习题课(力学)

1、复复 习习 运动学部份运动学部份 动力学部分动力学部分 低速情况低速情况 经典运动学经典运动学 相对论运动学相对论运动学 高速情况高速情况 力对时间的力对时间的 积累效果积累效果 力对空间的力对空间的 积累效果积累效果 力矩对时间力矩对时间 的积累效果的积累效果 力矩对空间的力矩对空间的 积累效果积累效果 刚体动力学刚体动力学 质点动力学质点动力学 一一.运动的描述运动的描述: )(trr t r v d d ) d d | d d (| t r t r 2 2 d d d d t r t v a 直角坐标系下的形式直角坐标系下的形式: : kajaiaa zyx 自然坐标下自然坐标下: :

2、ttnn eaeaa tn e t v e v d d 2 注意注意: : t v a t v a t d d , d d 二者不同二者不同 角量描述角量描述: : )(t td d 2 2 d d t Ra Ra Rv t n 2 rv 二二. .运动的相对性运动的相对性 0 vvv 0 aaa 三、动力学部分三、动力学部分 当当m 视为恒量时，视为恒量时， am t v mF d d t vm t p F d )(d d d 质点系质点系 t p F d d 外外 牛顿第二定律：牛顿第二定律： 1。动量。动量vmp i N i iv mp 1 2 2。质点系的动力学方程。质点系的动力学方程

3、 t p F d d 外外 3 3。动量原理。动量原理 微分形式：微分形式： ptF dd 积分形式：积分形式：ppptF t t 12 2 1 d 平均冲力：平均冲力：tPtttFF t t /)/(d 12 2 1 4 4。动量守恒定律。动量守恒定律 0 F恒矢量恒矢量则则 p 5。非惯性系、惯性力非惯性系、惯性力 1。动能：。动能： i i n i n i iik m p vmE 2 11 2 2 1 2 1 2。质点系的动能定理：。质点系的动能定理： k EAA 内内外外 b a rFA d 3。保守力、势能。保守力、势能 保守力保守力 0d L rF 几种势能：几种势能： 1。重力势

4、能：。重力势能： mghE p 2。万有引力势能：。万有引力势能： r Mm GE p0 3。弹性势能：。弹性势能：2 2 1 kxE p 注意势注意势 能零点能零点 的选取的选取 5。功能原理：。功能原理： EAA 非保内非保内外外 6。机械能守恒定律：。机械能守恒定律： 00 EAA， 非保内非保内外外 1.角动量角动量 kLjLiL PPP zyx kji PrL zyx zyx 2.力矩力矩 zyx FFF zyx kji FrM kMjMiM zyx 2 1 d t t tML 3.角动量原理角动量原理 恒恒矢矢量量。LM , 0 4.角动量守恒角动量守恒 刚刚 体体 2.角动量角动

5、量 JLz JLz 大大小小： i iir mJ 2 mrJd 2 1.转动惯量转动惯量 22 2 1 2 1 JmvEEE kkk 转转平平 4.动能动能 转转k EMMA d5.动能定理动能定理(定轴转动定轴转动) 3.转动定律转动定律 JM 外外 JM 外外 大大小小： 例例11质量分别为质量分别为M1、 、M2, ,半径分别为 半径分别为R1 、 、R2的两均匀圆 的两均匀圆 柱柱, ,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动, ,二轴平行。原来它们二轴平行。原来它们 沿同一转向分别以沿同一转向分别以 10 10， ， 20 20的角速度匀速转动 的角速度匀速转动, ,然后平然

6、后平 移二轴使它们的边缘相接触移二轴使它们的边缘相接触, ,如图所示如图所示. .求最后在接触求最后在接触 处无相对滑动时处无相对滑动时, ,每个圆柱的角速度每个圆柱的角速度 1 1， 2 2。 2211 RR 二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有 解：在接触处无相对滑动时解：在接触处无相对滑动时 2211202101 JJJJ R1 M1 R2 M2 R2 M2 R1 M1 2 222 2 111 2 1 , 2 1 RMJRMJ 其其中中 由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1、 2 2 答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自

7、对自己的 轴的角动量之和是错误的，因为轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能系统的总角动量只能 对某一个轴对某一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时 1 1， 2 2方向相反，所以应为方向相反，所以应为 2211 RR 正确的解法正确的解法： 对两圆柱对两圆柱分别使用分别使用角动量定理角动量定理，由于两柱接触时摩擦，由于两柱接触时摩擦 力大小相等、方向相反力大小相等、方向相反, ,力矩和冲量矩的大小正比于半力矩和冲量矩的大小正比于半 径径, ,方向相同方向相同, ,则则: : )(dd )(dd 202222 101111 JtfRtfR Jtf

8、RtfR 这种解法对吗这种解法对吗? ? 得得消消去去,d tf )( )( 2022 1011 2 1 J J R R 1 2 2 1 R R 又又知知， 由此可解得由此可解得: )( )( 212 20221011 2 12 2 21 120221011 1 MMR RMRM RJRJ RJRJR )( )( 211 10112022 2 12 2 21 210112022 2 MMR RMRM RJRJ RJRJR 2 222 2 111 2 1 , 2 1 RMJRMJ 其其中中 rd r 分析：分析： t A P d d o MMd frfrMdsindd )d2( ) 2 ( dd

