第04章__理想流体动力学

1、1 第4章 1.1.先建立理想流体动力学的基本方程先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运欧拉运 动微分方程动微分方程 2.2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日 积分积分 3.3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。 4.4.两个积分的物理意义和实际应用两个积分的物理意义和实际应用 5.5.导出动量及动量矩定理，及其应用。导出动量及动量矩定理，及其应用。 第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 本章内容：本章内容： 课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为

2、什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船 坞等岸边建筑物附近下水？坞等岸边建筑物附近下水？ 2 4-1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式 欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本 方程，欧拉于方程，欧拉于17751775年由牛顿第二定律导出。年由牛顿第二定律导出。 某瞬间在理想流某瞬间在理想流 体中棱边为体中棱边为dx,dy,dzdx,dy,dz 的平行六面体，顶点的平行六面体，顶点 A(x,y,z)A(x,y,z)处的处的 推导如下：推导如下： (x(x，y y，z)z) 压力压力 速度速度 V（x，y，z) p p

3、pdx x y x z dy dz dx A(x,y,z) 3 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： i ii i ( ( =x=x，y y，z z） （4-14-1） 以方向为例：以方向为例： () pp pdydzpdx dydzdxdydz xx 表面力表面力沿向的合力沿向的合力： 理想流体，各面上无切应力理想流体，各面上无切应力, , 质量力在轴上的投影：质量力在轴上的投影： X dx dy dz 加速度在方向的投影：加速度在方向的投影： xxxx xxyz vvvvdx avvv dttxyz p p pdx x y x z dy dz dx A(x,y,z) dvx 4 将以上各式代入

4、（将以上各式代入（4-14-1）式中，并取，）式中，并取， 得如下第一式。同理可得其余的两式：得如下第一式。同理可得其余的两式： 即为理想流体的即为理想流体的欧拉运动微分方程式。欧拉运动微分方程式。 （4-24-2） 1 1 1 xxxx xyz yyyy xyz xzzz xyz p X x p Y y p X z vvvv vvv txyz vvvv vvv txyz vvvv vvv txyz 用矢量表示为：用矢量表示为： 1 Fp DV Dt Z 5 该方程适用条件该方程适用条件: : 理想流体。理想流体。 对不可压缩流体，方程（对不可压缩流体，方程（4-24-2）有三个分量）有三个分

5、量 式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程 组，方程封闭，可求解四个未知函数组，方程封闭，可求解四个未知函数x x , ,y y , , z z和。和。 若要使所求的若要使所求的x x , ,y y , ,z z , ,是某个实是某个实 际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，际问题的解，还要满足所提问题的边界条件， 初始条件。初始条件。 6 4-2 拉格朗日积分式拉格朗日积分式 欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下 的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。 拉格朗日积

6、分式有如下假设条件：拉格朗日积分式有如下假设条件： （1 1）理想不可压缩流体：）理想不可压缩流体： const.const. （3 3）运动无旋，则存在速度势函数）运动无旋，则存在速度势函数，满足，满足 1 () pp xx 所以有所以有： , xyz vvv xyz （2 2）质量力具有势函数：）质量力具有势函数： , UUU XYZ xyz 7 因此因此 ()() x v ttxxt ()() y x v v yyxxyx ()() xz vv zzxxzx 代入欧拉运动方程代入欧拉运动方程 1 xxx xyz x vvv vvv xytz p X v x 222 () ) 2 ( 1

7、) ( y xz xyz xyz v vv vvv xxx v xt x v U x t v x p 有有 8 上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式 2 ()0 2 pv U xt 2 ()0 2 pv U yt 2 ()0 2 pv U zt （4-34-3） 括弧内函数不随空间坐标括弧内函数不随空间坐标( (，) )变化变化, , 只可能是时间的函数。只可能是时间的函数。 2 ( ) 2 pv UF t t 所以所以 （4 - 4） 若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上，若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上， 有有U U，故，故 2 ( ) 2

