鸽巢问题教学设计

1、鸽巢问题教学设计教学目标：1、知识与技能：初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用 鸽巢原理的知识解决简单的实际问题或解释相关的现象。2、过程与方法：通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历鸽 巢原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。3、情感 态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学 的价值，提高学习数学的兴趣。教学重点： 经历“鸽巢原理”的探究过程，理解鸽巢原理。教学难点： 理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学准备： 多媒体课件、铅笔、纸杯、合作探究作业纸。教学过程：一、 唤起与生成1、谈话：同学们，你们喜欢魔术吗？今天，黄

2、老师给大家表演一个小魔 术。一副牌，取出大小王，还剩 52 张牌，请 5 个同学每人随意抽一张，我知道 至少有 2 张牌是同花色的。相信吗？来，试试看。2、验证： 抽取，统计。是不是凑巧了，再来一次。表演成功！3、至少 2 张是什么意思？（也就是最少 2 张，最起码 2张，反过来，同一 花色的可能有 2 张，也可能是 3 张、4张、5 张. ，一句话概括就是至少 2 张）。确定是哪个花色了吗 ？（没有）反正总有一个花色，所以，这个数据不管 是在哪个花色出现都证明表演是成功的。4、设疑：你们想知道这是为什么吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数 学原理，这节课让我们一起去发现！二、探究与解决（一）

3、、小组探究： 4放 3的简单鸽巢问题1、出 示：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至 少有 2 支铅笔。2、审 题： 读题。 从题目上你知道了什么？证明什么？（我知道了把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，证明不管怎么放，总有一个笔筒 里至少有 2 支铅笔。） 你怎样理解“不管怎么放”、“总有” 、“至少”的意思？“不管怎么放”：就是随便放、任意放。“总有”： 就是一定有，不确定是哪个笔筒，这个笔筒没有那个笔筒会 有。“至少”： 就是最少，最起码。至少有 2 支，就是最少有 2 支，不能少于 2 支。也可能是 3 支、 4 支、甚至 5 支。3、探 究： 谈 话：看来大家

4、已经理解题目的意思了，眼见为实，就让我们亲自动手 摆一摆、放一放，看看有哪几种放法？ 活 动：小组活动，四人小组。听要求！活动要求：每个小组都有笔筒和笔，请四个人中面对面的两人一人扶杯子 一人放铅笔，另外两人一人口述一人记录，让我们齐心协力，摆出所有情况 后，对照题目，看有什么发现。听明白了吗？开始！3、反 馈：汇报结果同学们办法真多，有用画图法，有用数的分解来表示，都很清晰。谁来汇 报一下你们的成果？可以在第一个笔筒中放 4 支铅笔，其他两个空着。这种放法可以说成 （4,0,0 ），（ 3,1,0 ），（ 2,2,0 ），（ 2,1,1 ）（课件逐一出示）追 问：谁还有疑问或补充？预设：说一

5、说你比他多了哪一种放法？（2，1，1）和（ 1，1，2）是一种方法吗？为什么？） 只是位置不同，方法相同5、验证：观察这 4 种摆法，凭什么说“总有一个笔筒中至少有 2 支铅 笔”？（1）逐一验证：第一种摆法（ 4，0，0），是不是总有一个笔筒至少 2 支，哪个？放的最多 的笔筒里有 4 支，比 2 支多也可以吗？符合总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。第二种摆法（ 3，1，0），符合。哪个？放的最多的笔筒里有 3 支，符合总 有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。第三种摆法（ 2，2，0），放的最多的笔筒里有 2 支， 符合总有一个笔筒 里至少有 2 支铅笔。第四种摆法（ 2，1，1），放的最多的笔

6、筒里有 2 支， 符合总有一个笔筒 里至少有 2 支铅笔。符合条件的那个笔筒在三个笔筒中都是最多的。（2）设疑：我有一个疑问，第一种摆法（ 4，0，0）放的最多的笔筒里， 放有 4 支，可以说总有一个笔筒至少有 4 支铅笔吗？说成 3 支也不行吗？（3）小结：哦，原来是这样，要考虑所有摆法，然后在所有摆法中，圈出 每一种摆法中最多的，再从最多的里面找到至少数，就能得出这个结论。所以，把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2 支铅笔。（二）自主探究： 5放 4的简单鸽巢原理1、过 渡：依此推想下去2、出 示：把 5 支铅笔放进 4 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少

7、有 （ ）支铅笔。3、猜 想：同学们猜猜看，至少数是几支？（你说、你说）4、验 证：你们的猜测对吗？让我们来验证一下。活动要求：（1）思考有几种摆法？记录下来。（2）观察每一种摆法，能不能从中找出答案。有困难的可以同桌合作。 好，开始。（教师参与其中）。5、汇 报：把 5 支铅笔放进 4个笔筒中，共有 6 种摆法分别是： 5000 、4100、 3200 、 3110 、2200、2111（课件同步播放）预设：我圈出了每种摆法中，放铅笔最多的那个笔筒，然后发现，放铅笔 最多的的笔筒里面至少放有 2 支铅笔。6、订 正：有补充的吗？噢，我们来看，这 6 种摆法，把每种方法里放的 （停顿）最多的铅