9、 2 rr D F Nf 解：略解：略 t M d )d( M 例例2 擦地板机圆盘的直径为擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度，以匀角速度旋转，对地板的旋转，对地板的 压力为压力为F，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的 摩擦系数为摩擦系数为，试求开动擦地板机所需的功率（提示：先求圆盘，试求开动擦地板机所需的功率（提示：先求圆盘 上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速 度的乘积即是摩擦力矩的功率）度的乘积即是摩擦力矩的功率） 例例3 在光滑平面上有一运动物体在光滑平面上有

10、一运动物体P。在。在P的正前方有一个连的正前方有一个连 着弹簧和挡板的静止物体着弹簧和挡板的静止物体Q(弹簧和挡板的质量不计弹簧和挡板的质量不计)。 P和和Q 质量相等。碰后质量相等。碰后P静止，静止， Q以以P的速度运动，则在碰撞中弹簧的速度运动，则在碰撞中弹簧 压缩量最大的时刻是：压缩量最大的时刻是： mm v P Q (A) P的速度正好变为零时。的速度正好变为零时。 (B) P与与Q速度相等时。速度相等时。 (C) Q正好开始运动时。正好开始运动时。 (D) Q正好达到正好达到 P原来的速度原来的速度 注：若注：若vP vQ，则弹簧继续压缩，则弹簧继续压缩 若若vP vQ ,弹簧伸张弹

11、簧伸张 只有只有vP = vQ时弹簧压缩量最大时弹簧压缩量最大 例例4 由由l1 伸长至伸长至l2的过程中，的过程中， 弹性力作的功为：弹性力作的功为： 2 1 d)( l l xkxA 2 1 d)( l l xkxB 02 01 d)( ll ll xkxC 02 01 d)( ll ll xkxD 0 l 1 l 2 l x o 例例 判断判断 (1)保守力作正功时，系统内相应势能增加。保守力作正功时，系统内相应势能增加。 (2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 (3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功作用力与

12、反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功 代数和必为零。代数和必为零。 0 30 0 v 0 v v v 0 30 0 30 例例5 质量为质量为m 的物体的物体,以以 从地面抛出从地面抛出.抛射角抛射角 ，忽略，忽略 空气阻力。则从抛出到刚要接触地面的过程中空气阻力。则从抛出到刚要接触地面的过程中 (1)物体动量增量物体动量增量大小大小为为-； (2)物体动量增量物体动量增量方向方向为为- 0 v 0 30 0 mv 竖直向下竖直向下 例例6 6 已知棒的已知棒的M、l, ,其上的其上的m,m可滑动。初始两可滑动。初始两m固定固定, ,距距 离离o是是r，随棒以，随棒以1 1 转动。求转

13、动。求(1)(1)松开两松开两m,当其达棒端当其达棒端A,B时时, 系统角速度？系统角速度？ (2)(2)两两m飞离时，棒的飞离时，棒的？ 解：解：(1)(1)阻力通过固定轴动力阻力通过固定轴动力 矩为零。系统角动量守恒矩为零。系统角动量守恒 21 LL 2 22 1 22 ) 2 1 12 1 ()2 12 1 ( mlMlmrMl 22 1 22 2 2 1 12 1 )2 12 1 ( mlMl mrMl (2)(2)两两m飞离时飞离时,对棒无力矩作用对棒无力矩作用,因而棒的角速度仍为因而棒的角速度仍为2 2 M rrAB mm 1 o 例例7 质量分别为质量分别为m和和2m的两物体，用

14、一长为的两物体，用一长为l 的轻质杆相连。的轻质杆相连。 系统绕距系统绕距2m为为l/3 的垂直轴转动，物体的垂直轴转动，物体m 的速度为的速度为v.则系统对则系统对 轴的角动量为轴的角动量为-。 i LL 21 LLL 21 JJ )( 21 JJ 3/2 ) 3 1 (2) 3 2 ( 22 l v lmlm mlv mlv o m m2 3/ l3/2l 例例8 8 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点， 杆的质量杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆 的摆锤拉到的摆锤拉

15、到h h0 0高度高度，令它自静止状态下垂，令它自静止状态下垂, ,于铅垂位置和直杆于铅垂位置和直杆 作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。 解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为 00 2ghv 令碰撞后直杆的角速度令碰撞后直杆的角速度 为为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v 由由角动量守恒角动量守恒，有：，有： 2 0 3 1 ,mlJJvmlmlv 式式中中 ho c hc h h m l l 在弹性碰撞过程中在弹性碰撞过程中机械能守恒机械能守恒: : l vv v 2 3 , 2 00 二式联立解得：二式联立解得： 222 0 2