8、pv UF t t gz（4 - 4） 9 为书写简单，引入为书写简单，引入 0 ( ) t F t dt 将将对，求偏导数，仍为速度的投影对，求偏导数，仍为速度的投影 x V xx y V yy z V zz 引入引入后，式（后，式（- -）可改写成：）可改写成： 2 2 pV U t （-5-5） 10 2 2 pV g z t 若流体的质量力只有重力，式若流体的质量力只有重力，式（4 - 4）可写成：可写成： 2 1 2 pv z ggt (4-7)(4-7) 或或 上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。 对于对于定常定常无旋运动无旋运动，式（，式（

9、4 43 3）括弧内的函）括弧内的函 数不随空间坐标数不随空间坐标，和时间和时间t t变化，因此变化，因此 它在整个流场为常数。它在整个流场为常数。 11 2 2 pV UC ( (通用常数通用常数) ) 对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常定常无旋运动，因，上式可写成无旋运动，因，上式可写成 2 2 pV zC g ( (通用常数通用常数) ) 上式为上述条件下上式为上述条件下( (理想，不可压，只有重力，理想，不可压，只有重力， 无旋，定常流动无旋，定常流动) )的拉格朗日积分式，是在整个的拉格朗日积分式，是在整个 流场都适用的常数，因此它在整

10、个流场建立了速度流场都适用的常数，因此它在整个流场建立了速度 和压力之间的关系。和压力之间的关系。 (4-9)(4-9) 12 若能求出了流场的速度分布（理论或实验的若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。体与固体之间的相互作用力。 应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物 理现象：如理现象：如机翼产生升力机翼产生升力的原因；两艘并排行的原因；两艘并排行 驶而又靠

11、得很近的船舶为什么会产生互相吸引驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引 的的“船吸现象船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为；以及在浅水航道行驶的船舶为 什么会产生什么会产生“吸底现象吸底现象”等等。等等。 13 讨论：讨论：beginbegin 1 1. . 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流 动且只有重力作用时，同一水平面上的两动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？点，其速度和压力的关系如何？ 2. 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的生互相吸引的“船吸现象船

12、吸现象”。 3.3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象吸底现象” 14 4-3 伯努利积分式及其应用伯努利积分式及其应用 111 (),(),(), pppppp xxyyzz 伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分 假设条件：假设条件： （）理想不可压缩，质量力有势；（）理想不可压缩，质量力有势； （）定常运动；（）定常运动； （）沿流线积分。（）沿流线积分。 由（由（1 1），（），（2 2）有）有 15 则欧拉方程可写成则欧拉方程可写成 () xxx xyz VVVUp VVV xxxyz () yyy x

13、yz VVV Up VVV yyxyz () zzz xyz VVVUp VVV zzxyz （1） （2） （3） 定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立 x dxV dt （4） （5） （6） y z dyV dt dzV dt 同理有同理有: 16 () xxx xyxxzxx V dtV dtV VVVp UVVV xxy dtV d z t 式式(1),(2),(3)(1),(2),(3)的两边分别乘以式的两边分别乘以式(4),(5),(6)(4),(5),(6) 以第一式为以第一式为: 2 ()() 2 x Vp Udxd x 即即（7

14、7） 2 ()() 2 y V p Udyd y 2 ()() 2 z Vp Udzd z 同理同理 (8) (8) （9 9） () x xxx xyzx dxdxV VVVp UVVV xxy dt z Vdt 222 (/ 2)(/ 2)(/ 2) xxx dxd VV y ydz V xz 17 将将( (),(),(),(),(）三式相加，考虑到速）三式相加，考虑到速 度的模度的模2 2x x2 2y y2 2z z2 2，有，有: : 2 ()() 2 pV dUd 2 ()0 2 pV dU 在流线上有在流线上有 (10)(10) 括弧内沿流线上的全微分等于零，则括弧内沿流线上的

