统一，此处借助本小组对本科目“几何学习与教学研究”的讨论分析进行说明：一、本专题研究的问题本专题主要对几何概念与空间意识的

2、形成与发展、几何推理与论证、技能的形成与发展、几何中的问题解决、几何的教学、计算机辅助教学进行研究。几何概念：几何概念的特点是：直观性。一般表现为：一般的几何概念都有一个直观的模型，如角；许多几何概念都可以用图形直观表示；用于表示几何概念的语言符号具有一定的直观性；图形概念性。几何概念的内部表征形式以表象为主，表象在一定程度上起到了连接概念与图形、图形与模型的作用。概念性就是上面我们说的它反映的是一类几何图形的本质属性，是抽象的如三角形可以看做是“由三条线段首尾相接所成的图形”；作为一个图形，三角形除了满足上述特征外，还涉及形状、边长、角的大小等位置和度量方面的信息，但它又不是物质的特性，如没

3、有颜色浓度等，它们是抽象的想象的实体。拟实验性。如，想要判断两条直线是否平行，可以像木工那样用角尺测量，但就科学性而言，这样的“实验”是没有意义的，因为再精密的一起都会产生误差，所以人们称之为“拟实验”。几何关系虽然不能利用“拟实验”去证实，但在没有形成公理系统之前，却有助于学生去接受这些演绎得到的概念。层次性。根据学生的认知水平进行几何概念划分：第一层，直观概念，如点、线、面、三角形等；第二层，分析层次，如等腰三角形、正方形、园、平行等；第三层，由“公理系统”所“生成”的概念，如公垂线、异面直线、垂心等，这些概念的基础是几何推理；第四层，建立在假设基础上的，形式化的概念，如“无穷远点”，“无

4、穷直线”等的非欧几何中的一些概念。本原性。过去100年的数学史表明，今天的几何既是线性代数的源泉也是其应用领域。许多的数学理论（如希尔伯特空间、拓扑学、测度论、群论、微分几何和代数几何等）都可以通过几何途径以自然的方式组织起来，或者从几何模型中抽象出来，这些理论中的每一种都有它本身的几何面貌。随着年龄的增长儿童的空间知觉能力将逐步经历以下三个阶段：拓扑学阶段，仅能掌握拓扑学的概念，即只能注意到图形的内外而忽略其形状；投影几何阶段，只有经过视觉所承认的事物才是真的，蕴藏在视觉之外的都不真实，并且各种形状都会随视角的变化而变化；欧几里得几何阶段，获得长度等概念，逐渐会使用工具测量，具有了面积，长短

5、等的意识。影响图形与性质概念发展的因素有：原有的经验。通过早期与周围世界的接触，儿童就开始获得图形与空间结构的体验，这种体验对后期的学习影响深远；图形的综合性。较之线性文字的表征，图形概念带有更多的相关或背景因素；视觉信息的表征。大多数表达视觉信息都有一段困难时期，尤其当任务是由二维工具表达三维情景或反过来。同图形概念一样几何变换的概念、向量和坐标系也源于儿童的生活经验逐渐形成。随着儿童的年龄增长上述概念以及图形逐步由直观地具体图形演变为思维程度的形式。而证明与演绎系统以及空间意识的形成都是学生在有一定的思维基础上建立的几何观点。几何的证明与演绎的学习有一个循序渐进的过程，低年级主要是采取观察

6、实验的方法，然后是非正式的不严格的途径，到了一定年级才转为较为证实的公理化的演绎的和严格的几何。而空间意识的培养也是必不可少的，几何直觉在数学活动中起着关键的作用；随着计算机的普及，几何语言成为日常生活中的一种重要工具；几何直觉是数学创造性研究的重要辅助工具。几何推理与论证：空间能力不同于一般的形象思维能力，对于它的定义和空间能力测验的设计直到现在仍有争议。空间能力的基本特征：空间能力与直观有密切的联系；空间能力与视觉过程有关；空间能力与几何推理有关。逻辑推理主要分析三段论逻辑推理和关系逻辑推理。三段论逻辑推理重视命题之间的关系推论；关系逻辑推理依据命题内的关系推论，需要学生建构自己的策略。一

7、是规则取向：以皮亚杰的儿童认知发展的阶段理论为代表，认为人类推理依据命题，运用逻辑法则或心智逻辑，依论点的形式而非内容进行推理。还有大量研究表明，11岁是演绎思维的转换期。二是模型取向：以约翰莱德提出的心智模型为代表，认为逻辑推理是个体通过直接的直觉或间接的语言理解，在一定的前提下，建构类似于真实世界的心理表征，并不需要运用逻辑法则。这种理论把逻辑推理过程分为三阶段：理解阶段、发展阶段、验证阶段，其中理解和发展阶段是基本过程。然而，根据模型取向理论的观点，儿童在解决问题时，可能会受到问题（或任务）的一下因素的限制：问题的形态、问题的难度、问题的表征。在几何学习中的公理化思想也是非常重要的，公理