16、 1 )( 2 1 Jvvm 按机械能守恒按机械能守恒, ,碰撞后碰撞后 摆锤摆锤达到的高度显然为达到的高度显然为 4 0 h h 而而杆的质心杆的质心达到的高度满足达到的高度满足 c mghJ 2 2 1 2 3 2 0 h hh c 由此得由此得 2 0 3 1 ,mlJJvmlmlv 式式中中 例例9 在光滑的水平面上，有一根原长为在光滑的水平面上，有一根原长为l0=0.6m，倔强系数，倔强系数 k=8N/m的弹性绳，绳的一端系着一质量为的弹性绳，绳的一端系着一质量为m=0.2kg的小球，另一端的小球，另一端 固定在水平面的固定在水平面的A点，最初弹性绳是松弛的，小球点，最初弹性绳是松弛

17、的，小球B的位置及初速的位置及初速 度如图所示，当小球的速率为度如图所示，当小球的速率为v时，它与时，它与A的距离最大，此的距离最大，此 时时 l=0.8m,求：此时的速率求：此时的速率v及初速率及初速率v0 md4 . 0 A B 0 v 0 30 解：解： B与与A端的距端的距 离最大时，离最大时， 小球的速度与绳垂直小球的速度与绳垂直 角动量守恒：角动量守恒：）（ 1sin 0 mlvmdv 机械能守恒：机械能守恒： ) 2()( 2 1 2 1 2 1 2 0 22 0 llkmvmv 由（由（1） 4 0 v v m/s306. 1 15 )(16 2 0 0 m ll v m/s3

18、27. 0 v 例例10 两个自由质点，其质量分别为两个自由质点，其质量分别为m1和和m2，它们之间的，它们之间的 相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为 l， 它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为 l/2 时，两质时，两质 点的速度各为多少？点的速度各为多少？ 解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统 的动量和机械能均守恒，设两质点的间距变为的动量和机械能均守恒，设两质点的间距变为 l/2 时，它们时，它们 的速度分别为的速

19、度分别为v1和和v2，则有：，则有： 10 2211 vmvm 2 2 2 1 2 1 212 22 2 11 21 l mm Gvmvm l mm G 联立（联立（1）和（）和（2）解得：）解得： )( 2 21 21 mml G mv )( 2 21 12 mml G mv 例例11 如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和和B，质量分别为，质量分别为 m1和和m2。B不动，不动，A以速度以速度v0与与B碰撞，如已知两车的缓冲弹簧碰撞，如已知两车的缓冲弹簧 的倔强系数分别为的倔强系数分别为k1和和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静，在不计摩擦的情况下，求两车

20、相对静 止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计） 0 v A 1 m B 2 m 1 k 2 k 解：两小车碰撞为弹解：两小车碰撞为弹 性碰撞，在碰撞过程性碰撞，在碰撞过程 中当两小车相对静止中当两小车相对静止 时，两车速度相等。时，两车速度相等。 在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能恒：在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能恒： vmmvm)( 2101 2 22 2 11 2 21 2 01 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 xkxkvmmvm 压压缩缩量量为为相相对对静静止止时时两两弹弹簧簧的的和和 21

21、xx 由牛顿第三定律，得由牛顿第三定律，得 2211 xkxk 0 2/1 211 2 21 21 1 )( v kkk k mm mm x 相对静止时两车间的相互作用力：相对静止时两车间的相互作用力： 0 2/1 21 21 21 21 11 v kk kk mm mm xkF 例例12 物体物体A和和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的不可伸叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的不可伸 长的轻质细绳相互连接，如图所示，用长的轻质细绳相互连接，如图所示，用F拉拉A。设。设A、B和滑轮和滑轮 的质量都为的质量都为m，滑轮的半径为，滑轮的半径为R。AB之间、之间、A与桌面之间、滑与桌面之间、滑 轮与其轴

22、之间的摩擦都可忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑 动且绳不可伸长。已知动且绳不可伸长。已知F=10N,m=8.0kg,R=0.050m。 求：求： 1。滑轮的角速度；。滑轮的角速度； 2。物体。物体A与滑轮之间的绳中的张力；与滑轮之间的绳中的张力； 3。物体。物体B与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。 A B F B T a A F a T T T 解：各物体受力如图：解：各物体受力如图： maTF maT 2 2 1 ) (mRRTT Ra 由以上方程解得：由以上方程解得： 2 rad/s10 5 2 mR F N0 . 6 5

23、 3 F T N0 . 4 5 2 F T 例例13 质量为质量为M的很短的的试管，用长为的很短的的试管，用长为L、质量可忽略的、质量可忽略的 硬直杆悬挂。试管内盛有乙醚，管口用质量为硬直杆悬挂。试管内盛有乙醚，管口用质量为m的软木塞封的软木塞封 闭。当加热试管时，软木塞在乙醚蒸汽压力下飞出。要使试闭。当加热试管时，软木塞在乙醚蒸汽压力下飞出。要使试 管绕悬点在竖直面内作一完整的圆周运动，则软木塞飞出的管绕悬点在竖直面内作一完整的圆周运动，则软木塞飞出的 最小速度为多少？若将换成细绳，结果如何？最小速度为多少？若将换成细绳，结果如何？ 解：解：V1为软木塞飞出的最小速度，取软木塞和试管为系统。为软木塞飞出的最小速度，取软木塞和试管为系统。 O L M m 1 V 由动量守恒由动量守恒 0 12 mVMV mMVV/ 21