15、全微分等于零，则 沿流线一定是常数沿流线一定是常数: : 2 2 l pV UC （1111） 18 2 2 l pv gzC 在重力场中，则沿流线在重力场中，则沿流线: : 2 2 l pv zC g 或为或为（1212） 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同 之点有二：之点有二： l 称为流线常数称为流线常数 19 () 应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无 旋运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又旋运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。可用于有旋运动。 （）常数性质不同。拉格朗日积分中的常数（）

16、常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，伯努利积分常数在整个流场中不变，伯努利积分常数l 仅仅在同仅仅在同 一条流线上不变。或者说，拉氏积分在整个空间一条流线上不变。或者说，拉氏积分在整个空间 成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。 （3 3）对于无旋流动，伯努利积分就变成了拉格对于无旋流动，伯努利积分就变成了拉格 朗日积分。朗日积分。 20 为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。有限大的流束。 渐变流动渐变流动: :流线近似平行，而且流线的曲率很小流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否

17、则称为急变流动。的流动，否则称为急变流动。 () p z 对于渐变流动：对于渐变流动： 项可以取过水断面形心处项可以取过水断面形心处 的数值。的数值。 同时，伯努利积分中的速度同时，伯努利积分中的速度近似地用过近似地用过 流断面上的平均流速流断面上的平均流速U U 来代替，即用来代替，即用 近似代近似代 替替 。 2 2 v g 2 2 U g 21 适用于有限大流束的伯努利方成为：适用于有限大流束的伯努利方成为： 2 2 pU zconst g （1313） 22 1122 12 22 pUpU zz gg （1414）或或 （）理想流体，定常流动；（）理想流体，定常流动； （）只有重力的作

18、用；（）只有重力的作用； （）流体是不可压缩的；（）流体是不可压缩的； （4 4）. .截面处流动须是渐变流。截面处流动须是渐变流。但但1.21.2两断两断 面间不必要求为渐变流动。面间不必要求为渐变流动。 方程适用条件：方程适用条件： 22 讨论：讨论：end 1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？相同？ 2.为什么在急变流动的过流断面上，为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/ ) 项不保持常数？项不保持常数？ 23 4-4 伯努利方程的意义伯努利方程的意义 一、几何意义一

19、、几何意义 z ：长度量纲，流体质点或空间点在基准面长度量纲，流体质点或空间点在基准面 以上的几何高度，又称位置水头。以上的几何高度，又称位置水头。 单位重量流体具有的势能。单位重量流体具有的势能。 p/p/ ：长度量纲，测压管中液面上升的高度，长度量纲，测压管中液面上升的高度， 称为压力高度、或测管高度，或称压称为压力高度、或测管高度，或称压 力水头、测管水头，记为力水头、测管水头，记为Hp 单位重量流体具有的势能。单位重量流体具有的势能。 V2/(2g)：具有长度的量纲，称为流速高度或具有长度的量纲，称为流速高度或 速度水头，记为速度水头，记为HV 单位重量流体具有的动能。单位重量流体具有

20、的动能。 24 一、几何意义图一、几何意义图 25 结论：对于理想流体，定常运动，质量力只结论：对于理想流体，定常运动，质量力只 有重力作用时，沿流线有：几何高度、压有重力作用时，沿流线有：几何高度、压 力高度和流速高度之和为一常数。力高度和流速高度之和为一常数。 Z+Hp+Hv=H 三个高度（水头）之和称为总水头。三个高度（水头）之和称为总水头。 其端点的连线其端点的连线总水头线为一条水平线总水头线为一条水平线 。如。如 下图所示。下图所示。 26 2 1 2 V g 2 2 2 V g 1 p 2 p 总水头线总水头线 H 压力水头线压力水头线 27 二、能量意义二、能量意义(物理意义物理

21、意义) 伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿 流线守恒。流线守恒。 ：代表单位重量流体的位能，记为代表单位重量流体的位能，记为 z ez ：单位重量流体的压力能，记为：单位重量流体的压力能，记为 p e p ：单位重量流体的动能，记为：单位重量流体的动能，记为 V e 2 2 V g 单位重量流体的总机械能：单位重量流体的总机械能： zpv e e e E 28 C Vv pVVz 2 2 29 对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有 重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和