8、笔圈出来了，分别是 5 支、4支、3 支、 2支，从中找到至少 数是 2 支。7、小 结：恭喜答对的同学！同学们可真是厉害！请看，我们研究了这样 的两个问题： 把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支 铅笔。会讲为什么。 把 5 支铅笔放进 4 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少有几支铅 笔？会求至少数。不管是对结论的证明还是求解至少数，我们都采用一一列举的方法，罗列 出所有摆法，再通过观察，得出结论。（三）、探究鸽巢原理算式1、谈 话：哎，如果这里有 100 支铅笔放进 30 个笔筒，不管怎么放，总 有一个笔筒至少有几支铅笔？还是让求至少数，还用一一列举的

9、方法来研究，你觉得怎么样？（好麻烦，是啊， 想想都觉得麻烦！）2、追 问：数学是一门简洁的科学，那就请同学们想一想，除了通过操作 一一列举出来，有没有什么方法能一下子找到结果呢？其实，我们刚才已经和那一种方法见过面，以 4放 3为例，请同学们认真 观察每一种摆法，分别找一找，哪一种摆法最能说明：总有一个笔筒里至少放 有 2 支铅笔呢？3、平均分：为什么这样分呢？ 生：我是这样想的，先假设每个笔筒中放 1 支，这样还有 1 支，这是无论 放到哪个笔筒，那个笔筒中就有 2 支了，所以我认为是对的。（课件演示）师：你为什么要先在每个笔筒中放 1 支呢？生：因为总共只有 4 支，平均分，每个笔筒只能分

10、到 1 支。 师：为什么一开始就要去平均分呢？ 生：平均分，就可以使每个笔筒中的笔尽可能少一点。也就有可能找到和 题目意思不一样的情况。师：我明白了，但这样能证明总有一个笔筒中肯定会有 2 支笔，怎么就证 明了至少有 2 支呢？生：平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能的少了，如果这样都符合要求， 那另外的情况肯定也是符合要求的了。师：看来，平均分是保证“至少”数的关键。4、列式： 你能用算式表示吗？4- 3=11? 1+1=2讲讲算式含义。a、指名讲：假设把4支铅笔平均放进3个笔筒中，每个笔筒放1支，剩下的1 支就要放进其中的一个笔筒， 1+1=2，所以总有一个笔筒至少有 2支铅笔。b、真棒！讲给

11、你的同桌听。5、运 用：把 5 支铅笔放进 4 个笔筒不管怎么放，总有一个笔筒至少有几 支铅笔？ ? 请用算式表示出来。5- 4=11? 1+1=2说说算式的意思。a、同桌齐说。b、谁来说一说？师：我们会用除法算式表示平均分的过程，这种方法更为快捷、简明。（四）探究稍复杂的鸽巢问题1、加深感悟：我们继续研究这样的问题，边计算边思考：这样的题目有什 么特点？结论中的至少数是怎样得到的？2、题组（开火车，口答结果并口述算式）（1）6 支铅笔放进 5个笔筒里，总有一个笔筒里面至少有（）支铅笔（2）7 支铅笔放进 5个笔筒里，总有一个笔筒里面至少有（）支铅笔7- 5=12? 1+2=3?7- 5=12

12、? 1+1=2出现了两种答案，究竟那种正确？同桌商量商量。不行我再救场（学生讨 论）你认为哪种结果正确？为什么？质 疑：为什么第二次还要平均分？（保证“至少”）把铅笔平均分才是解决问题的关键啊。（3）把笔的数量进一步增加：8 支铅笔放 5 个笔筒里，至少数是多少？8- 5=13? 1+1=2（4）9支铅笔放 5个笔筒里，至少数是多少？9- 5=14? 1+1=2（5）好，再增加一支铅笔？至少数是多少？还用加吗？为什么？ ？ 10十5=2?正好分完,至少数是商（6）好再增加一支铅笔 , 你来说11十5=21? 2+仁3? 3个你来说说现在至少数为什么变成 3 个了？（因为商变了，所以至少数变 成

