基本不等式的证明(1)

1、3.4 3.4 基本不等式基本不等式 （a0a0， b0b0） 3.4.1 3.4.1 基本不等式的证明基本不等式的证明 a+b ab 2 1.1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式 的基本思想方法；的基本思想方法；( (重点）重点） 2.2.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的 几何意义，并掌握定理中的不等号几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件取等号的条件 是：当且仅当这两个数相等是：当且仅当这两个数相等. .（难点）（难点） 国际数学家大会是由国际数学联盟（国际数学家

2、大会是由国际数学联盟（IMUIMU）主办，首届大会）主办，首届大会 于于18971897年在瑞士苏黎士举行，年在瑞士苏黎士举行，19001900年巴黎大会之后每四年举行年巴黎大会之后每四年举行 一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002.2002年年 8 8月月2020日在北京召开第日在北京召开第2424届国际数学家大会，由中国最高国家科届国际数学家大会，由中国最高国家科 技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席. .这是第一次在这是第一次在发展中发展中 国家国家举办的举办的规模最大的数学会议规模最

3、大的数学会议. . 有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？ 20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客 ab ab 2 ab aba,b. 对于正数 ， ，我们把 称为 ， 的算术平均数， 称为的几何平均数 A AB BC CD DE EF FG GH H 1 1a a3030595992927070252511112020 2 2b b393999

4、992323999954541001002020 3 334.2134.2176.4376.43464683.2583.25 36.7436.74 33.1733.172020 4 434.534.5797957.557.584.584.539.539.555.555.52020 ab 2 ba 问题问题1 1：观察以下数据，能得出什么结论：观察以下数据，能得出什么结论 计算结果表明：对于正数计算结果表明：对于正数a ,ba ,b 也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平 均数，当两个正数相等时两者相等均数，当两个正数相等时两者相等. 下

5、面证明上述结论是正确的下面证明上述结论是正确的. ab ab 2 ， 证法证法1 1：比较法比较法 ab ab 2 22 1 ab2 ab 2 2 1 ab0 2 ， abab.当且仅当，即时，取“” 证法证法2 2：分析法分析法 2 要要证证， ab ab 02只只要要证证aabb 2只只要要证证，abab 2 0只只要要证证ab 2 . 因因为为最最后后一一个个不不等等式式成成立立，所所以以成成立立， 当当且且仅仅当当时时，取取“” ab ab ab 证法证法3 3：综合法综合法 ab ab 2 ， ab2 ab0 ， 2 a,bab0对对于于正正数数有有， ab2 ab， ab.当且仅当

6、时，取“” 基本不等式注意三点：正、定、等基本不等式注意三点：正、定、等. . )( 2 ,”时取“当且仅当是正数，那么如果 ba ba abba .0, 0 2 称为基本不等式我们把不等式 ba ba ab . 2 的几何解释 本不等式思考：根据右图说出基 ba ab ab a+b 2 ba O D C B A 2 ab OC， CDab， 当当a ab b时，时，OCCDOCCD，即，即 2 ab ab； 当当a=ba=b时，时，OC=CDOC=CD，即，即 . 2 ab ab 线段线段AB=a+bAB=a+b，使，使AD=aAD=a，DB=b,DB=b,以以ABAB为直径作半圆为直径作半

7、圆O,O, 过过D D点作点作CDABCDAB于于D D，交半圆于点，交半圆于点C C， ab a+b 2 ba O D C B A 例例1 1：设：设a,ba,b为正数，证明下列不等式成立：为正数，证明下列不等式成立： 111 2a,a2 a2, aaa . （ ）因为均为正数，由基本不等式得 所以原不等式成立 证明：证明： 12 ba ab （） 1 22a a （ ） 式得也是正数，由基本不等，为正数，所以）因为（ b a a b ba,1 . , 22 所以原不等式成立 b a a b b a a b 只需只需a,b同号，同号， 此式便成立此式便成立. 解：解：因为因为x-2,x-2,

8、所以所以x+20,x+20,由基本不等式，得由基本不等式，得 因此，当因此，当x=2x=2时，函数有最小值时，函数有最小值6.6. .), 2(, 2 16 2求此函数的最小值：已知函数例 x x xy 2 16 x x2 2 16 2 x x 16 2x226 x2 ， 16 x2x2 x2 当且仅当，即时，取“”， 证题过程中不要证题过程中不要 漏掉等号成立的漏掉等号成立的 说明说明 解：解：因为因为x1,x1,所以所以x-10,x-10,由基本不等式，得由基本不等式，得 因此，当因此，当x=2x=2时，函数有最小值时，函数有最小值3.3. 1 1yx,x(1,),. x1 .已知函数求此函数的最小值 1 1 x x1 1 1 1 x x 1 2x113 x1 ， 1 x1x2 x1 当且仅当，即时，取“”， 2.2.已知已知:a,b,c:a,b,c均为正数均为正数, ,求证求证: : 证明证明: : 3 bcacababcbccaab abcaabbcc ()()()3 bacacb abacbc ， 2,2,2 bacacb abacbc ， ()()()322233 bacacb abacbc ， 所以原不等式成立所以原不等式成立. .当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时, ,取取“=”.=”. 3. bca