22、动 能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流 线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中 单位重量的单位重量的/ /单位体积的单位体积的位能、压力能和动能之位能、压力能和动能之 和保持不变。和保持不变。 在流体力学中：在流体力学中： 称为动压称为动压 2 2 v 称为静压称为静压 p C v pz 2 2 水的空化现象；水的空化现象； 均匀流中的流体压力；均匀流中的流体压力； 总压总压 30 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 实例一：小孔口出流（实例一：小孔口出流（油箱漏油油箱漏油） 直桶容器的水位保持直桶容

23、器的水位保持 恒定，底部开小孔，孔恒定，底部开小孔，孔 口很小。小孔出流截面口很小。小孔出流截面 上的速度上的速度u u 可认为是均可认为是均 匀的，且不随时间变化。匀的，且不随时间变化。 设直桶容器的横截面设直桶容器的横截面 积为积为S S1 1，小孔截面积为，小孔截面积为 S Sa a，大气压力为，大气压力为p pa a， 求小孔口的出流速度求小孔口的出流速度u u ？ 31 对流线写出伯努利方程：对流线写出伯努利方程： 22 1 1 22 aa ppuu zz gg 根据连续定理，有根据连续定理，有 S1 u1= Sa u 考虑到考虑到Hz1z，由以上，由以上 二式可得出口流速二式可得出

24、口流速: 2 1 2 1 (/) a gH u SS 当当Sa S1时，时，2ugH 实际流体具有粘性，故：实际流体具有粘性，故：2 r ukukgH 32 实例二：出口非定常出流（破舱进水）实例二：出口非定常出流（破舱进水） 整个容器分成两部分，中间隔板下方有小孔。整个容器分成两部分，中间隔板下方有小孔。 在水位差的作用下，水从容器在水位差的作用下，水从容器1 1流入容器流入容器2 2，直，直 到容器到容器2 2的水位和容器的水位和容器1 1的一样高为止。的一样高为止。 假设容器假设容器1 1的水位可以保持不变，求通过小的水位可以保持不变，求通过小 孔灌满容器孔灌满容器2 2需要的时间。需要

25、的时间。 33 沿图中虚线所示的流线，从容器沿图中虚线所示的流线，从容器1 1的水面到小的水面到小 孔出口的伯努利方程孔出口的伯努利方程 22 1 11 () () 22 aa ppHhuu zzH gg 质量守恒定律，有：质量守恒定律，有： 11a uSu S 34 由以上两式可解出由以上两式可解出 2 1 = 2/1 a ughSS 容器容器2 2液面上升速度为液面上升速度为u u2 2=d=dz z2 2/ /d dt t，按质量守恒：，按质量守恒： 2 222 d d a z u SSuS t 2 d d a h uSS t 即：即： 35 将将u u 代入上式，得：代入上式，得： 2

26、2 1 2d d 1 a a ghh SS t SS 2 2 1 d d 2 1 a a Sh t h g S SS 积分上式，得：积分上式，得： 即，即， 0 22 22 11 22 22 11 aa aa H ShSH t gg SS SSSS 36 实例三：实例三： 虹吸管虹吸管 h1 h2 s 0 1 021 01 01 0 0? aa zhz pppp vv 求虹吸管出口流速和最求虹吸管出口流速和最 高点高点S S处的压力？处的压力？ 22 0011 01 22 pvpv zz gg 列列0-1两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程 22 2vghv1 37 22 00 0 22 SS

27、 S pvpv zz gg 12 () saa pphhp 列列0-S两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程 02112 0 012 ? 02 as s zhzhh ppp vvvgh h1 h2 s 0 1 38 虹吸管虹吸管 管径管径=150=150，1 1=3.3=3.3，2 2=1.5=1.5， z=6.8z=6.8，不计能量损失，求虹吸管中通过的，不计能量损失，求虹吸管中通过的 流量及最高点处的真空度。流量及最高点处的真空度。 解：取解：取-为为 基准，列断面基准，列断面- - 和和- -的伯氏方程：的伯氏方程： 2 002 1 00 2 ppHU H g 39 12 2 ()2 9.