8、化思想是从数学活动中提取出定义以及探索在数学及其领域中出现的结构的重要方法之一，它不仅被运用于数学本身，也被运用于数学的应用方面。公理化思想的作用在于：有利于把物理具体环境和它的模型准确的分开，从而消除可能产生的误解或者混淆不清；有助于学生对证明的理解。教学法上公理体系的建立方法，立足于通俗化了的欧氏公理系统，不追求其完备性和最简性，用直观显见性代替某些未列入的公理，同时把公理的产生（经验、直观认识）同它们的逻辑功能区分开；在开始阶段采取所谓“局部组织”的途径，通过对几何知识和几何活动的局部组织发展学生的几何概念和推理。总之，不能把任何形式的公理系统当作一个现成的、僵化的事实教给学生。几何中的

9、问题解决：几何问题有以下特点：层次的多样性，几何问题成为将一般问题具体化和精确表示的坚实部分；几何问题可以用不同的观点进行处理，用多种方法予以解决；几何问题的解题途径和结果可以在不同水平上进行比较和讨论；对相似问题的考虑常常导致新的探索。几何问题的层次性孕育了几何思维的层次性，因此几何课程适合不同年龄的和认知层次的学生；几何活动的多样性，几何活动一般涉及三种认知过程：视觉过程；构造过程；推理过程。解法的多样性：解法的多样性使得几何问题成为思维训练的良好素材。几何问题的常见类型：几何证明题；几何作图题；几何应用题。几何的教学：几何教学的认知分析主要涉及几何教学层次的分析与错误概念两个方面。按照皮

10、亚杰的观点，学生的几何概念是按照一定的次序和方向发展的，最初是拓扑的，然后才是投影的与欧氏几何的。研究表明，学生在几何学习过程中常会出现许多错误概念，其成因是多方面的。伯特劳特和萨林把学生的错误归咎于自然概念的影响。新课改对几何教学的要求：注重发展学生的空间观念、几何直观和推理能力；加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考；注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言；在平面解析几何初步的教学中，帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义

11、，最终解决几何问题。新课改下几何教学重点和难点是帮助学生逐步形成空间想像能力，培养学生的空间观念、几何直观和推理能力。要攻破这些重难点，数学教师可以做到以下几出发：转变观念，充分认识数学课程改革的 理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用；加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用。在几何教学中，提供丰富 的实物模型，鼓励学生借助直观进行思考；恰当实用信息技术，提高教学质量；丰富学生的学习方式、优化学生的学习方法。二、几何教学在数学教育中的地位几何学提供了现实世界的一个基本模型，这个模型的基本知识是学生易于学习、理解和掌握的应用广泛的基础知识。一位数学家这样描述几何学：“欧几里得几何建立了很

12、简单直观、能为孩子们所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考去探索。点、线、面、三角形和圆这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让孩子们在数学思维的天地里乐而忘返。很难想像有什么别的材料能够这样简单同时又这样有成效”。在现代社会，基本的图形知识，是人们生活、工作、科研活动中的不可缺少的基础知识，每一个普通公民，不论人们从事什么工作，都会经常遇到各种几何量（长度、面积、角度、体积等等）的计算，各种基本几何图形（如三角形、四边形、多边形、圆等等）的性质和作图问题。因此空间与图形的基础知识是现代社会普通公民应该具有的基础知识。中学几何课可以培养学生的立空间观念和几何直觉。几何应作为数

13、学教育的重要课程之一是长期以来国际数学教育界多数人的看法，其中重要的原因是几何在培养学生的空间观念和几何直觉上的作用。几何课程在数学中占据着一个特殊的地位，因为它具有独特的作用，尤其是它的想像力和直观性。几何的实质是与直观的结合，一方面是一种生动直观的想像，另一方面是严格的逻辑。它们互相联系，互相渗透，互相引导。对于一个人来说，想像力是一种非常重要的能力，而几何发展了这种能力。在几何教学中必须确信学生在他的直观形象中领悟了每一个要领和定理。某人可能忘记他学过的几何，但对于空间的感知和空间想像能力诸方面的痕迹将永远保留下来。另一方面，几何灵魂的一个因素是它的逻辑，这是由它的构造特点而体现的，它来

14、自经过欧几里得的一系列经过证明的理论。当一个人把所有的定理和证明都忘记时，证明的思想（即“必须要经过证明的”理论），则得以长期保留下来。中学几何课程是培养学生思维能力的有力载体。平面几何与立体几何是训练学生严格逻辑思维的最好方法之一，这种训练比上一门形式逻辑课更为有效，而这种训练对学生终身有用。几何是培养人的逻辑思维能力，陶冶人的情操，培养人良好性格特征的一门很好的课程。几何虽然是一门古老的科学，但至今仍然有旺盛的生命力。中学阶段的几何教育，对于学生形成科学的思维方法与世界观具有不可替代的作用。另一方面中学几何课程在培养学生的运算能力和抽象能力（包括数学建模能力）等一些一般能力方面也起重要作用