13、了 3. ） 那同学们再想想，铅笔的支数到多少支时，至少数还是3? 铅笔的支数到多少支的时候，至少数就变成了4 了呢？（7）把 28 支铅笔放进 5 个笔筒里，总有一个笔筒里面至少放进（ ? ）支 铅笔。28 - 5=53? 5+仁6?（8）算的这么快，你一定有什么窍门？（比比至少数和商）（9）把m支铅笔放进n个笔筒里，总有一个笔筒里面至少放进（？）支 铅笔。（商 +1）3、观察算式，同桌讨论，发现规律。铅笔数宁笔筒数=商余数”“至少数=商+T你和他们的发现相同吗？出示：商 +14、质疑：和余数有没有关系？（明确：与余数无关，因为不管余多少，都要再平均分，所以就用“商 +1”）（五）归纳概括鸽

14、巢原理1、解答：那现在会求 100支铅笔放进 30 个笔筒中的至少数了吗？100-30=310? 3+仁4 至少数是4个（ 因为把 100 支铅笔平均放进 30 个笔筒中，每个笔筒屉放 3 支，剩下的 10 支在平均再放进其中 10个笔筒中。所以，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放 进 4 支铅笔。 ）2、推广： 刚才我们研究了铅笔放入笔筒的问题，其他还有很多问题和它有相同之处。请看：（ 1 ）书本放进抽屉把 8 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 3 本书。 为什么？8 -3=22? 2+1=3（ 因为把 8 本书平均放进 3 个抽屉，每个抽屉放 2 本，剩下的 2 本就

15、要放进 其中的 2 个抽屉。所以，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 3 本书。 ）（2）鸽子飞进鸽巢11 只鸽子飞进 4 个鸽笼，至少有几只鸽子飞进同一只鸽笼？11十 4=23? 2+1=3答：至少有 3 只鸽子飞进同一只鸽笼。（3）车辆过高速路收费口（图）（4）抢凳子书、鸽子、同学就相当于铅笔，称为要放的物体，抽屉、鸽笼、凳子就相 当于笔筒，统称为抽屉。物体数量大于抽屉数量，类似的问题我们都可以用这 种方法解答。3、建立模型：鸽巢原理：同学们发现的这个原理和一位数学家发现的一模一样，让我们追溯到 150 多年以前：知识链接：（课件）最早指出这个数学原理的，是十九世纪的德国数学家 “狄利克雷

16、”，后来人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这 个规律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”。以上这些问题有相同之处，其 实鸽巢、抽屉就相当于笔筒，鸽子、书就相当于铅笔。人们对鸽子飞回鸽巢这 个事例记忆犹新，所以像这样的数学问题就叫做鸽巢问题或抽屉问题，它被广 泛地应用于现实生活中。运用这一规律能解决许多有趣的问题，并且常常能得 到一些令人惊异的结果。揭示课题：这是我们今天学习的第五单元数学广角鸽巢问题，它们里 面蕴含的这种数学原理，我们就叫做鸽巢原理或抽屉原理。5、小结：分析这类问题时，要想清楚谁是鸽子，谁是鸽巢？有信心用我们发现的原理继续接受挑战吗？3、巩固与应用那我们回头看看课前

17、小魔术，你明白它的秘密了吗？1、揭秘魔术：一副牌，取出大小王，还剩 52 张牌，你们 5 人每人随意 抽一张，我知道至少有 2 张牌是同花色的。答：因为把 5 张牌，平均分在 4 个花色里，每个花色有 1 张，剩下的 1张 无论是什么花色，总有一个花色至少是 2 张。正确应用鸽巢原理是表演成功的秘密武器！2、飞镖运动同学们玩过投飞镖吗？飞镖运动是一种集竞技、健身及娱乐于一体的绅士 运动。课件：张叔叔参加飞镖运动比赛，投了 5 镖，成绩是 41环，张叔叔至少有 一镖不低于（ ? ）环。在练习本上算一算，讲给你的同桌听听。 谁来给大家说说你是怎么想的？（ 5相当于鸽巢， 41相当于鸽子。把 ）41

18、 - 5=81? 8+1=9在我们同学身上也有鸽巢问题，让我们先了解一下六年级的情况。3、我们六年级共有 367名学生，其中六（ 2班）有 49名学生。（1 ）六年级里至少有两人的生日是同一天。（ 2）六（ 2）班中至少有 5 人的生日是在同一个月。他们说的对吗？为什么？同桌讨论一下。谁来说说你们的想法？（ 1 、367人相当于鸽子， 365、或 366天相当于鸽巢 ? 2 、 49 人相当于鸽子， 12 个月相当于鸽巢 ）真理是越辩越明！3、星座测试命运说起生日，我想起了现在非常流行的星座。采访几位同学，你是什么星你用星座测试过命运吗？你相信星座测试的命运吗？ 我们用鸽巢原理来说说你的想法。全中国 13 亿人， 12个星座，总有至少一亿以上的人命运相同。尽管他们 的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的命，可能吗？ 这真的很荒谬。用星座测试命运，充其量是一种游戏娱乐一下而已，命运掌握 在自己手中。4、柯南破案：? “鸽巢问题”的原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见， 看，谁来了？（课件）有一次，小