28、8 1.85.94 /Ug HHm s 解得：解得： 23 0.105/ 4 QdUm s 水流量水流量 - -和和- - 断面列方程：断面列方程： 2 0 1 0 2 s ppU Hz g 处真空度处真空度 2 0 1 5.3 2 s ppU z Hm g 40 实例二实例二 文丘里管（一种流量计）文丘里管（一种流量计） 应用伯努利方程的原应用伯努利方程的原 理可制成各种测量流速或理可制成各种测量流速或 流量的仪器。文丘里管就流量的仪器。文丘里管就 是其中的一种。是其中的一种。 和和处的压力差由测压处的压力差由测压 管读出来，为已知量。管读出来，为已知量。 令令1 1和和2 2分别为分别为和

29、和截面上的截面上的平均平均流速流速 汞 41 取管轴为基准列伯努利方程取管轴为基准列伯努利方程: : 22 1122 22 pUpU gg 连续性方程连续性方程: 22 12 44 Dd UU 2 4121 ()1 2 ppUD gd 联立得：联立得： 解出解出 12 1 444 2 ( ) 22 ( )1( )11 DDD ddd pph Ugg gh 流量流量 12 111 1 4 2 2 = ( )1 D d ppgh QU p SSk p kkh 汞 42 12 pph 汞 （）形管（内装水银）：形管（内装水银）： 注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时注意：这里没考虑流体粘性的影

30、响，实际应用时 按上式算得的还应乘上修正流量的系数按上式算得的还应乘上修正流量的系数，它，它 的值约为的值约为0.980.98。 h Q k h k 汞汞 （） 当然，也可以用下部的水银管高度差来计算：当然，也可以用下部的水银管高度差来计算： 代入到前面的代入到前面的 Q Q 中，可得中，可得Q Q 的另一种形式的另一种形式 43 实例三实例三 汽化器汽化器 汽化器原理如图汽化器原理如图, ,空气由活塞的抽吸作用空气由活塞的抽吸作用 从自由大气中吸入从自由大气中吸入, ,细管将汽油自油箱引来。细管将汽油自油箱引来。 求求: :汽化器的真空度汽化器的真空度 解：取主管轴为基准，利解：取主管轴为基

31、准，利 用流管的伯努利方程：用流管的伯努利方程： 取入口远前方为截面取入口远前方为截面 最小截面处为截面最小截面处为截面 44 截面截面：，：，0 0， 截面截面：，待求，：，待求， 2 0 222 2 116 000 2() ppQ gDd 列伯努利方程：列伯努利方程： 2 0 2222 8 () Q pp Dd 汽化器的真空度为：汽化器的真空度为： 由连续性方程得由连续性方程得: 22 1 4 () Q U Dd 45 流线上流线上，管，管（测压管）的口部（测压管）的口部 平行于流线，可测平行于流线，可测点的点的静压静压A A， 9090弯管弯管 迎向水流，使其口部垂直于流线。迎向水流，使

32、其口部垂直于流线。 设流线近似为水平均匀流，设流线近似为水平均匀流， 则铅直方向上流体则铅直方向上流体 压力压力A A 按静水压力 按静水压力 分布分布，即，即 A A 管管液面升高液面升高 和自由表面平齐和自由表面平齐 点称为驻点点称为驻点 实例四：皮托管实例四：皮托管（用于测流速）（用于测流速） 点点: B B（） 自由表面自由表面 V 46 管管测得压力为测得压力为静压静压A A 管管测的压力为测的压力为总压总压B B 在流线上列伯努利方程，考虑到在流线上列伯努利方程，考虑到 点点 A A V VA A V V B B点点 B B V VB B 2 000 2 AB ppV g 因此因此