15、。此外，从培养人的角度看，中学几何课程更是有不可替代的重要作用。江泽民总书记曾说过：“学习几何能锻炼一个人的思维，解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神”。中学几何课程是学好整个中学数学课程的基础，几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。在学习代数、概率与统计、微积分初步的基础知识这些中学数学内容的过程中，图形的直观性起着重要作用，体现了数形结合的重要数学思想。所以，中学几何课程对于学生学好整个中学数学课程具有重要的意义。几何学在其它科学领域有着独特的地位作用，平面几何的基本知识，解直角三角形与求积（包括立体）以及画图的技能，是绝大多数行业与专业所需要的。从几何学的发展来看，在人类进入

16、信息社会的今天，几何学对于社会发展的贡献越来越突出。无论是在CT扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话、高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛应用了几何学理论。在几何教学中通过创设情景，联系学生感兴趣的生活实例，使抽象的几何知识变得直观具体形象，从而激发学生的求知欲。通过学生动手实践，亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释和应用的过程，培养学生的动手操作能力，激发学生学习几何乃至学习数学的兴趣。通过识图，画图以及几何语言等基本技能的训练，习题的设计以及几何题目的书写格式培养学生的逻辑推理能力。三、对今后工作的启示通过对几何的学习研究知，教师在教学过程中应当注重新

17、知识产生的过程，注重学生对基本概念的强化和几何图形特点的巩固，简而言之就是打好学生的几何基本知识的基础。因此在课后要注意学生基本技能训练，严格按照学生对几何的认知层次设计难度递增的题，亦可结合其他知识内容以基本几何为载体考核学生对知识的综合整合能力，亦是对学生思维跳跃性和“数学结合”思想的培养及锻炼，使得学生在基本技能以及心智上双丰收。如今大多数教师面对高考的压力依旧采取应试教育的模式，对学生的全面发展极为不利，部分学生变得思维局限，考虑问题呆板，还有很多“高分低能”，因此教师不但要把握课程标准中的教学要求还应当关注学生的全面发展，将学生培养成为有创造性、人格健全的人。所以教师在教学中要从育人

18、的高度来认识教学内容和要求的变化，在教材中把握好教学内容和教学要求的深度与广度。就如陶行知所说“千教万教，教人求真；千学万学，学做真人”，我们应该启发式教学，不要磨灭学生的自主学习能力和创造性，让学生做真正的自己。多数教师就是填鸭式的教学，使学生成为知识的复制器，俨然连“依葫芦画瓢”也百般困难，更不用谈“举一反三”了。我们的日常生活中时时刻刻在接触着几何，有写字用的长方形作业纸，有喝水用的圆柱体杯子，有夏天离不开的扇子，可以说在现代社会，基本的图形知识，是我们生活、工作、科研活动中的不可缺少的基础知识，每一个认，不论他从事什么工作，都会经常遇到各种几何量（长度、面积、角度、体积等等）的计算，各

19、种基本几何图形（如三角形、四边形、多边形、圆等等）的性质和作图问题。其中空间与图形的基础知识是现代社会普通公民应该具有的基础知识。简而言之，几何学提供了现实世界的一个基本模型，教师应该利用这个基本模型提高学生的学习兴趣，让学生真切的理解感知生活中几何学，比如说三角形全等的证明中，AAA不能证明全等，教师就可以利用班上学生的学习工具：不同大小的等腰直角三角板进行说明，此时两个三角板的角度相同，但明显不相等。除此，心理学家布鲁姆曾说过的：学生成功地学习一门学科与他对该学科的兴趣有很大的关系。兴趣是求知的起点，是思维培养和能力提高的内在动力。因此要想让学生学好数学，学好几何，就应当帮助学生培养学习兴

20、趣。成绩好的学生对学习的兴趣远远高于成绩中等和偏下的学生，因此重点就是要培养成绩中等和偏下的学生的学习兴趣。这就需要将数学与实际的广泛应用结合，让学生学“学以致用”的美好感受，从心里真正的消除“数学无用论”。也可以向学生介绍一些生活中的几何美，如银杏叶的扇形叶面，蝴蝶翅膀的对称美，很多美丽花瓣中的黄金分割比，房屋建设中的几何元素，游戏画面的设计等等。总而言之，几何应当从小教起，它是从直观几何到抽象几何的过程，按照韬尔等人的分类，几何属于具体化直观世界，某些几何概念或性质本身就有自然的基础。但是对于不同年龄层次的学生适合不同层次的几何教学，因为几何概念的形成一般不是像代数概念那样，需要经历一个从操作程序到静止对象的过程，而是直接对空间物体及其位置关系的抽象的结果。我们也知道几何中的公理本身是很简单的或者是生活中显而易见的事实 ，由公理延伸出来的理论体系才是真正的难点所在。所以首先由于几何是从直观到抽象的过程，所以要注重几何的直观化教学，为后面的抽象化和形式化奠定基础。除此