高中数学选修1-1__01变化率与导数

1、苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。最一般、最有效的工具。 苏教版高中数学教材选修2-2

2、深圳中学高二数学备课组 研究某个变量相对于另一个变量研究某个变量相对于另一个变量 变化在一个范围内的快慢程度变化在一个范围内的快慢程度 第一课时第一课时 函数的平均变化率函数的平均变化率 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 一、研究课本问题一、研究课本问题1及问及问 题题2，体会平均变化率及，体会平均变化率及 其意义，思考怎样抽象到其意义，思考怎样抽象到 一般函数？一般函数？ 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 思考思考:这一过程中，这一过程中， 哪些量在改变？哪些量在改变？ 我们都吹过气球我们都吹过气球. 从吹气球的过程从

3、吹气球的过程, ,可以发现可以发现, ,随着气球内随着气球内 空气容量的增加空气容量的增加, ,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢. . 从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 体会实际问题数学化体会实际问题数学化 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 气球体积气球体积: : 3 4 ( ) 3 V rr 3 3 ( ) 4 V r V 半径的增量半径的增量 体积的增加量体积的增加量 气球平均膨胀率气球平均膨胀率= = 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 v当当V从从1增加到

4、增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为 (1)(0) (/ ) 1 0 0.62 rr dm L v当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为 (1)(0)0.62()rrdm (2)(1)0.16()rrdm (2)(1) (/ ) 2 1 0.16 rr dm L 显然显然 0.620.16 随着气球体积逐渐变大随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 思考思考 当空气容量从当空气容量从 增加到增加到 时，气球的时

5、，气球的 平均膨胀率是多少？平均膨胀率是多少？ 1 V 2 V 21 21 ()()r Vr V VV 气球平均膨胀率气球平均膨胀率= = 12 3 1 3 2 4 3 4 3 VV VV 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 问：平均膨胀率能否精确描述膨问：平均膨胀率能否精确描述膨 胀情况胀情况？ 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运运 动员相对于水面的高度动员相对于水面的高度 h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时与起跳后的时 间间t t（单位：秒）存在函数（单位：秒）存在函数 关系

6、关系h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在如何用运动员在某些时某些时 间段内间段内的平均速度粗略地描的平均速度粗略地描 述其运动状态述其运动状态? h t o 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -25-20-15-10-551015202530 平均速度平均速度：物体的运动位移与所用时间的比：物体的运动位移与所用时间的比 称为平均速度。称为平均速度。 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 请计算请计算0 0.52:ttv 和1时的平均速度 h(t)=-4.9th(t)=

7、-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 回答回答P73之探究之探究 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 将两个具体问题抽将两个具体问题抽 象到一般函数的平象到一般函数的平 均变化率。均变化率。 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 当自变量当自变量 从从 变化到变化到 时，函数值就从时，函数值就从 变变 化到化到 ， 则则 x 1 x 2 x 1 y 2 y 平均变化率定义平均变化率定义: x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2 x xfxxf xx xfx

8、f x y )()()()( 11 12 12 若设若设 ,则平均变化率为则平均变化率为)()(, 1212 xfxfyxxx 12 12 )()( xx xfxf 1 y 称为函数称为函数 从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率. )(xf 对于函数对于函数)(xfy 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 x2-x1=x 它的几何意义是什么呢？ x xfxxf xx xfxf x y )()()()( 11 12 12 若设若设 ,则平均变化率为则平均变化率为)()(, 1212 xfxfyxxx 观察函数观察函数 图象图象 )(xfy A B O x y x1x2 f(x

9、1) f(x2) f(x2)-f(x1)=y 直线直线ABAB的的 斜率斜率 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 平均变化率的平均变化率的 计算与应用计算与应用 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 之间的平均变化率到和到在求函数例 236 0sin:1 xy 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 附近的平均变化率在求例 0 2 :2xxxy 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 率在该点附近的平均变化图象上，求 ）在函数（练习：若点 )( )(, 1- 2 0 xf xxxfyP 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学

10、备课组 _,)-()(, 3 )(3 mxmxxfxxf xxxxxfy 则那么为 的平均变化率到从：例 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 例例1 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 2 2、某婴儿从出生到第、某婴儿从出生到第1212个月的体重变化如个月的体重变化如 图所示，试分别计算从出生到第图所示，试分别计算从出生到第3 3个月与第个月与第6 6 个月到第个月到第1212个月该婴儿体重的平均变化率个月该婴儿体重的平均变化率 T(月) W(kg) 63912 3.5 6.5 8.6 11 )月/(4

11、. 0 612 6 . 811 :个月体重12个月到第6第 );月/( 1 03 5 . 35 . 6 :个月体重3前:解 kg kg 平均变化率为 平均变化率为 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 2 2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器、水经过虹吸管从容器甲中流向容器 乙，乙，t st s后容器甲中水的体积后容器甲中水的体积 （单位：（单位： ），计算第一个），计算第一个10s10s内内V V的平的平 均变化率。均变化率。 t tV 1 . 0 25)( 3 cm )/( 4 1 10 5 2 5 010 2525 : 内的平均10, 0在时时:解 3 01 . 0101

12、. 0 scm 变化率为 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 3 3、已知函数、已知函数 分别计算在区间分别计算在区间-3-3，-1-1，00，55 上上 及及 的平均变化率。的平均变化率。 ,2)(, 12)(xxgxxf )(xf)(xg 由本例得到什么结论由本例得到什么结论? 一次函数一次函数y=kx+by=kx+b在区间在区间m,nm,n上的上的 平均变化率就等于平均变化率就等于k.k. 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 5 5、已知函数、已知函数 ，分别计，分别计 算算 在下列区间上的平均变化在下列区间上的平均变化 率：率： 2 )(xxf )(xf （1 1）11，33； （2 2）11，22； （3 3）11，1.11.1 （4 4）11，1.0011.001 4 3 2.1 2.001 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 x y 13 苏教版高中数学教材选修2-2 深圳中学高二数学备课组 1 1、平均变化率、平均变化率 一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的平均变化率为的平均变化率为 )(xf 21，x x 21 21 )()(