33、 2 BA pp Vg （4 42424） 得得 测出总压测出总压B B和静压和静压A A之差，可得出流速。之差，可得出流速。 47 在上述问题中在上述问题中 B BA A（） 读出管读出管1和管和管2的液面高的液面高 度差度差 h，即可算出流速。，即可算出流速。 代入到代入到 2Vgh 2 BA pp Vg 可得可得 动压的概念：动压的概念： 2 2 V g 48 实际使用的皮托管都是做成一根管子，也称普实际使用的皮托管都是做成一根管子，也称普 朗特管。朗特管。 这时这时 V VA AV V， V VB B 处感受到静压处感受到静压 处感受到总压处感受到总压 故该处流速：故该处流速： 开口开

34、口 2Vgh 49 4-5 动量定理及动量矩定理动量定理及动量矩定理 一、动量定理一、动量定理 工程中常常需要求流体和物体之间的相互作工程中常常需要求流体和物体之间的相互作 用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合 适与方便。适与方便。 () d mvF dt 理论力学中，动量定理是按理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点拉格朗日观点对对 质点系导出的，即质点系动量的变化率等于作用质点系导出的，即质点系动量的变化率等于作用 在该质点系上的合外力，即在该质点系上的合外力，即 50 但是，为应用方便，需将动量定理转换成适但是，为应用方便，需将动量定理转换成

35、适 合于控制体的形式（欧拉法）。合于控制体的形式（欧拉法）。 控制体控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、：相对于所选坐标系，在流场中形状、 大小任意，固定不动的空间。大小任意，固定不动的空间。 控制面控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。：控制体的边界（可以是流体，固体）。 流体经过控制面流入、流出。通过流体经过控制面流入、流出。通过 控制面一般控制面一般有流体质量、动量、能量交有流体质量、动量、能量交 换换，控制体内与控制体外的流体或固体，控制体内与控制体外的流体或固体 存在作用力与反作用力。存在作用力与反作用力。 51 ( ) D d D V t v VP t 对流体质点系，动量定

36、理为：对流体质点系，动量定理为： 雷诺输运公式雷诺输运公式： 对于任意的物理量对于任意的物理量，任，任 一瞬时，流体系统内物理一瞬时，流体系统内物理 量对时间的变化率，等于量对时间的变化率，等于 该瞬时控制体内物理量的该瞬时控制体内物理量的 当地导数与通过控制面的当地导数与通过控制面的 输运量之和，即输运量之和，即 D ddd D VVS VVv n S tt 52 () d()d VS v Vv v nSP t = v 令，则有： 这就是建立在控制体上的这就是建立在控制体上的欧拉型动量方程欧拉型动量方程。 若流动定常，若流动定常， () = 0 v t 则上式简化为：则上式简化为： d n

37、S v v SP d d d nxx S nyy S nzz S v vSP v vSP v vSP 即，即， 注意注意 Vn , Vx 的正的正 负负 53 对于不可压缩流束（渐变流）的定常流动，对于不可压缩流束（渐变流）的定常流动， 动量定理为：动量定理为： 221 1 ()QvvP 1 v 流入控制体时的平均速度矢量流入控制体时的平均速度矢量 2 v 流出控制体时的平均速度矢量流出控制体时的平均速度矢量 Q 流束的流束的流量流量 对理想流体对理想流体 21 21 21 () () () xxx yyy zzz Q vvP Q vvP Q vvP 即，即， 控制面的选取：控制面的选取： 边

38、界面、流面、速边界面、流面、速 度及压力分布已知度及压力分布已知 的面。的面。 21 1 54 二、动量矩定理二、动量矩定理 对于控制体，动量矩方程为：对于控制体，动量矩方程为： () d()()d VS rv Vrv v nSM t 定常流动定常流动的动量矩方程：的动量矩方程： ()()d S rv v nSM 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 其分量形式为：其分量形式为： ()d ()d ()d zynx S xzny S yxnz S yvzvvSM zvxvvSM xvyvvSM 55 控制体内流体动量对时间的变化率控制体内流体动量对时间的变化率 + 单位时单位时 间内流出控制面的总动

39、量间内流出控制面的总动量 = 外界作用在控制外界作用在控制 体和控制面上的合力。体和控制面上的合力。 ( d()d ) SV v v nS v VP t 动量方程与动量矩方程的表述：动量方程与动量矩方程的表述： 控制体内关于某一点的动量矩的变化率控制体内关于某一点的动量矩的变化率 + 单单 位时间内流出控制面的总动量矩位时间内流出控制面的总动量矩 = 外界作用外界作用 在控制体上的力关于同一点的矩。在控制体上的力关于同一点的矩。 ()()d () d SV r r Vv v nSM v t 56 流体力学的动量定理和动量矩定理可用于流体力学的动量定理和动量矩定理可用于 理想流体，也可用于粘性流

40、体。用于粘流时，理想流体，也可用于粘性流体。用于粘流时， 只要在表面力项中把作用于控制面上的切向只要在表面力项中把作用于控制面上的切向 力包括进去即可。力包括进去即可。 这两个定理可以用于定常和非定常流动，这两个定理可以用于定常和非定常流动， 但实际中，一般都用于定常流动。因为对于但实际中，一般都用于定常流动。因为对于 非定常流动，公式中的第一项非定常流动，公式中的第一项 () d V v V t 通常很难求出。通常很难求出。 注意：注意： 57 实例一实例一 流体对弯管管壁的压力流体对弯管管壁的压力 如图所示一段弯管。以如图所示一段弯管。以 平均流速平均流速 流入，流入， 流出。流出。 1

41、v 2 v 设流体对管壁的作用力为设流体对管壁的作用力为 , ,管壁对流体的作用为管壁对流体的作用为F 取管壁和截面取管壁和截面S S1 1、S S2 2 组成的封闭面为控制面 组成的封闭面为控制面 对此控制面内流体应用动量定理对此控制面内流体应用动量定理 单位时间通过控制面的流体动量的变化单位时间通过控制面的流体动量的变化 w R 112221 () w p Sp SRGQ vv 58 因此：因此： 如重力比其他各项小许多，则如重力比其他各项小许多，则 略而不计。略而不计。G 112221 () w FRp Sp SQ vv 112221 () w FRp Sp SGQ vv 1122 Qv

42、 Sv S注意到注意到 写成分量形式有写成分量形式有 22 11222211 2 2222 coscos sinsin x y Fp Sp Sv Sv S Fp Sv S 59 实例二实例二 射流对倾斜平板的冲击力射流对倾斜平板的冲击力 厚为厚为o的二元流的二元流 束以束以o向倾斜平板向倾斜平板 冲击，流速与平板冲击，流速与平板 的夹角为的夹角为，求流体，求流体 对平板的作用力。对平板的作用力。 （不计重力）（不计重力） 设流体给平板的冲击力设流体给平板的冲击力 为为 平板对流体之作用力平板对流体之作用力 解：解： F w R 显然有：显然有： w FR 60 012a pppp 截面截面b0

43、, b1, b2离原点足离原点足 够远，可以认为截面够远，可以认为截面 上的流动参数是均匀上的流动参数是均匀 分布的。分布的。 列立列立x方向和方向和y方向的动方向的动 量方程式，有：量方程式，有： 222 112200 2 00 cos0 sin x y v bv bv bR v bR 61 另外，由连续性方程另外，由连续性方程 0 01 122 v bvbv b 不计重力影响，则由伯不计重力影响，则由伯 努利方程可得：努利方程可得： 120 vvv 于是可得于是可得 012 bbb 2 00 10 20 sin 1cos 2 1 cos 2 w FRv b bb bb 联立上面方程，求解可

44、得：联立上面方程，求解可得： 62 下面应用动量矩方程求下面应用动量矩方程求 合力作用点的位置，取合力作用点的位置，取 O点为参考点。点为参考点。 写动量矩和力矩时，逆写动量矩和力矩时，逆 时针为正，顺时针为负。时针为正，顺时针为负。 动量矩方程：动量矩方程： 12 1 11222 ()() 22 w bb vb vv b vR e 120 vvv 代入上式，即得： 将 0 ctan 2 b e 63 气体高速喷出气体高速喷出 时喷柱宽度为时喷柱宽度为 b0，其速度，其速度v0的的 方向先是与底方向先是与底 部水平线成部水平线成角角 实例三实例三 气垫船基本原理气垫船基本原理 足够远处的射流宽

45、度和喷口处一样，都是足够远处的射流宽度和喷口处一样，都是b0， 速度也是速度也是v0，这是因为射流外边界上压力沿流线，这是因为射流外边界上压力沿流线 不变，不计重力影响，由伯氏方程可得到速度不不变，不计重力影响，由伯氏方程可得到速度不 变的结论，再由质量守恒得知宽度也不变。变的结论，再由质量守恒得知宽度也不变。 ，然后转为水平，向两侧沿地面喷出。船质量，然后转为水平，向两侧沿地面喷出。船质量 为为M，底面积为，底面积为S。试求气垫船的飞升高度。试求气垫船的飞升高度h。 64 动量方程的分量式：动量方程的分量式： 00 000 0 ()(cos )() 0 xv v bvv bph ypSmg

46、方向： 方向： 2 00(1 cos ) S hv b mg 0(1 cos ) S k mg 联立两式可解出飞高：联立两式可解出飞高： 65 2 000 kv b 0(1 cos ) S hk mg 为喷出的流体动量，由风扇功率决定。为喷出的流体动量，由风扇功率决定。 分析分析 气垫船重量越大，飞起的高度气垫船重量越大，飞起的高度h越小；而底面越小；而底面 积积S增大时，增大时，h增大。所以气垫船的形状比较扁增大。所以气垫船的形状比较扁 平以使平以使S较大。较大。 66 实例四实例四 滑行艇的基本原理滑行艇的基本原理 设滑行艇与水平面夹角为设滑行艇与水平面夹角为，水速，水速0 从右向左流动。

47、水原来深度为从右向左流动。水原来深度为0，流经滑行艇，流经滑行艇 后分为两部分：后分为两部分： 一部分宽度为一部分宽度为，以速度，以速度 2 沿艇首喷出，沿艇首喷出， 试求试求: :作用在滑行艇上的力。作用在滑行艇上的力。 另一部分水深为，以速另一部分水深为，以速 度度1 向艇尾流去。向艇尾流去。 67 自由表面上处处为大气压力自由表面上处处为大气压力0（艇底除外）（艇底除外） 由由流线流线伯努利方程，可得：伯努利方程，可得：120 由连续方程知：由连续方程知： 0 2 0 v h 尾部向后尾部向后 流出动量流出动量 为：为： 控制面的控制面的 动量变化：动量变化： 68 艇体反力在方向分量为

48、艇体反力在方向分量为sin 2 0 cosv首部向前在方向流出的动量为首部向前在方向流出的动量为 首部来流的动量变化首部来流的动量变化 2 00 v h 222 0000 cossinv hvv hp 水平方向动量方程：水平方向动量方程： 69 : : 艇对流体的作用力。负值为其方向与图艇对流体的作用力。负值为其方向与图 中方向相反。图示的正好就是流体对滑行艇中方向相反。图示的正好就是流体对滑行艇 的作用力。的作用力。 2 0 1cos sin Pv 所以所以 2 0 tan 2 Pvc 或写成或写成 70 实例五实例五 洒水器洒水器 解：解： 旋转式喷水器的两臂长旋转式喷水器的两臂长r10.3m，r20.15m， 两喷口的直径均为两喷口的直径均为d60mm，流量均为，流量均为Q 0.01m3/s。求。求: (1) 若要阻止其旋转